Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей Аубакиров Болат Уатаевич

О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей
<
О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей
>

Данный автореферат диссертации должен поступить в библиотеки в ближайшее время
Уведомить о поступлении

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - 240 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Аубакиров Болат Уатаевич. О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей : ил РГБ ОД 61:85-1/723

Содержание к диссертации

Введение

I. Локальные краевые задачи с отходом от характеристики для уравнения Лаврентьева-Бицадзе ... 29

2. Представление элементов регулярных расширений. полуминимального оператора L0 48

3. Описание регулярных расширений.в.терминах граничных условий 60

4. Регулярные расширения волнового оператора.в,характеристическом четырехугольнике . 64

5. О регулярности краевой задачи Т для одного уравнения смешанного типа и представление %ezl0 .. 77

6. Представление элементов регулярных расширений и описание их.в терминах краевых условий . 85

Литература

Введение к работе

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными.

После известных работ Ф.Трикоми lj| и С.Геллерстедта 2J, где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельного уравнения смешанного типа на плоскости, новым этапом в развитии теории краевых задач для уравнений смешанного типа явились работы советских математиков М.А.Лаврентьева, А.В. Бицадзе [з] , А.В.Бицадзе 4,5/ , Ф.И.Франкля /б,7_/ , К.И.Бабен-ко f 8J и других.

В этих работах было указано, что многие весьма важные проблемы газовой динамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и других областей сводятся к задаче Трикоми и родственным ей задачам, которые привели к более быстрому развитию теории уравнений смешанного типа.

В настоящее время проблемы уравнений смешанного типа как в силу их теоретической значимости, так и в силу их прикладной важности привлекают большое внимание отечественных и зарубежных математиков. Например, им посвящены работы М.Проттера [9,iq] , И.Л.Кароля [iff, А.М.Нахушева і2,іІ] , М.М.Смирнов [lhj, Г.Д.Каратопраклиева [l5J, В.П.Диденко іб], Т.Ш.Кальменова [17,187 , В.Н.Врагова р9], Ю. М. Крику но ва [z6J , Е.И.Моисеева {21.2. С.Н.Пономарева [23J и другие.

В работах, посвященных уравнениям смешанного типа, были изучены в основном краевые задачи в смешанных областях, когда гиперболическая часть области ограничена характеристиками уравнения.

- Ц -

Сравнительно мало работ посвящено выяснению постановки и доказательству корректности поставленных задач для уравнений смешанного типа в случае, когда носителями данных являются граница эллиптической части G" и некоторая нехарактеристическая дуга, отходящая во внутрь характеристического треугольника в гиперболической части области.

В работах А.В.Бицадзе [5] и Ф.И.Франкля Г7J были впервые изучены задачи с данными на отходе от характеристики (задача М), в том частном случае, когда участок нехарактеристической дуги вначале совпадает с характеристикой, а затем отходит от нее во внутрь характеристического треугольника. Задачи с отходом от характеристики исследованы также в работах К.И.Ба-бенко[8), М.Проттера [9,1 о] , К.Моравец [зд] , К.Фридрихса

[25]

В вышеуказанных работах вопрос существования и единственности решения задачи существенно связывался с ограничениями на форму границы смешанной области. Эти ограничения были значительно ослаблены в работах А.В.Бицадзе 2б/ , В.В.Ковриж-кина [27], А.П.Солдатова [28,29] .

В предлагаемой работе исследуются новые локальные краевые задачи для модельного уравнения смешанного типа (Лаврентьева - Бицадзе) в смешанной области с нехарактеристической границей.

Задача Мх (общая смешанная задача) и ей сопряженная задача My рассмотрены в области с отходом от одной характеристики во внутрь характеристического треугольника, а задача Мо и ей сопряженная - Мо в области с отходом от обоих характеристик. Следует отметить, что в задачах My, Мо и Мо

краевые условия задаются на всей границе смешанной области.

Известно, что вопрос об общих краевых задачах тесно связан с вопросом об общем виде расширений операторов. Впервые этот вопрос систематически изучал И.Нейман [ЗО], который с помощью преобразования Коли свел проблему расширения симметрического оператора к более простой проблеме расширения изометрического оператора.

Теория расширений линейных операторов получила дальнейшее развитие в работах М.И.Вишика [Зі], А.А.Дезина [32J, М.Г.Крейна, М.А.Красносельского ГЗЗ~7, М.Ш.Бирмана \3h] и других.

М.И.Вишик разработал общую теорию описания корректных краевых задач для эллиптических дифференциальных операторов, отказавшись от требования симметричности исходного оператора.

А.А.Дезиным выяснен вопрос правильной постановки граничных зада.ч для общих дифференциальных операторов, безотносительно к их типу. Изучены специфические свойства расширений для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и для "неклассических" уравнений математической физики.

Теория расширений на случаи операторов (не обязательно линейных), действующих в банаховом пространстве, была рассмотрена в работе М.Отелбаева, Б.К.Кокебаева, А.Н.Шыныбекова Г35]

Далее следует отметить совместную работу М.Отелбаева и Т.Ш. Кальменова [Зб] , где предложена общая методика постановки корректных краевых задач для.уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Метод этой работы основан на теории расширений симметрических операторов в гильбертовом пространстве по Нейману-Вишику. Затем в работах Т.Ш.Кальменова [37,38І , в терминах граничных условий, были описаны регулярные и самосопряженные краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типов.

- б -

Настоящая работа посвящена описанию регулярных краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в смешанной области, часть границы которой может состоять из нехарактеристической прямой, а также для модельного уравнения гиперболического типа в области ограниченной характеристиками.

Описание расширений основано на применении теорий регулярных расширений линейных операторов в гильбертовом пространстве ["30-32]. При этом существенно используется доказанная нами регуляр-ность задач My и М-г.

Поясним структуру нашей работы и сформулируем основные результаты.

Диссертация состоит из введения, шести параграфов и списка литературы. Мы придерживаемся двойной нумерации предложений и формул (например, теорема 3.2 означает вторую теорему третьего параграфа).

В первом параграфе исследуются четыре локальные краевые задачи, в области с нехарактеристической границей, для уравнения Лаврентьева-Бицадз е.

Lu = - s$nyuPC^ - tiff - ffcy). (ол)

Пусть Si с конечная область, ограниченная при Ч>0 гладкой кривой Ляпунова (т , оканчивающейся в точках А(Цо) и В (1,0)

малыми дугами окружности (rp : c-j Т+(2+^)^= + ^Z> <Ръ-0, а при и<о монотонной гладкой кривой АД: у^-^(рс) у о^ос^С, где у(о) = о> --+у(С)=1 , расположенной внутри характеристического треугольника ABC: 0&зс+у$і^ о^х-у-? и отрезком2)5 : характеристики: -y=cc-J} <ос?г/ уравнения (0,1), причем ть-УМ монотонно возрастает по х. .

В дальнейшем эллиптическую часть смешанной области SL

будем обозначать через SL± , а гиперболическую -St ^ . Под регулярным в области SL решением уравнения (ОД) будем понимать функцию Щх,у) є Cz(s*-i t/J^z) П (2і (st) П С (Л) , удовлетворяющую уравнению (0.1) в Sli VSi^ При этом допускается, что в точках Л(0}о) и В(1,0) производные ILscfce) и ityfco) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы.

Задача М-г. Найти регулярное в области SL решение Ufe&J уравнения (0.1), удовлетворяющее краевым условиям

Чг = > (0.2)

Для задачи М-г справедлив принцип экстремума, аналогичный известному принципу экстремума А.В.Бицадзе 5] , который применительно к задаче М-г формулируется следующим образом:

Положительный максимум и отрицательный минимум регулярного
решения *u-Cxj У) уравнения

sgnyuj^* гіуц = о (o.i1)

удовлетворяющего краевому условию (0.3) достигается лишь на G*.

Из этого принципа следует, в частности, что регулярное решение задачи Мт единственно.

Существование решения задачи Мт доказано путем сведения ее к сингулярному интегральному уравнению:

изученному в работе [38] , где 9(^) - ъс^(ос,0)? (т {pc,^f j ,2/) - Функция Грина задачи Хольмгрена.

Обозначим через L^ замыкание в ^^дифференциального оператора (0.1) на подмножестве функции 1С є (si.) t удовлетворяющих краевым условиям '^/^i/0s = G J ^3^Цу)іая~0' В дальнейшем будем предполагать, что угол подхода кривой (х* к

Ж оси и=о меньше j~

Справедлива следующая теорема.

Теорема I.I. Для любой функции rt є/<г(р-) задача My имеет единственное сильное решение iL(x,y) є \Jz(sl)0 C(sL) , которое представимо в виде

Здесь

a- a

Ol=ZL-{, Lfl - оператор обратный к оператору /,% , кото-

рый определяется следующими соотношениями:

где л 1-і) =/М1-/fffrl), af(t/--x, е_<-*а.

известная функция, которая однозначно определяется из уравнения

йС~У[х) - , О

Задача Mj. Найти регулярное в области SL решение U-fatf) уравнения (0.1), удовлетворяющее краевым условиям (6.2) и

9
(U* + Uy)/^ = О , (0.5)

Задача Мт является сопряженной краевой задачей к задаче Мт и при этом граничные условия задаются на всей границе list.

Для задачи Мт справедлив следующий принцип экстремума:

Положительный максимум и отрицательный минимум регулярного решения уравнения (0.1 ), удовлетворяющего краевым условиям (0.5) и (О.б), достигается лишь на (г*

Теорема 1.2. Для любой функции f^L^(si.) задача Мт имеет единственное сильное решениеic(2c,y]задаваемое

в следующем виде

о 1

Здео ь

2 ^ /xfo^M ,

О $ XL < CL

Пусть SL - R2* ~ конечная односвязная область, огра-

ниченная при ч>0 , как и в случае задачи Мт кривой Ляпунова Of , а при у< о гладкой кривой L : i/=-y(acJ, 0f Y(0)-Y(l) г О расположенной внутри характеристического треугольника ABC, такой, что каждое семейство характеристик

$~X-iV h - x.-yf пересекает ее только один раз, причем 02 -f- У (ее) строго возрастает по -^

Задача Мр. Найти регулярное решение уравнения (0.1), удовлетворяющее краевым условиям (0.2) и

'(Use - U$)lL = О (0.7)

Сформулируем сопряженную краевую задачу к задаче Мр. Задача Мр. Найти регулярное в области s~l решение UfoyJ уравнения (0.1), удовлетворяющее краевым условиям (0.2) и

(ttjc+UjJ^O . (0.8)

Если ее- Yfo) строго возрастает, то задача М^ также однозначно разрешима.

Для задач Мо и М^ справедлив следующий принцип экстре-

мума:

Положительный максимум и отрицательный минимум регулярного решения и(э?,ч) уравнения (0.1 ), удовлетворяющего краевым условиям (0.7) или (0.8), достигается лишь на .

Из этого принципа, в частности, следует единственность регулярных решений указанных выше задач Мо и Мр.

Существование решений задач Мр и Мр, как и выше, сводится к сингулярному интегральному уравнению на линии перехода, которое решается по аналогии с задачей Трикоми [38] .

Теорема 1.3. Пусть oc-j^fx.) и строго монотонные по Л! . Тогда для любой функции ^elz(SL) задачи М^ и М* имеют единственное сильное решение гі(-х,,^)єУг(л)0"б(Л) и они являются взаимно сопряженными краевыми задачами в Lz (&).

Пример. Пусть кривая h описывается уравнением:
у=, _ а-ЯпЯЬс , где o_

Тогда легко видеть, что задачи Мр и Мр для уравнения

- II -

(O.l) корректно поставлены. Причем, краевые условия задаются на всей границе области SL .

Через \J(Si) обозначим подмножество функций «.є С2(Л) , удовлетворяющих условиям

и1ъл = ' ^^Iav =

Пусть Ц - полуминимальный оператор Лаврентьева-Бицадзе, т.е. замыкание в Ь2(л) дифференциального оператора (0.1), за-данного на \J(si) , a L0 - оператор, сопряженный к 1,0 в смысле обычного скалярного произведения.

Приведем необходимое определение.

Определение. Оператор ^ называется регулярным расширением оператора L0 , если выполняются условия:

а) L0 с / с I* , т.е. 0)сЯ&) с $(l*)t

где 3(-)- область определения соответствующего оператора.

б) L, - имеет ограниченный обратный оператор /" , опре
деленный на всем l,z (si)

В дальнейшем класс регулярных расширений оператора L0 обозначим і hj і

Абстрактное описание регулярных расширений оператора можно получить из общего метода описания произвольного линейного замкнутого оператора в гильбертовом пространстве, приведенного в работах Г30-32І. В частности, в силу симметричности оператора l,0 } справедливы следующие теоремы Неймана-Вишика.

Теорема Нт - Вт. Пусть /^ Є {^]l0 - любое фиксированное регулярное расширение Lc , a Uexl* = ftCe'dCl*) ul*U = o].

Тогда любой элемент ьсє. *&(/,*) представим в виде:

где гс0 є W4) , и±Іигє &t%I*.

Теорема Ii>- Bg. Пусть

є {l]i0 . Тогда

а) если К - линейный ограниченный оператор из Cttex 10 в
%tz.li0 , то существует 4 {it і і такой, что

причем, если -и = и0 + Кгг + Z'^V , zre <#е<г /J » то

і!к)гс = 10гс0 + іГ. (ОДО)

б) обратно, если h є. j/< // , то существует линей
ный ограниченный оператор К из У&х в С#ег/,0 такой,
что для -U. є *&() выполняются (0.9) и (0.10).

Во втором параграфе описаны регулярные расширения полуминимального оператора Лаврентьева-Бицадзе Lc в смешанной области с нехарактеристической границей в случае, когда отход от характеристики является отрезком АД прямой: -u=.-Jcje} о^х.^в.7

В силу теоремы Hg- Вр, для описания регулярных расширений оператора L,0 нужно построить фиксированное регулярное расшире-ние и дать представление элементов ядра оператора &0

При описании в качестве фиксированного расширения берется оператор Lft (соответствующий краевой задаче Мт из I), который является замыканием в LgC-Л) дифференциального выражения (0.1) на подмножестве функций -u^^/e^Y^J* удовлетворяющих краевым условиям

Теорема 2.1. Оператор /,^ ограниченно обратим на всем /to (Л) и Для всех bCG^fl/^) справедливо представление

1Ш№Ы -^^4^4^^/- -и)

^Ф і ' при у>о.

v. (Pffay) + Ш(*4) при

где л Х Х+У ^

CL-Zi-l , функция ^fc)-Uufc,o) определяется из следующего сингулярно-интегрального уравнения

Пусть ^ - оператор, определяемый равенством

Ц fro - j^f- ^ $ 4 0)#&Ш,

где /. ^ ;" ^) - Функция Грина задачи Хольмгрена для уравнения Лапласа [ЧО] , т.е.

Обозначим через ^2 _ (o,j) пространство функций, порожденное замыканием функций 1Л є С С-Л) по норме

где < = ос+у ; ^х-у. Тогда справедлива Теорема 2.2. Функция 'Ufcyje. bz (л) принадлежит CMezL0

тогда и только тогда, когда она задается формулой

где Q(ai) е А р (01) > & Со,і)- подпространство функции ве-

d 2.JJ ' 2/f

сового пространства / р(_о,1) > ортогональных постоянной.

Следующая теорема дает представление элементов регулярного расширения оператора L0 .

Теорема 2.3.

а) если К линейный ограниченный оператор, отображающий L (о, і) в себя, то существует L є {б}/, такой, что для

iff

любого элемента t є %){/,) справедливо представление

ъу у?

Лі

nf^j=

а.

+ j ? Ц*,о,і.оЩц) . р^уі при ^ (0_н)

#(*])+ Щ$Ш-Ц^)*Р^) HP" #<0, (0.15)

причем

где

^М = Р-\є*sf [S6kо, і,о)^ЖЦЫ

(<ХІб)

б) обратно, если I . {lJ^o , то существует линейный ограниченный оператор К . отображающий ZZf(0,d) в себя, такой, что любой элемент <ьс g Я) (А) представим в виде (0.14) - (0.15), причем Z^-/ .

Описание регулярных расширений в терминах граничных условий дано в 3.

Одному и тому же регулярному расширению L , вообще говоря, соответствует целый класс корректных краевых условий

- 15 вида SF^tC -О , эквивалентных друг другу. При описании

* V0SL

регулярных расширений в терминах краевых условий мы указываем только один представитель этого класса записанный в канонической форме. Зта каноническая форма зависит от выбранного фиксированного расширения, участвующего в описании регулярных расширений.

Пусть 1л/ (о,4) пространство функций, порожденное пополнением гладких функций по норме

где a = z-l.

Теорема 3.1. Пусть L&{^}l0 такой, что %)(/,)єUр(л). Тогда: а) существует линейный оператор К * 22 Jo,i)~>'$*„ (p,i) и любой элемент tt є %>(/,) , при Ч<0 Р удовлетворяет следующим граничным условиям

Ч--"1л^ІЛяі--^&)-Щ(*Щ(Ш (0.17)

U^l-- U/M: F=^w = - ЦЇ-ЦШ+ЦМ (0.18)

б) обратно, если линейный оператор К отображает I (0,1)ъ Щ рШ)> то Ужение if на множество функций

tceU/J (Л)0ШУРУдошетъО1Рятих C0.I7) - (0.19) будет регулярным расширением оператора /<0 .

Следующая теорема дает описание регулярных расширений в

терминах граничных условий записанный в каноническом виде.

Теорема 3.2. Регулярные расширения 1} J оператора /*

такие, что *%)(/,ш) с I// (si) являются сужением 1,0

на подмножестве ite ^)(lf)d Wpf-^1) удовлетворяющем следую-

щим краевым условиям: tcU-0

і 1-І

Пример. Пусть /{ - Z(- S)'1P . Тогда из представле-

ния (0.20) вытекает, что задача

ufp = о , гсг(4) = о, -Uj(4)-Su3(i)c4t = о.

является регулярной краевой задачей.

Отметим, что решение задачи представимо в виде

где *)/(х.) определяется из интегрального уравнения і

K x

№)-4W* $%&)& -Stfflcfc -ф(*ї).

Здесь /~ ^-(хм) определяется формулой (0.4). Следует отметить, что описанию регулярных краевых задач для гиперболического уравнения в области с нехарактеристической границей посвящена работа А.Б.Базарбекова f^Oj .

В' Ч проведено описание (в терминах граничных условий) регулярных краевых задач для уравнения гиперболического типа

lu= UXx -&%, = ft*, $) (0.21)

в конечной области SI с * t ограниченной характеристиками: О А: Х-у- О , А&- X+$=It 30- ' X-^=jt, СО: XL+$= С?. Обозначим через \J(sl) множество функций ісє c2(sl) , обращающихся на границе области Sb в нуль.

Пусть L0 - замыкание в Za(ST-) дифференциального выра-дения, заданного на ]\f(si) равенством (0.21), а /,0 - оператор сопряженный к L0 .

При описании регулярных расширений оператора L0 в качестве фиксированного регулярного расширения использован оператор Lp , соответствующий известной задаче Гурса [5J .

Задача Гурса. Найти решение уравнения (0.21), удовлетворяющее условию ^ІАоиос ~ ^'

Лемма 4.2. Для любого g/,z(sl) существует единственное решение задачи Гурса -&С f)(r) представимое в

виде f

U = Zr7 = JVfi _f/4 fa , btft , (0.22)

О О

Причем, ##г j с уг'(л) Л СГД)0 V/ ^9л; .

Сле,дующая теорема дает представление элементов J^ez/,c. Теорема 4.1. Функция ^ є L^Csi) принадлежит с^ег 10 тогда и только тогда, когда она задается формулой

где [Y>it).Lg(Otl)x 1*^(0,1)* (f>Y) ортогонален вектору (1.1) в смысле обычного скалярного произведения в /,^ (jz), а оператор (7- взаимно однозначно отображает Lz(o}i)х /,? (о,і) на С%ъ if0 . Здесь и в дальнейшем /,^(0,4) х lzCo, *) подпространство функций на /і(0;1) kz (0,1) ортогональных вектору

(1.1 J в 4 С**-) .

В силу двумерности ядра оператора и0 7 оператор К , из теоремы Нр- Во, отображающий (Ягі: 40 на 2&г^/ будет в виде двухмерной матрицы, т.е.

Лемма 4.5. Пусть Z" и J^f операторы, определяемые формулами (0.22) и (0.23) ..соответственно. Тогда: а) если К — линейный ограниченный оператор отображающий l^Ifx lz (о, 1} в себя, то существует 1,є[1}ііо такой, что

13(1) ={иє8ft*): и=и„ + (KtiY)(t) + (Кду(ц)({) +

19
где и0є<&Со).
Причем, если ^. = Ufi+ (ZU у>)(?) -і- fin У(і))(ї) +

тогда

LU^ /.o">o+Y(f)+?(i). (0.25)

б) обратно, если <= {li }/ » то существует линей-

ный оператор К отображающий 1*г(о,i)KliL(o,J) в себя, такой,
что для любого ъс є &(/,) справедливы представления

(0.24) и (0.25).

Ниже дадим явное представление области определения регуляр-ного расширения L

Обозначим через 1А Zg и /,с замыкания в l*i(Sl) дифференциального выражения (0.21) на подмножестве функций иєС{п) удовлетворяющих, соответственно, краевым условиям:

Лемма 4.6. Область определения регулярного расширения L оператора L0 , соответствующего оператору fc , задается формулой

Следующие теоремы дают описание регулярных расширений в терминах граничных условий.

Теорема 4.2. .Пусть iGJlj^ чаш$и_тоФ(4)с Уг (&) а) если оператор /С отображает /г (o,l) х lz (О, ) в

^/]^то сужение L0 на множество и(ос,у)< У^'(si)r\

О t(si)o W^ft-fi) удовлетворяющих условиям

4(f) = ujM ,i=a = (Ка yj(t) + (Ktl f (і)) (f) +

Мї) -- ^L: ї-і - (Kuy)(i) + (К±г Hi)) (J) -t (KuY)(i)+

(0.27)

из(?) = Час: ь*і = fouY(i))(f) + ггї

-* (*и Ш)(і)ч- («нг) Ш- (0-29)

является регулярным расширением оператора L0 .

б) обратно, если L - регулярное расширение оператора 1*0
и %)(/,") с U/ (Si.) , то существует оператор К , отобража
ющий iZc^T) К At [о, J) в 1^%^/^)ракой, что любой элемент
и .%)(/,) удовлетворяет граничным условиям (0.26) -

(0.29).

Теорема 4.3. Любое регулярное расширение L Є {itfj^
такое, что ^)(l!-K)) с lf& (si) являются сужением 4Р на

подмножестве функций из 1л/г (я)С\С(Л)с\\1г(Ш) удовлетворяющих следующим граничным условиям:

+ (Ки^Шд-мфН^тшфо). (о.зо)

ЩСі) = СКи Щ& - *М) (І) + (Кг^("гCih *№$&)+

ї(Ки^(.т)-илф)+(к^Сті-щ))). -зі)

Примеры, а) Если К- О , т.е. Kid- Ktz= Кг1 -KZz~0 то получим, что задача "Uxx - U#y ~ ^fag),

является регулярной краевой задачей (Задача Гурса).

б) если К отображает L^COjl)]х /<г(ЦУ/ в

О / 0 і 0 4 7

\/iifPil)xl/Jfiftде ЩІ0!*-) - подпространство функций из \tJL (0,l),

обращающихся в нуль на концах интервала, то получим

Mt) ~-(1<и^Ш-Ъ(фй Со.зоЪ

Тогда, полагая Ки = ~ Г щ) , К^~ I (jfe) , ^гі =^, Kzz- - (тгХ 7 из ('3) и C0.3I1) нетрудно усмотреть,

что задача:

/ U - U-эсос ~ М-УУ - rffc'g) 7

Ч(f)- Ui(l) + и*(tf + Ubti) = о

является регулярной краевой задачей в области SL .

Пусть Si.с R. - конечная область, ограниченная при ^>0
отрезками прямых АА± ' oc=-i , 0; AiBI :V-i7 -1<эс*1;
&8±' CC = i
? 0$Ч< d , а при ч < О характеристика-

ми ВС : uc+q=?l} C3m-tf-cL , %>'. oc+y= -г, A- oc-y=-l . уравнения

где 6(^)-1 при y>0 и G(g)~ О при y+O.

Через ^ обозначим замыкание в /,г (si) дифференциального выражения (0.32) на подмножестве функций из Сг(Л) , удовлетворяющих следующим краевым условиям

U/r - О, (0.34)

где Г = А^иЬЪи^Сиа&.

В совместной работе Т.Ш.Кальменова и М.Отелбаева 36/ было дано описание одного класса регулярных краевых задач, в терминах граничных условий, для уравнения Лаврентьева-Бицадзе (0.32). Смешанная область SL при Q< о была ограничена характеристиками Л&-' oc + y=-i 9 ^ / ос-^= 4 уравнения (0.32), а при У>0 отрезками прямых ААі}А±&іj>&&j как и в данном случае. Оператор Lff определялся как замыкание дифференциального выражения (0.32) на множестве гсє 2(-Л-) удовлетворяющих условиям. (0.33) и и/дру^д = О . Поэтому в дальнейшем при описании регулярных расширений при у > О будем пользоваться результатами работы [3SJ .

В 5 исследуется следующая задача

Задача Трикоми. Найти решение уравнения (0.32), удовлетворяющее условиям (0.33) и ^/Р|.ел = О.

Теорема 5.1. Для любого ^є/,(.п) задача Трикоми имеет единственное сильное решение гг. є W^(si)a~W^(yzj)0 C[s>-).

Теорема 5.2. Функции ^^принадлежит ^itx/,f тогда и только тогда, когда она задается, при у<

где > = Сеч e-^J^ C-e-2^Tj f*^. .

В б дано представление элементов регулярного расширения и описание их в терминах краевых условий. При описании регулярных расширений в качестве фиксированного регулярного расширения использован оператор і , соответствующий задаче Трикоми.

Очевидно, что оператор К имеет матричный вид

j^ = /Ли ^4 г

>li ,N2Z

В дальнейшем будем рассматривать класс регулярных
расширений L который соответствует диогнальному оператору

вида

X о

О Кг

Пусть / -/ . и / замыкание в 1^(л) дифференциального оператора (0.32) на подмножестве функций из Сг(Л) , удовлетворяющих, соответственно, следующим краевым условиям

Обозначим QL f = ^ _ J-*)ft Qj._ и-< _ z-*)f т

i-i- i-i ,-1 операторы обратные к операторам

- гч -

Теорема б.I. Пусть i}K] {&)ів и %(/<) Уl(Ж) . Тогда: а) существует линейный оператор /^ такой, что & :

и любой элемент ^. є Я/4^) при ^<С? удовлетворяет следующим граничным условиям

Щ(1), u/Ag = (К, Yj& + fr y)(-1) t -*, l*-l, (0.35)

Ъ№ -- и1$м s (*± V)№ + &?Ж -^ rf ^ (о.зб)

U^I=UIM9 = (XiYK'Z)* (Kttffe), isUi (0.37)

щй = %y = (ШУ + &№+ШШ9 -^.-/,(0.38)

+$*.?)&) - eL(e+&rJ(e-e)Y№, -Ы* /, (0.39)

б) обратно, если линейный оператор X такой, что ^,. и/4 отображает соответственно 1^(-1,-1)-+ \]^(-Z)-l))

UU,Q-* \Jl(W), ^Ш)->Ъ1&4' Т0СУ*ение4 на множестве функций "U-fcwe ]//i(si) о Я) (4*)* удовлетворяющих условиям (0.39) будет регулярным расширением оператора А0.

Теорема 6.2. Область определения регулярного расширения
/, ^оператора /,0 является сужением 10 на подмножестве
функций UfcnjG ^(^о)^ №г (si) удовлетворяющих условиям

(0.33) и

^ (4) =: К $~/ [U, (4) - UX &] -1& 1(Ш+М'Ь*)ЪФ$

(0.41)

Пример.

Если оператор /( такой, что /^: Li(-z>-l) -^ Wz (-2r*)? Кг.: 1*&(-*,)-*&гС*,г-), К0! As>("44-*$(-Vj где №(*,& - подпространство функции из ]д// ^у <^/ обращающихся в нуль на концах интервала.

Тогда полагая в (0.41) Kt=--Qi ,. &=-&&, &о- & , имеем, что в смешанной области _Л_ для уравнения (0.32) краевая задача

UitfhV ? -U+fcJ^Oj Z^ {6) = 0.

является регулярной.

Если к!4 =Oj ^4- О, К0 - - #д , тогда при у<0

имеем следующие краевые условия

Задачи типа вышеуказанных задач были рассмотрены в работах С.Геллеротедта [2J и А.В.Бицадзе / 5/.

В работе А.М.Нахушева Ліз/ был рассмотрен многомерный

аналог задачи Геллеретедта.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [46-50J и доложены на УІІ казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике (Караганда, 1982 г.), на семинарах профессоров А.Г.Костюченко, Б.М.Левитана, А.А.Дезина, на семинаре лаборатории обыкновенных дифференциальных уравнений при ИММ АН Каз.ССР, руководимом академиком АН Каз.ССР О.А.Жаутыковым; на семинаре по уравнениям математической физики, под руководством членайсорреспондента АН Каз.ССР Е.И.Кима;на семинаре в КазПИ им.Абая, руководимом член-корреспондентом АН Каз.ССР К.А. Касымовым; на семинаре по функциональному анализу, руководимом доктором физ-мат.наук Н.К.Блиевым; на семинаре по функциональному анализу и его приложениям, руководимом докторами физ-мат. наук М.Отелбаевым и Т.Ш.Кальменовым, а также неоднократно доложены на конференциях института математики и механики АН Каз.ССР.

Результаты I получены автором совместно с Т.Ш.Кальменовым, которому принадлежат постановка задач и некоторые идеи доказательства.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физ-мат.наук Т.Ш.Кальмено-ву за постоянное внимание и помощь в работе, а также профессору М.Отелбаеву за полезные обсуждения.

Рис. I

Рис. 2

Локальные краевые задачи с отходом от характеристики для уравнения Лаврентьева-Бицадзе

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [46-50J и доложены на УІІ казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике (Караганда, 1982 г.), на семинарах профессоров А.Г.Костюченко, Б.М.Левитана, А.А.Дезина, на семинаре лаборатории обыкновенных дифференциальных уравнений при ИММ АН Каз.ССР, руководимом академиком АН Каз.ССР О.А.Жаутыковым; на семинаре по уравнениям математической физики, под руководством членайсорреспондента АН Каз.ССР Е.И.Кима;на семинаре в КазПИ им.Абая, руководимом член-корреспондентом АН Каз.ССР К.А. Касымовым; на семинаре по функциональному анализу, руководимом доктором физ-мат.наук Н.К.Блиевым; на семинаре по функциональному анализу и его приложениям, руководимом докторами физ-мат. наук М.Отелбаевым и Т.Ш.Кальменовым, а также неоднократно доложены на конференциях института математики и механики АН Каз.ССР. Результаты I получены автором совместно с Т.Ш.Кальменовым, которому принадлежат постановка задач и некоторые идеи доказательства.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физ-мат.наук Т.Ш.Кальмено-ву за постоянное внимание и помощь в работе, а также профессору М.Отелбаеву за полезные обсуждения.

Пусть Sic R. - конечная область, ограниченная рри ij o кривой Ляпунова G , оканчивающейся в точках А (о, о) и В(4,о) малыми .цугами окружности 0 : (ос-- \+ (у + )2= + ? ; 8ъО9 а при и о монотонной гладкой кривой АД: -у=- (РС)} о эс в? где у (о) и о, +/(6) = d , расположенной внутри характеристического треугольника ABC : o - - y Jf о эс-ч ± и характеристикой ДВ: x-y=J, эс 1 уравнения lu=-sgnytc - Uyy = / у) . (I D

В дальнейшем эллиптическую часть смешанной области SL будем обозначать через -Я-/, а гиперболическую - Slz . Под регулярным в области SL решением уравнения (I.I) будем понимать функцию t ( y)e (sLji/Ji ft С:((si) П С (Л) , удовлетворяющую уравнению (I.I) в Sldi/Jlz и такую, что в точках А(0,0) и B(J, О) производные Ux(pctO) у Uu(20, о) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы.

Доказательство. Как известно, общее регулярное решение уравнения (І.Л в области Slz , дается формулой ЩХ Ц) = yCK + yj+rCx-y) (1 4) Удовлетворив условию (1.3) из (1.4) находим у- Qz+tffc))- О, 0$х. или if (l)- const , где 0 1 . Подставляя полученное выражение в (1.4) заключаем, что решение уравнения (I.I ), удовлетворяющее условию (1.3) В области Slz , имеет вид . іс(рс}-ц)= lf(ot+ )-h const . Отсюда непосредственно следует, что г с ) - Л -) = О , (1.5) ГДЄ Ъ(Я1)= 1С (ос, о) , V(x) - Uy(x, О) . Равенство (1.5) является функциональным соотношением между ttpc) и \Г(РС) на отрезке АВ , перенесенным из гиперболической части SLZ смешанной области SL .

В силу принципа экстремума для гармонических функций J[4l} , функция гс(сс,у) свои экстремальные значения не может достигать в области Sbd. Предположим, что в точке (xejo) отрезка АВ решение достигает экстремума. Тогда из (1.5) следует, что (%с) - ЛҐО о)= О Последнее противоречит следующему принципу Заремба-Жиро для решений эллиптических уравнений [42] : в каждой точке д$ 9 в которой и(х) достигает своего минимального (мах) значения в d(/S и для каждого направления . , выходящего из точки ус и удовлетворяющего условию х 4 М , имеет место неравенство 2Я бї М 01 , где граница области %)

Таким образом леюла І.І. доказана, из которой следует, что задача My имеет не более одного решения.

В силу последнего соотношения из (I.I7) находим, что решение задачи Д-г в области ограниченной куоком АЕ гладкой кривой АД: У - ( ) прямой J - -0, о сс -си и характеристикой ? \ oc-V- а, уравнения (1.6) задается формулой Х+У 32-У X (х-у) f Подставляя (I.I2) и (I.I6) в (1.10) имеем о х-у х у X(f) х-у й Х+и Х-У -Wf kWt Л if ІцШч, й але)

Удовлетворив условию (1.8) из последнего соотношения, принимая во внимание обозначения -oc-y(sc.) = [-6.)9 JC- fe)- , нетрудно найти, что Шиї S і (мм jvf д (u)k зс. Х%у) я-у о ж-ч 5 1 (І.19) Подставляя последнее соотношение в (I.I8) находим, что шение задачи Ду в подобласти ограниченной характеристиками Ш-ос-Ч а, , %)S: oc -CL уравнения (1.6) и куском ЕД глад кой кривой АД : у=г -У(сс) задается формулой Д2+1/ 2С-У Подставляя (1.15) и (І.Іб) в (1.10) имеем 32+У Х-Ч 1 С учетом (I.I9) из последнего соотношения находим, что решение задачи Ду в подобласти ограниченной характеристиками ДВ:зс-у=і %&: оо.+Ч= а. уравнения (1.6) и отрезком Л 1? прямой Ч- 0} CU5XL 1 представимо в виде Из метода доказательства существования решения следует единственность регулярного решения задачи Ду. Нетрудно усматреть, что полученное решение является сильным.

Из вышеизложенного следует следующая лемма. Лемма 1.2. Для любой єl (si) существует единственное сильное решение задачи Ду, которое представимо в виде где 1,%) - замыкание в L Cst)дифференциального выражения (I.I) на подмножестве функций из С1 (Л) , удовлетворяющих условиям (1.7)-(1.9), 0L=l-i.

Переходим к доказательству существования решения задачи My. Как и в случае задачи Трикоми Г38_[ решение в области . имеет следующий вид і

Представление элементов регулярных расширений. полуминимального оператора L0

Подставляя найденное значение у (ее) в (1.52), непосредственным вычислением легко убедиться, что интегро-дафференциальное соотношение между t(x) и J(oc) перенесенное на линию у = 0 из гиперболической части S LZ имеет вид

Принимая во внимание (1.22) (соотношение между Z(x) ж (х) перенесенное на линию 4-=-0 из эллиптической части _T2i ) и последнее соотношение убездаемся, что задача М? эквивалентна, в смысле разрешимости, следующему сингулярно-интегральному уравнению:

Задача Mg . Найти регулярное в области SL решение уравнения (I.I), удовлетворяющее краевым условиям (1.2) и Если sc-flzcj строго возрастает по ее , тогда для задачи life также справедлив аналогичный принцип экстремума, как и в случае задачи IVU» Положительный максимум и отрицательный минимум регулярного решения уравнения (I.I ), удовлетворяющего краевого условию (1.55) достигается лишь на G . Доказательство этого принципа проводится по схеме доказательств принципов экстремума, как и для предедущих задач.

Принимая во внимание (1.52) , (1.53) и (1.55) находим, что Далее, повторением выкладок и рассуждений использованных при доказательстве существования решения задачи Md , легко увидеть, что последняя задача эквивалентна (в классе искомых решений и в смысле разрешимости) следующему сингулярному интегральному уравнению на линии перехода, которое решается по аналогии с задачей Трикоми [38]. (ос) ч- S% № Л №№ = fw ос где f(oc) = SSG-fay &f)f&$№ #+ № ( № Рассуждая также, как и при доказательстве сопряженности краевой задачи М к задаче М , можно доказать, что задача м/ является сопряженной краевой задачей к задаче М5 Вышеизложенное сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1.3. Пусть ос- (х) и x+Jfsc) монотонно возрастают по ос . Тогда для любой &Lz(si) задачи М и М имеют единственное сильное решение zt{x,gj. ]лҐ(л)0 С-(Л) и являются взаимно сопряженными краевыми задачами в 1г

Представление элементов регулярных расширений полуминимального оператора L0 Через щ.SI) обозначим подмножество функций иє(?(Я) удовлетворяющих условиям Известно [44J , что (I.I) допускает замыкание. Пусть L0 - полуминимальный оператор Лаврентьева-Бицадзе, т.е. замыкание в L C ) дифференциального выражения (I.I), за-данного на W(SL) , a L0 - оператор сопряженный к L0 Определение. Оператор L называется регулярным расширением оператора L0 , если выполняются условия: Ь сл/= 1сл/ при агеЯСА) и LcAf=loCA/ щь слґєЯ&о), где Ч)( ) - область определения. б) L имеет ограниченный обратный оператор L , определенный на всем Li(si), Описание регулярных расширений полуминимального оператора Лаврентьева-Бицадзе проведем в том частном случае, когда отход от характеристики является отрезком АД прямой: Ч- х, о зс С, В.." дальнейшем будем полагать, что угол подхода кривой (г? к оси у - О меньше 3 [at Ж///) . В этом случае теорема I.I. формулируется следующим образом. Теорема 2.1. Оператор L ограниченно обратим на всем L ) (т.е. задача Mj при любом rfeL Q1) имеет единственное сильное решение) и для всех 11 $( ) справедливо следующее представление По определению для 1С и f существует последовательность jUhf е (f2-) , удовлетворяющая условиям (1.2) и (1.3) такая, что Un - ft, Luh - f ъ /, (si) . Тогда для любого PeJ/ftl) имеем (Uh , l"\f]o - (lii„} irjD . Переходя к пределу в этом равенстве, по норме в /2 (_sz) , получим соотношение (zij v)0 - (l Cj 1Ґ/о / І Тем самьм доказано, что и с и0

При описании регулярных расширений оператора L0 , по общей теории Неймана-Вишика, в качестве фиксированного расширения используем оператор L \ соответствующий задаче М Обозначим /, замыкание оператора (I.I) на подмножестве функций -ие (si) 9 удовлетворяющих краевому условию tC/Q- -О В силу сильной разрешимости задач Мт и Му в данном случае справедливы следующие леммы Т.Ш.Кальменова /38] .

Регулярные расширения волнового оператора.в,характеристическом четырехугольнике

Через /г обозначим замыкание в La(si) дифференциального выражения (4.1) на подмножестве функций t -GCzC- -) , удовлет-воряющих условию (4.3), a Lr - оператор обратный к /г Имеет место Лемма 4.1. Для любой существует единственное реше ние задачи іУрса ъс є (4г) , представимое в виде f k и(мНгШ=№ ШШ ъ, (4.4) где

Причем Я) (1Г) с К. ft 1) П С ) П ( - 66 Доказательство леммы 4.1. проводится как в работе [b] . По построению L0 с Lr . Включение lrcl доказывается также, как и аналогичного включения в лемме 2.1. Леше 4.2. Если 1st ( Йет/, П С2 С ) , гс±0 . Тогда Щ У) = ( +№ + Yfr-y) , (4.5) где у(х) lf(oc) є С [о, d ((У , Ч-), ( , )) = О .

Доказательство. Пусть є ег-/Ґ П Са Л) . Тогда для любой функции і/єС (Л) выполняется равенство (if, гь)0 = (тг, lu)0. Отсюда в силу плотности С-ТСР-)Ъ А&С- 1) следует, что Lu-О Поскольку -vc є Cz(si) , то она представиш в виде (4.5). При замене переменных .-Х+у, =&-# область SL переходит в область Л ограниченную прямыми ОА: -О ; АВ: = і ; ВС: - 1 ; ОС: =0 , а формула (4.5) примет вид ЩЬЬ) YCfl + Y-Ci) Непосредственным вычислением находим, что Отсюда видим, что если Ції f//zsA\ , то (ttf J ft, ))=-0 в смысле обычного скалярного произведения, т.е. (ftf) должен быть ортогональным вектору Gfyl) в смысле обычного скалярного произведения в L,z (si). Обратно, если Щ Ъ № є С-%Ї] и ((4 4-)0,0) = 0, то функция tCfaj-yj определенная формулой (4.5) принадлежит "Aitl Г) сг(л) . Лемма 4.3. Для любой функции єОхег0 существует после довательность функций {lln} є C (si.)0 t l0 такая, что УХ

Доказательство. Цусть усреднение функций по.Соболеву-Фридрихсу, где У ядро усреднения Г32І . Функция l (ocj JG itzlo продолжим нулем вне области Sl , Известно, что Возьмем произвольную функцию iffay) С (si) с носителем К = sufpif с- ST. # Обозначим через с/1 расстояние между "Э-П. И К И ПУСТЬ cf 03 f Составим скалярное произведение к Ufa, yji/я, ajt,) tJ(x,y)(/xt/y = - \U(OCM)L( If W - M d xof o. Это равенство возможно в силу того, что приїде функция принадлежит классу \J(Sl) и функция гЦх:,У). %&ъ1,0 . В силу плотности а) в /го) имеем, что [(У и)-О, где є &/;, В силу леммы 4.2. где % ( 0/fr(Х) є С [о,1] и / %, ) (i,ijj = (9 Далее, так как то справедлива Лемма 4.4. Для каждой іс(х,у) є (леъ L существует единственная пара f V) І фіМі) такая, что ( )(41)==0,

Пусть теперь ( ) 1 1) (0,1) ( )(1,1))-0 произволь ные функции. Тогда существует последовательность [% %}є С- Л) такая, что (у „} %) CYiY) в норме Lz(Qp Согласно лемме 4.3. сходятся к і (ж,у) в норме /, (SL) и поэтому -и(х,#) = у (оау) ч-( -?; Так как для любой функции t/є 1А/0 (S L) справедливо соотношение йт (гсп L v)0 = Сет [1гс )0 = (гс, / /= О, то 1 С(эС;Ч) G 3&.ъ1 0 . Тем самым доказана Теорема 4.1. ФункцияЩхф$ег4 тогда и только тогда, когда она задается формулой Щъу) - Y) = Y( »y) + Yfr-V) (4.6) где (у, v;e lz(oJ)xlz J) , ((W (1,1))= О. Обозначим через hz(o,iJx l,Joj) подпространство функций (У, у) є 1 0/1)/1 (0 ) ортогональных вектору (4,4) . Лемма 4.5. Дусть 1 1 и J -операторы, определяемые соотношениями (4.4) и (4.6), соответственно. Доказательство. Как и в случае леммы 2.8 можно установить взаимно-однозначное соответствие между оператором К действу ющим из ег/, в ЯегІ , из теоремы Неймана-Вишика, и оператором К t отображающим / Ml)X-l j .(o,l) в себя по следующей форму ле К. = У/СУ_І и К- d y , где jef - оператор обрат ный к оператору " . Тогда, полагая if= if ( Ч ) K (YiY) = ot K №YJ K легко проверить эквивалент ность соотношений (4.7) - (4.8) соотношениям (0.9) - (0.10) из теоремы Rg - B«f где в качестве фиксированного регулярного расширения действует оператор Л г соответствующий задаче Iypca.

Так как ядро оператора L,D представимо в виде Y()+Y(i)? то оператор К действующий из Иеъ 0 в J&Z/ будет в виде двухмерной матрицы, т.е. Таким образом, имеет место Лемма 4.6. Область определения регулярного расширения Z, оператора L0 t соответствующего оператору К , задается формулой (4.17), где lr ; /д ; 1а определяются формулам! (4.4), (4.10), (4.12), (4.14) соответственно. Теперь приступим в описанию регулярных расширений оператора L0 в терминах граничных условрш. Теорема 4.2. а) Если оператор К отображает L (0,i)x.lz(o,і) в Сі1)хк/і (о, І) , тогда сужение L,0 на множестве 11 & Wl[si)OC[si)(\ ]л/г(Щудовлетворяющих условиям

Представление элементов регулярных расширений и описание их.в терминах краевых условий

Замыкая гладкие функции по норме / Z(J72) , также как и в случае лете 4.2. убеждаемся, что для взаимной однозначности представления необходимо и достаточно, чтобы в характеристическом четырехугольнике Лі дІЇ было выполнено следующее условие

Лемма 5.3. Для любой функции tcfafte J ez/f существует последовательность функций fan}.3izzf О С ) такая, что Лемма 5.4. Для каждой їсєСІЇег/ 0 существует единственная пара функций ( ц-) є. г [-ifl)Klz(-l, z) такая, что if (хну) + у- (х-у) в М ЗУ LCfx, У) 1 Y(x-yJ-(+0) J( 3)№yJ JWCB

Доказательства лемм 5.3 и 5.4 проводятся также как и леммы 4.3 и 4.4,. Так как для любого гГє ]\f(sij справедливо fry ( пЛ о г № » )о = С о -- О Отсюда видим, что если ф представлена в виде (5.30) и (5.31), тогда она является элементом ядра /, . Теорема 5.2. Функция 16$e?.lf тогда и только тогда, когда она задается при $ 0 формулами (5.30) и (5.31), а при и О - (5.23). Согласно лемме 3.1. между оператором К из второй теоремы Неймана-Вишика, который действует из CKezl ъ tfezlf и операто - 86 -ром Г отображающим lL(r ) LzC 4 в себя сущесжвует взаимнооднозначное соответствие, задаваемое следующими соотношениями jZ y- , к=-1кх7 6.1) где / - оператор, отображающий /, (-2.,1) ) (-1,2-) на $&z/, по формуле (5.30)-(5.31), a if - обратный к нему оператор.

При описании регулярных расширений в качестве фиксированного расширения оператора L0 используем оператор 4r , соответствющий задаче Трикоми, а К является диагональным оператором вида Kt \ о К,)

Обозначим через 1 и Lc замыкания в lzM дифференциального оператора (5.1) на подмножестве функций из ( (Л) удовлетворяющих следующим краевым условиям, соответственно

Обратные операторы & и е определяюся формулами где /?1 - характеристическая функция области Sbz . Тогда в силу того, что при $ 0 , /teclTj /,% и LQ LC элемент 1/с%)(6J в характеристическом четырехугольнике ЛіМ можно представить в виде Ко = ?0Уо = Сфіо о . (6.3) В MfflMF и 6вМ& 9 соответственно, в видах Uo AvAof U = Ї{ »и (6 4) Учитывая представление элементов Збіь10 в области Slz и соотношения (6.1)2(6.4), на основании теоремы Нр-В9,любой элемент регулярного расширения в ЛВМ? представим в виде u.+fr+Lr =$№fi+Z?K Vl+&Wl- (6-5) - 87 в характеристическом четырехугольнике М9)№ в виде гс = I Jr. ffyj + К, w +#j +КгЧ-( У№і У( +У), (6.6) "ПТТО st в &C№ - виде + ( Ч-(х-у) - 2і(Є+&) й (-) 4-(x+#) (6.7) где аг -(it- ) - Из представлений (6.5) и (6.7) находим представление вА/ІІЇ? - $z (Е+ЬТ1 [E-a)y(oct J 4r(Qzr)C4), где ocУ х-у t jc-y у рцх,ч)= Ut U 4 І UtUA +J tfS64. C6.9) J -1 1 -2 f 4 Z В силу условия неразрывности на жнии tso » из представления (6.8) и представления (5.5) с учетом (5.II), получим - 3 Кг. fM - 3 fe+ 3) d(e-3) К f№ - Ъ (E- ajX-B)LtW = (Et3f(B-a)azf №+(Е а) (-&)км ) -K W-Pfc ).

Обозначив Из последнего соотношения НЭХОДИМ №) = -$ (Є -&J Z&L) , -± OCL 17 (6.10) где оператор В определяется форглулой (5.12). - 88 Приравнивая (6.6) и (6.7) на У и учитывая, что Y) С-І)+(к, f)H) = ШН)-(( ?(-&)Ъг)Н) находим А "У -г г -7 Приравнивая (6.5) и (6.6) на Л/S и учитывая явный вид оператора Q. находим, что і у(я+у) = j U( +& 4, - ж -у. (6.12) -4

В силу (6.10) - (6.12) из (6.5) - (6.8) получим явное представление 4А. Q 9)(/СК)) . Лемма 6.1. а) если / линейный ограниченный оператор, отображающий L f z,l)xL (-1,1) в сеС я» тогДа существует/, є{Ц такой, что любой элемент е$Э при 0 представим формулами (6.5) - (6.8), где у и V- определяются соотношениями (6.10) - (6.12). б) обратно, если І є {4 0 » то существует линейный ограниченный оператор К , отображающий /Z(-,V / ,(- &) в себя такой, что для любого ц є Ъ( ) справедливы (6.5)-(6.8)

Приступим к описанию регулярных расширений в терминах краевых условий. Теорема 6.1. Пусть ljK)e{l} и Я}(с }) с \j(Si) . Тогда: а) существует линейный оператор К. такой, что и любой элемент ## - 2/ при U 0 удовлетворяет следующим граничным условиям: Ч, (i)-- UL = i ок-П, -гН - , (е.із) - 89 -l t l. (6.14) isi 2.. (6.15) -l l±-l. «!@ - «U - fc N ЧКг 0) щі) = u/n = («і № "ffe+ (e-B) Kc it) Ш + «.-К) + (в )(г.)-( (Е 5)-\в-в)Ч-)Ш, -i l l (6Л7) lit Li) = 4e = ( H-) Щ - Ів -f ЄҐ(є -s) K0 f) (і) + + (віСь+вУЇЕ - a) у) Jte (і), і і г.. (6Л8) б) Обратно, если линейный оператор К такой, что , KZiK0 отображают 1г( гФУг( ) АМ КЩ1 АШ W& )\ сужение I на множестве функций U W (siJa 4)U ) » Удовлетворяющих условиям (6.13) - (6.18) будет регулярным расширением оператора L0

Доказательство. Если и G (Z, ) » тогда согласно лемме 6.1. в характеристическом четырехугольнике АМ справедливо представление

Теорема 6.2. Область определения регулярного расширения д оператора и0 является сужением 1/ на подмножестве функций Ufa у) є %)(/, ) А к/г (л) удовлетворяющих краевым условиям (5.2) и (6.25)-(6.27).

Похожие диссертации на О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей