Введение к работе
Актуальность темы исследования. Теория уравнений смешанного типа - один из основных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Эта теория получила интенсивное развитие в последнее время, так как появилось достаточно много прикладных задач, математическое моделирование которых обуславливает изучение различных типов уравнений в рассматриваемой области изменения независимых переменных.
В 1902 году впервые на важность уравнений смешанного типа обратил А С. Чаплыгин. Им было указано на то, что движение газа в условиях перехода от дозвуковой к сверхзвуковой скорости описывается уравнением смешанного типа. Это уравнение в настоящее время носит название уравнения Чаплыгина.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми и С. Гсллерстедта, где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи принципиально нового типа.
Интерес к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа появился после работ Ф.И. Франкля, в которых впервые обращено внимание на то, что многие задачи трансзвуковой газовой динамики и гидродинамики приводят к задаче Дирихле.
На некорректность задачи Дирихле для уравнения
ихх + sgnyuyy = 0
в смешанной области впервые обратил внимание А.В. Бицадзе. Причем некорректность задачи Дирихле не зависит от малости меры гиперболической части области.
Результат А.В. Бицадзе с необходимостью поставил вопрос поиска сме шанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной.
Для строго гиперболического уравнения в цилиндрической области за-
дача Дирихле исследовалась в работах Di nwfcgetiBuZariMaanofclou Е . где
s«W
С Пел
получен ряд интересных результатов по разрешимости и единственности этой задачи.
Существенные результаты в теории задач Дирихле и смешанных краевых задач для уравнений смешанного типа получены в работах Н.Н. Бахании. В.А. Елеева, Д.Р Коннона. А.М Нахушева, В.А. Нахушевой, А.П. Солдатова, Р М. Сохадзе. М.М. Хачева, Б В. Шабата М.В. Швецкого.
Цель работы. Основной целью работы является:
Исследование вопросов существования и единственности решения задачи Дирихле и смешанных краевых задач для уравнений смешанного типа, содержащих вырождающиеся гиперболические уравнения первого и второго родов с младшими членами в прямоугольных областях.
Методы исследования. Для решения поставленных задач были применены: метод "abc". метод Фурье, методы теории интегральных уравнений и теории специальных функций.
Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми. Развит и обоснован метод Фурье применительно к решению краевых задач для уравнений эллиптико-гиперболического и гиперболо-параболического типов, содержащих вырождающиеся гиперболические уравнения первого и второго рода с младшими членами в двумерной прямоугольной области.
В диссертации получены следующие основные результаты'
-
Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с оператором Келдыша в гиперболической части прямоуіольной области.
-
Доказаны теоремы существования и единственности решения смешанных краевых задач для уравнения эллиптико-гиперболического гипа с младшими членами с операторами Геллерстсдта и Келдыша в гиперболической части прямоугольной области.
-
Доказаны теоремы существования и единственности решения зада чи Дирихле для уравнения гиперболо-параболического типа с младшими членами с оператором Келдыша в гиперболической части прямоугольной области.
4. Доказаны теоремы существования и единственности решения смешанной краевой задачи для уравнения гиперболо-параболического типа с младшими членами с оператором Келдыша в гиперболической части прямоугольной области.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Практическая ценность полученных результатов обусловлена применением теории уравнений смешанного типа к решению прикладных задач, в том числе газовой динамики до- и сверхзвуковых течений.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на семинаре по краевым задачам для уравнений смешанного типа в КБГУ (руководитель - академик АМАН Елеев В.А ); на научно-исследовательском семинаре по современному анализу, информатике и физике (руководитель - заслуженный деятель науки РФ, академик АМАН A.M. Нахушев): на научно-практической конференции студентов и аспирантов АГУ "Мир науки и творчества"(Сухуми, май 2001 г.); на региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (Приэльбрусье, 2002 г.); на Международном Российско-Узбекском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, май 2003 г.); на Международном Российско-Казахском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, май 2004 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. Из них работы [2]-[3] выполнены в соавторстве с В.А. Елее-вым, которому принадлежит постановка задачи и общие указания по их решению.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на шесть параграфов, списка литературы.
Нумерация параграфов двойная: первая цифра указывает на номер главы, вторая - на номер параграфа; нумерация формул - тройная: первая цифра указывает на номер главы, вторая на номер параграфа тре-
тья - на номер формулы.
Объем диссертации 119 страниц машинописного текста. Список использованных источников содержит 48 наименований
