Введение к работе
Актуальность темы. Начиная о двадцати годов нашего столетия, ведутся интенсивные исследования проблем теории краевых задач для уравнений смешанного типа, основы которой били заложены в фундаментальных работах Ф.Трикоми, С.Геллерстедта, А.В.Бицадзе, Ф.И.Франкля и К.И.Бабенко.
Интерес к изучению краевых задач для таких уравнений особенно возрос после того, как обнаружилась их связь с задачами газовой динамики, теории оболочек, магнитной гидродинамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, изучением процессов теплообмена, а также с другими областями науки и техники. Этот интерес обусловлен не только в практическом плане, но и большим математическим содержанием возникающих здесь проблем.
В связи с этим в настоящее время имеются многочисленные работы отечественных и зарубежных ученых, в которых исследуются основные краевые задачи и ставятся новке корректные задачи для уравнений смешанного типа. Обзор многих из этих исследований и их прилоиений момно найти в монографиях А.В.Бицадзе, Л.Берса , М.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураева, М.М.Смирнова, А.М.Нахушева, С.А.Терсенова и Е.И.Моисеева.
В последнее время активно развивается теория нелокальных краевых задач. Основополагающими в этом направлении являются работы А.В.Бицадзе и А.А.Самарского, А.М.Нахушева. Изучению таких задач посвящено много исследовательских работ, среди которых следует отметить работы М.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураева, Ш.А.Алимова, Т.Ш.Кальмено-ва, М.М.Мередова, В.Н.'Врагова, М.М.Смирнова, В.Ф.Волкодавова, В.И.Жегалова и их учеников.
В начале пятидесятых годов А.В.Бицадзе бия поставлен и изучен аналог задачи Триноми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в двусвяаной области. Однако, до настоящего времени как локальные, так и нелокальные краевые задачи, в основном, рассматривались в односвязных областях. Краевые задачи для уравнении смешанного типа с одной линией вырождения в двусвяаной области изучены сравнительно мало, а для уравнения с двумя линиями вырокдення и о младшими членами, почти не изучены.
Данная диссертационная работа посвящена постановке и исследованию нелокальных краевых задач типа Бицадзе-Самарского в двусвязной области для уравнений
StfLX-uxx -t StfH.y U - A Sift (x+ff)U = О, Ц)
^УІУІ Ч-хх + им ~ Л If U--D, ш)0, (2)
где Л - заданное действительное число.
Цель работы. Основная цель работы состоит в постановке и исследовании вопросов существования и единственности решения нело^-кальних краевых задач в смешанной двусвязной области для уравнений смешанного зллиптико-гйперболического типа с одной и двумя линиями вырождения.
Методика исследования. Единственность решения изучаемых задач доказывается методами интегралов энергии и принципа экстремума, причем при применении этих1 методов существенно используются интегральное представление и свойства функции Бесселя. При доказательстве существования решения рассматриваемых задач широко применяется теория сингулярных интегральных уравнений н систем линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
Научная новизна. Поставлена и исследована нелокальная краевая задача с нормальной производной для уравнения (І) в смешанной двусвязной области, а такие ряд вспомогательных задач для этого ate уравнения в одноовязных областях. В работе впервые исследованы нелокальные краевые задачи типа Бицадзе-Самарского в смешанной двусвязной области для уравнения (2). При этом нелокальные условия заданы как в эллиптической, так и в гиперболической части смешанной двусвязной области.
Практическая и теоретическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми и имеют теоретический характер.' Они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнений смешанного типа, а также при решении прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.
Апробация, работы. Результаты диссертации докладывались на объединенном семинаре отделов "Дифференциальные уравнения" и '
"Неклассические уравнения математической физики" Института математики им.В.И.Романовского АН Республики Узбекистан (руководитоли - акадомпкп All РУз М.С.Салахитдинов и Т.Д.Дкураев), ' на Международной научной конференции "Выровдаюшлеся уравнения и уравнения смешанного типа" (г.Ташкент, 1993 г., ноябрь), на конференциях молодых ученых г.Ташкента, посвященной памяти В.И.Романовского (І99І-І9У4 гг.).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 4 работах, перечень которых приведен в конце автореферата.
Структура и обьем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, содеряатих 3 параграфов, и библиографии. Общий обьем работы У7 страниц машинописного текста. Библиография включает 64 наименования.
