Содержание к диссертации
Введение
1 Нестационарное уравнение в сужающейся области 17
1.1 Основные определения 17
1.2 Постановка задачи 19
1.3 Основные функциональные пространства 20
1.4 Определение обобщенного решения 21
1.5 Теорема существования обобщенного решения . 23
1.6 Теорема единственности обобщенного решения . 38
2 Пара сопряженных задач в нецилиндрической области. Исследование поведения решения 45
2:1 Постановка задачи 45
2.2 Основные функциональные пространства 47
2.3 Определение обобщенного решения 50
2.4 Теорема существования и единственности 54
2.5 Оценки поведения решения при больших значениях времени 59
2.6 Поведение решения в зависимости от времени в случае регулярных областей 66
2.7 Поведение решения в зависимости от времени в случае областей вращения 69
3 Пара сопряженных задач в нецилиндрической области. Случай неограниченных коэффициентов 70
3.1 Постановка задачи 70
3.2 Основные функциональные пространства 72
3.3 Определение обобщенного решения 75
3.4 Теорема существования и единственности 78
3.5 Поведение решения в зависимости от времени . 83
3.6 Поведение решений при больших значениях времени в регулярной области 88
Приложения 93
Список литературы 95
Введение к работе
4 Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию одно значной разрешимости начально-краевых задач для одного класса нестационарных уравнений Соболевского типа в нецилиндрических областях и изучению поведения решений таких задач при больших значениях времени. Рассмотрены также разрешимость пар сопряженных задач для уравнений Соболевского типа в нецилиндрической области, случай неограниченных коэффициентов в уравнении.
Исследуемые в работе начально-краевые задачи можно формально записать в операторно-дифференциальном виде
Lut(x, t) = Ми(х, t) + /(ar, t), (0.1)
v.
и(х,0) = щ(х), (0.2)
где оператор L определен следующим образом:
Lu = div(k(x,t)Vu) — c(x,t)u;
%
функция и(х, t) определена в нецилиндрической области QT.
В литературе уравнение (0.1) известно как уравнение Соболевского типа [47] (также используются термины: уравнение "не типа . Коши-Ковалевской", псевдопараболическое уравнение, вырожден ное уравнение). Исследование подобных уравнений в первую оче • редь связано с исследованием задач гидродинамики [44], [39], физики атмосферы [31], физики плазмы [32], [21].
Спектр применения краевых задач для уравнений параболического типа в области с границей, движущейся во времени (нецилиндрические области), достаточно пшрок. Подобного рода задачи возникают в различного рода процессах массо- и теплопереноса: при изучении процессов горения в ракетных двигателях на твердом топливе [11], термическом разложении материалов [58], замораживании и нагреве грунта [2], при иследовании проблем атомной энергетики и безопастности атомных реакторов [42], [76], экологии и медицины [34], твердения бетона [43], а также при решении некоторых задач теории теплопроводности твердых тел (при тепловом ударе) [19], тепловой защите космических аппаратов [40], [29] и др.
Задачи Коши вида (0.1), (0.2) в зависящих от времени областях используются при постановке некоторых задач гидромеханики [3], [44], [39], добычи нефти [45], явления электрического взрыва проводников [46].
Историография вопроса. Данная работа находится на стыке сравнительно нового научного направления теории неклассических задач математической физики — уравнений Соболевского типа и теории начально-краевых задач для различного типа уравнений в нецилиндрических областях.
Исследование уравнений, неразрешенных относительно производной по времени, началось с работы А.Пуанкаре ([75], 1885 г.). Начало систематических исследований таких уравнений было положено в работе С.Л. Соболева ([48], 1954 г.), чьим именем они и стали называться в дальнейшем [47]. Многообразие аспектов, в которых рассматриваются краевые задачи для линейных уравнений Соболевского типа, можно представить сославшись на работы Г.В. Демиден-ко и СВ. Успенского [64], [49], A. Favini и A. Yagi [65], И.В. Мельниковой и А.И. Филинкова [74], А.И. Кожанова [22], В.Н. Врагова [7], И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова и СВ. Попова [10], Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [78] и многих других.
В монографии Г.В. Демиденко и СГ. Успенского [64] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по времени, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны так:
1-і A0Dltu + Y,Ai-kDtu = f,
к=0
где Ло, Ai,...,Ai — линейные дифференциальные операторы относительно х = {х\,Х2, ••iXn). AQ не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.
В работе A. Favini и A. Yagi [65] исследуется задача с начальными условиями
—Mv = Lv + f(t), 0 t T, at
Mv(Q) = v0,
в банаховом пространстве X, где М к L — замкнутые операторы в X, f{t) — непрерывная на [О, Т) функция со значениями в X. a VQ -заданный элемент из X. Для исследования этой задачи использовался метод линейных дифференциальных включений и порожденных ими полугрупп.
И.В. Мельниковой в [33] было исследовано дифференциальное включение с линейным многозначным оператором А -u(t) Є Au(t), к которому можно редуцировать уравнение (0.1). Получены критерии корректности поставленной задачи, при этом речь идет о существовании решения задачи на полупрямой или, во втором случае, локальной задачи Коши, экспоненциально устойчивого относительно изменения начального значения в смысле более сильной нормы. В монографии [74] И.В. Мельниковой и А.И. Филинковьтм изложены основные методы решения абстрактной задачи Коши для линейных вырожденных уравнений с точки зрения их взаимосвязи друг с другом.
В монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [78] наряду с задачей Коши для однородного уравнения Соболевского типа рассматривается задача Коши для линейного неоднородного уравнения вида (0.1), (0.2). Используя метод фазового пространства, авторы описали условия разрешимости задачи Коши, общий вид классического решения. Полученные в [53] — [55] В.Е. Федоровым результаты дополняют теорию вырожденных полугрупп линейных операторов.
Исходным пунктом работ в теории начально-краевых задач для различного типа уравнений и систем в нецилиндрических областях принято считать работы М. Жевре ([41], 1913 г.) и И.Г. Петровского ([41], 1934 г.). В этих работах было впервые проведено исследование смешанной задачи для одномерного уравнения теплопроводности в нецилиндрической области. В зарубежных изданиях подобные задачи для уравнений в нецилиндрических областях называют задачами в изменяющейся со временем области [59[, \66], [77].
Начально-краевые задачи для различных классов уравнений в нецилиндрических областях изучались с точки зрения доказательств теорем существования, единственности и исследования по ведения решений, например, в работах Ю.К.Герасимова [9], В.П.Михайлова [35], Ю.И. Черемных [56], В.И. Ушакова [51], [52], P. Cannar-sa , G. Da Prato и S.-R Zolezio [62], G. DaPrato и P. Grisvard [63], Ю.А. Алхутова [1], A.E. Шишкова [57], M.O. Орынбасарова [38], I. Hiroshi и 6. Mitsuharu [69], H. Watanabe [79], В. Карзюка [18], П.В. Виноградовой [5], H.E. Истоминой и А.Г. Подгаева [12] и др.
Работы А.И. Кожанова [70], А.И. Кожанова и Н.А. Ларькина [24], [71], J. Ferreira [66], J. Ferreira , R. Benabidallah , Л. Rivera и E. Munoz [67] посвящены исследованию начально-краевых задач для нелинейных волновых уравнений в нецилиндрических областях. В работах [67], [71] применяется методика, предложенная J.L.Lions в [72], заключающаяся в сведении нецилиндрической области к цилиндрической.
Авторы статьи [61] R.M. Brown, W.L. Ни и М. Gary вводят альтернативное общепринятому понятие слабого решения параболического уравнения в нецилиндрических областях и доказывают однозначную разрешимость краевых и смешанных краевых задач, ассоциированных с этим уравненинием.
Обобщению принципов теории начально-краевых задач на случай нецилиндрических областей посвящены работы: С.Г. Крейна и Г.И. Лаптева [25] — теория абстрактных эволюционных уравнений в шкалах банаховых пространств; Л.И. Камынина [16] — теория Жев-ре; Л.И. Камынина и Б.Н. Химченко [15], [17] — принцип максимума; И.Т. Мамедова и И.А. Гасановой [30], Э.М. Картаиюва [20] — метод функций Грина; L.J. Lewis и A.M. Murray,[73] — метод послойных потенциалов; П.В. Виноградовой [6] — метод Ротэ; П.В. Виноградовой и А.Г. Зарубина [4], Н.Е. Истоминой [14] — метод Галеркина; Н.Е. Истоминой [13]— метод монотонности и т.д.
Первые работы, посвященные исследованию уравнений и систем уравнений Соболевского типа в нецилиндрических областях, появились сравнительно недавно. В настоящее время эта тематика остается мало изученной и представляется актуальной.
В работе A. Bouziani [60] рассматриваются начально-краевые задачи для нелинейных уравнений Соболевского типа:
в нецилиндрической области вида: = {&т)е&\Г1(т) Г2(т)}, (Гг-(т) — неубывающие кривые) с интегральными граничными условиями:
гЫт) / Є 0(,тК = Мг-(т), і = 0,1.
Доказана априорная оценка, существование, единственность и непрерывная зависимость решения данной задачи от начальных условий.
В [8] С.Н. Глазатовым рассматривается нелинейное уравнение Соболевского типа в нецилиндрической области с граничным условием 1-го рода:
щ - div(a(Vxii)) - Ахщ = f(x, t),
и(х, 0) = щ(х), х Є DQ,
мг = 0.
Методами "штрафа", Галеркина, компактности и монотонности доказывается однозначная разрешимость поставленной задачи как в двумерном, так и в (п + 1) случае в терминах вариационных неравенств.
Цель работы. Исследование однозначной разрешимости и поведения решений одного класса начально-краевых задач для уравнений Соболевского типа (0.1) в нецилиндрической области.
Методы исследования. В диссертации использовались методы теории функций и функционального анализа, методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, теория пространств С.Л. Соболева. Используются: метод Галеркина-Фуэдо, техника получения и применения априорных оценок, теория операторов, теоремы вложения, теоремы о следах.
Теоретическая значимость и научная новизна. Работа носит теоретический характер. В диссертации получены следующие результаты:
• предложен подход к исследованию линейных начально-краевых задач в областях с изменяющейся в зависимости от временим границей без замены переменных;
• доказаны теоремы существования и единственности для данного типа задач;
• исследовано поведение решений данного типа задач при больших значениях времени в регулярных областях;
• установлены теоремы об однозначной разрешимости и поведении решений пары сопряженных задач в случае неограниченных коэффициентов уравнения.
Основные результаты являются новыми и могут быть использованы в дальнейшем при изучении теории уравнений Соболевского типа в иецилиндрических областях.
Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" в г. Стерлитамаке (1998 г.), на зимней и весенней
Воронежских математических школах (1999 г.), на международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" в Челябинске (1999 г.), на международной научной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" в г. Уфа (2000 г.), на Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященному памяти М.А.Лаврентьева в г. Новосибирске (2000 г.), на городских семинарах по уравнениям Соболевского типа (под рук-вом проф. Г.А. Свиридюка) и по асимптотическим методам (под рук-вом акад. РАН A.M. Ильина) в г. Челябинске. Кроме того, данное исследование поддержано грантами РФФИ 97-01-00444. Минобразования 1998-2000 г.г. и стипендией Законодательного собрания Челябинской области (2000).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в [80]—[93] списка литературы.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа содержит 112 страниц, включая библиографический список из 93 наименований.
Содержание работы. Пусть Q — область в пространстве R"+1. В качестве QT будем рассматривать множество
QT = {(хЛ) Є Q\t Є [0, Г]}.
Будем обозначать Q,T проекцию сечения области QT гиперплос костью {t = т} на гиперплоскость {t = 0}.
Область QT будем называть нецилиндрической, если:
3tut2G[0,T}, nk nl2.
Рассматриваемые в работе нецилиндрические области подразделяются на два вида: сужающиеся по времени области и расширяющиеся по времени области.
Будем говорить, что нецилиндрическая область QT сужается по времени, если Г2о не пуста и имеет место следующее включение
V i, 2: 0 h t2 Т, ПІ2 С Qtl
Аналогично введено понятие расширяющейся нецилиндрической области. Следует отметить, что включения считаем нестрогими, т.е. все дальнейшие результаты применимы также для случая цилиндрических областей.
В первой главе рассматривается вопрос существования и единственности второй краевой задачи в сужающейся по времени области QT div(k(x,t)Vut{x,t)) -с{хЛ)щ{хЛ) = b(x,t)u(x,t) + f{x,t){1.2)
и(х,0) = ip(x) (1.3)
= 0, (1.4)
г
дщ
дп
b(x, t), с(х, t), к(х, t) — положительные измеримые в QT функции.
ф) Є L2(UQ), f(x,t)eL2{QT).
Г = dQD(0, T) — боковая поверхность QT,
n — внешняя нормаль к Г по пространственным переменным.
Г = {(х,ф(х))\ хеПо, ф(х) : Rn- R}, где функция ф(х) есть точная верхняя грань множества таких t, что отрезок с концами в точках (х, 0) и (х, t) лежит в Qr.
Были доказаны теоремы существования и единственности решения данной задачи.
Во второй главе диссертации исследована вторая краевая задача для уравнения:
div(k(x, t)Vut{x, t)) = b(x, t)u(x, t) + f(x, t)
= Vy?(a:),
t=o
= 0,
Vu(x, t) dut(x,t)
dux
(2.1) (2.2)
(2.3)
В данной главе в качестве области определения решения поставленной задачи берется нецилиндрическая область, сужающаяся по времени. Целью главы является доказательство однозначной разрешимости поставленной задачи и сопряженной к ней:
-div(k(x, t)Vv(x, t))t = b(x, t)v(x, t) + /(ж, і), dv(x,t)
dvr
= 0.
Vv(x,ip{x)) = 0, 14 (2.8)
(2.10)
(2.9)
Сопряженная задача определена в расширяющейся по времени области.
Доказаны теорема означающая однозначную разрешимость задач (2.1)-(2.3) и (2.8)-(2.10) и теорема характеризующая поведение решения поставленной задачи при k(x,t) = 1. b(x,t) = 1 в случае, когда область достаточно регулярна. Результаты данной главы являются новыми и в случае неограниченных по пространственным переменным цилиндрических областей.
В третьей главе диссертации рассматривается вторая краевая задача для уравнения Соболевского типа:
-Aut(x,t) + b(t)u(x,t) = 0, (3.1)
= Vy (ar), (3.2)
ди
t-o
ди.
= 0, (3.3)
г
причем b(t) — не является ограниченной, область QT — сужается по времени. Введены определения обобщенных решений, аналогично второй главе доказана теорема существования и единственности поставленной и сопряженной к ней задач. Исследовано поведение решения в зависимости от времени.
Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доценту Владимиру Игнатьевичу Ушакову за постановку задачи и помощь в работе; коллективам кафедр математического анализа и вычислительной математики Челябинского государственного университета за ценные советы; а также своей семье за необходимую моральную поддержку.
Основные функциональные пространства
Диссертация посвящена исследованию одно значной разрешимости начально-краевых задач для одного класса нестационарных уравнений Соболевского типа в нецилиндрических областях и изучению поведения решений таких задач при больших значениях времени. Рассмотрены также разрешимость пар сопряженных задач для уравнений Соболевского типа в нецилиндрической области, случай неограниченных коэффициентов в уравнении.
Спектр применения краевых задач для уравнений параболического типа в области с границей, движущейся во времени (нецилиндрические области), достаточно пшрок. Подобного рода задачи возникают в различного рода процессах массо- и теплопереноса: при изучении процессов горения в ракетных двигателях на твердом топливе [11], термическом разложении материалов [58], замораживании и нагреве грунта [2], при иследовании проблем атомной энергетики и безопастности атомных реакторов [42], [76], экологии и медицины [34], твердения бетона [43], а также при решении некоторых задач теории теплопроводности твердых тел (при тепловом ударе) [19], тепловой защите космических аппаратов [40], [29] и др.
Задачи Коши вида (0.1), (0.2) в зависящих от времени областях используются при постановке некоторых задач гидромеханики [3], [44], [39], добычи нефти [45], явления электрического взрыва проводников [46].
Историография вопроса. Данная работа находится на стыке сравнительно нового научного направления теории неклассических задач математической физики — уравнений Соболевского типа и теории начально-краевых задач для различного типа уравнений в нецилиндрических областях.
Исследование уравнений, неразрешенных относительно производной по времени, началось с работы А.Пуанкаре ([75], 1885 г.). Начало систематических исследований таких уравнений было положено в работе С.Л. Соболева ([48], 1954 г.), чьим именем они и стали называться в дальнейшем [47]. Многообразие аспектов, в которых рассматриваются краевые задачи для линейных уравнений Соболевского типа, можно представить сославшись на работы Г.В. Демиден-ко и СВ. Успенского [64], [49], A. Favini и A. Yagi [65], И.В. Мельниковой и А.И. Филинкова [74], А.И. Кожанова [22], В.Н. Врагова [7], И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова и СВ. Попова [10], Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [78] и многих других.
И.В. Мельниковой в [33] было исследовано дифференциальное включение с линейным многозначным оператором А к которому можно редуцировать уравнение (0.1). Получены критерии корректности поставленной задачи, при этом речь идет о существовании решения задачи на полупрямой или, во втором случае, локальной задачи Коши, экспоненциально устойчивого относительно изменения начального значения в смысле более сильной нормы. В монографии [74] И.В. Мельниковой и А.И. Филинковьтм изложены основные методы решения абстрактной задачи Коши для линейных вырожденных уравнений с точки зрения их взаимосвязи друг с другом.
В монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [78] наряду с задачей Коши для однородного уравнения Соболевского типа рассматривается задача Коши для линейного неоднородного уравнения вида (0.1), (0.2). Используя метод фазового пространства, авторы описали условия разрешимости задачи Коши, общий вид классического решения. Полученные в [53] — [55] В.Е. Федоровым результаты дополняют теорию вырожденных полугрупп линейных операторов.
Исходным пунктом работ в теории начально-краевых задач для различного типа уравнений и систем в нецилиндрических областях принято считать работы М. Жевре ([41], 1913 г.) и И.Г. Петровского ([41], 1934 г.). В этих работах было впервые проведено исследование смешанной задачи для одномерного уравнения теплопроводности в нецилиндрической области. В зарубежных изданиях подобные задачи для уравнений в нецилиндрических областях называют задачами в изменяющейся со временем области [59[, \66], [77].
Начально-краевые задачи для различных классов уравнений в нецилиндрических областях изучались с точки зрения доказательств теорем существования, единственности и исследования по ведения решений, например, в работах Ю.К.Герасимова [9], В.П.Михайлова [35], Ю.И. Черемных [56], В.И. Ушакова [51], [52], P. Cannar-sa , G. Da Prato и S.-R Zolezio [62], G. DaPrato и P. Grisvard [63], Ю.А. Алхутова [1], A.E. Шишкова [57], M.O. Орынбасарова [38], I. Hiroshi и 6. Mitsuharu [69], H. Watanabe [79], В. Карзюка [18], П.В. Виноградовой [5], H.E. Истоминой и А.Г. Подгаева [12] и др.
Работы А.И. Кожанова [70], А.И. Кожанова и Н.А. Ларькина [24], [71], J. Ferreira [66], J. Ferreira , R. Benabidallah , Л. Rivera и E. Munoz [67] посвящены исследованию начально-краевых задач для нелинейных волновых уравнений в нецилиндрических областях. В работах [67], [71] применяется методика, предложенная J.L.Lions в [72], заключающаяся в сведении нецилиндрической области к цилиндрической.
Авторы статьи [61] R.M. Brown, W.L. Ни и М. Gary вводят альтернативное общепринятому понятие слабого решения параболического уравнения в нецилиндрических областях и доказывают однозначную разрешимость краевых и смешанных краевых задач, ассоциированных с этим уравненинием. Обобщению принципов теории начально-краевых задач на случай нецилиндрических областей посвящены работы: С.Г. Крейна и Г.И. Лаптева [25] — теория абстрактных эволюционных уравнений в шкалах банаховых пространств; Л.И. Камынина [16] — теория Жев-ре; Л.И. Камынина и Б.Н. Химченко [15], [17] — принцип максимума; И.Т. Мамедова и И.А. Гасановой [30], Э.М. Картаиюва [20] — метод функций Грина; L.J. Lewis и A.M. Murray,[73] — метод послойных потенциалов; П.В. Виноградовой [6] — метод Ротэ; П.В. Виноградовой и А.Г. Зарубина [4], Н.Е. Истоминой [14] — метод Галеркина; Н.Е. Истоминой [13]— метод монотонности и т.д.
Методами "штрафа", Галеркина, компактности и монотонности доказывается однозначная разрешимость поставленной задачи как в двумерном, так и в (п + 1) случае в терминах вариационных неравенств.
Цель работы. Исследование однозначной разрешимости и поведения решений одного класса начально-краевых задач для уравнений Соболевского типа (0.1) в нецилиндрической области.
Методы исследования. В диссертации использовались методы теории функций и функционального анализа, методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, теория пространств С.Л. Соболева. Используются: метод Галеркина-Фуэдо, техника получения и применения априорных оценок, теория операторов, теоремы вложения, теоремы о следах. Теоретическая значимость и научная новизна. Работа носит теоретический характер. В диссертации получены следующие результаты: предложен подход к исследованию линейных начально-краевых задач в областях с изменяющейся в зависимости от временим границей без замены переменных; доказаны теоремы существования и единственности для данного типа задач; исследовано поведение решений данного типа задач при больших значениях времени в регулярных областях; установлены теоремы об однозначной разрешимости и поведении решений пары сопряженных задач в случае неограниченных коэффициентов уравнения. Основные результаты являются новыми и могут быть использованы в дальнейшем при изучении теории уравнений Соболевского типа в иецилиндрических областях.
Определение обобщенного решения
При этом большое внимание уделяется проблемам обработки пространственных полей, что обусловлено многообразием практических задач, в которых используются либо сами изображения пространственных неоднородностей, либо результаты их анализа [3, 6, 85 и т.д.]. Необходимость в обработке изображений пространственных неоднородностей возникает при изучении из космоса природных ресурсов Земли, при управлении движущимися объектами, в задачах геофизики, неразрушающе го контроля и материаловедения, медицинской диагностики, автоматизации научных исследований, распознавании образов, количественной оценке параметров объектов. При этом обработка изображений превратилась в направление, целью которого стала не только передача изображений, но и извлечение информации, заключающейся в изображениях [14, 15, 77, 116 и т.д.]. Возрастающий объём задач и повышение требований к точности и скорости их решения вызвали необходимость развития средств и методов автоматизации обработки изображений [25, 114, 115].
При проектировании изображающих систем требования к идеальной системе формулируются как требования к определённым техническим характеристикам системы, таким как разрешающая способность, фотометрическая точность, уровень посторонних шумов и т.д. Характеристики реальных изображающих систем - оптических, фотографических, телевизионных - отличаются от идеальных. В результате изображения на выходе таких систем претерпевают искажения. С целью устранения такого рода искажений для обработки изображений применяют различные методы коррекции, примерами которых может служить повышение четкости расфокусированных изображений, устранение смаза, подавление шумов. Проблемам коррекции нелинейных искажений вносимых системами формирования изображения посвящены работы [3, 11, 19], в основе которых лежит применение различных адаптивных методов фильтрации [1, 106].
Так же необходимо отметить, что изображения в процессе формирования обычно искажаются случайными помехами или шумом [54, 77, 113]. Для учёта этих искажений необходимо знать статистические характеристики шума. Иногда эти характеристики можно определить, исходя из структуры и характеристик изображающих систем. Например, шум зернистости фотоплёнки в фотографических системах определяется её типом и режимом фотохимической обработки, шум в радиотелевизионных системах - мощностью радиосигнала в канале связи. При отсутствии таких данных приходится оценивать характеристики шума по уже сформированному изображению или набору изображений с однородным шумом. В этих случаях статистические характеристики шума извлекаются из измерений статистических характеристики наблюдаемого видеосигнала, используя различия этих характеристик для изображения и шума. Наиболее распространённым видом помех на изображениях является аддитивный и статистически независимый от видеосигнала флюктуационный шум, который характеризуется своей дисперсией и корреляционной функцией [113]. Из других видов помех на изображении можно выделить импульсные помехи, периодические помехи и шум квантования. Импульсные помехи - это случайные и независимые искажения отсчётов изображения, при которых значения отсчётов сигнала с некоторой вероятностью заменяются случайной величиной с равномерным распределением. Они характеризуются вероятностью искажения отсчётов. Периодические помехи создают на изображении периодические, муаровидные узоры. Шум квантования определяется числом уровней квантования видеосигнала.
Для борьбы с указанными видами помех применяются различные виды фильтрации изображений [I, 106, 113]. В частности, для подавления импульсных помех используются медианная фильтрация [77], которая в отличие от линейной низкочастотной фильтрации сохраняет резкие перепады интенсивности изображения. Этот метод нелинейной обработки изображения оказывается полезным и при подавлении шума на изображении. Однако, при определённых условиях применение медианных фильтров может приводить к нежелательному подавлению полезного изображения [77]. Также для подавления шумов на изображении применяется винеровская фильтрация [113].
Определение обобщенного решения
Признаком изображения считается его простейшая отличительная характеристика или свойство. Некоторые признаки являются естественными в том смысле, что они устанавливаются визуальным анализом изображения, тогда как другие, так называемые искусственные признаки, получаются в результате его специальной обработки или измерений. К естественным признакам относятся яркость и текстура различных областей изображения, форма контуров объектов. Гистограммы распределения яркости и спектры пространстве иных частот дают примеры искусственных признаков. Работы [15, 23, 48, 71] посвящены различным методам выделения признаков изображений. Однако необходимо отметить, что подавляющее большинство описанных в литературе способов позволяют эффективно выделять признаки изображений лишь при достаточно больших отношениях сигнал/шум.
Системы понимания изображений, предназначенные для анализа изображений, представленных функцией или массивом чисел, и составления описания изображённой сцены рассмотрены в работах [71, 105, 115]. В простейшем виде система понимания изображений может просто сообщать о том, что на изображении имеется заданный объект или же, возможно какой-нибудь неожиданный объект. В другом предельном случае такая система может создавать общее словесное описание сцены так же, как если бы человек написал о содержании данного изображения. Уже созданы системы, выполняющие относительно простые задачи описания изображений ограниченного класса. В настоящее время исследования направлены на развитие обобщённых программируемых систем, которые могли бы обрабатывать широкий класс изображений возникающих в разнообразных задачах.
Одной из важнейших в прикладном отношении задач, которая должна быть решена при обработке пространственных полей, является задача обнаружения объектов. В последнее время активно развиваются статистические методы обнаружения и выделения локальных неоднородностей на изображениях. При этом не только интенсивность, но и форма локальной неоднородности считается случайными [60, 117]. Для обнаружения локальной неоднородности (ярко освещенного элемента изображения) изображение разбивают на зоны, в результате статистического анализа которых, принимается решение о принадлежности области к изображению или фону. Работы [82, 83] посвящены оптимизации и упрощению аппаратной реализации таких алгоритмов.
Однако применение описанных выше способов обработки пространственных полей возможно лишь при достаточно больших отношениях сигнал/шум. В противном случае эффективность рассмотренных методов обработки резко падает. Также необходимо отметить, что в некоторых приложениях недопустимо применение методов фильтрации изображений из шума, так как это может привести к существенному изменению характеристик неоднородности изображения и потере полезной информации.
Таким образом, для решения задач обработки изображений при низких отношениях сигнал/шум необходимо применение методов теории оценивания и статистических решений. Применение метода максимального правдоподобия достаточно подробно описано в литературе [20, 34, 46 и т.д.]. При этом показано [46], что если существует эффективная оценка, то оценка максимального правдоподобия является эффективной. Для оценки регулярных параметров доказано свойство асимптотической эффективности метода максимального правдоподобия [98]. По мере увеличения разрешающей способности систем дистанционного наблюдения стало необходимым учитывать скачкообразное изменение интенсивности на границах изображений и тем самым стало оправданным применение в моделях изображений разрывных функций. Для оценок параметров разрывных изображений оптимальность метода максимального правдоподобия не доказана. При решения многих задач обработки изображений неизвестный параметр изображения, можно считать случайным. Это позволяет использовать байесовский подход к задаче оценки параметров изображений [51, 60].
Однако, с увеличением разрешающей способности систем дистанционного формирования изображений, всё большое влияние на характеристики алгоритмов обработки пространственных полей оказывает степень неоднородности изображения. Также необходимо отметить, что существует достаточно большой класс изображений, основная информация в которых сосредоточена именно в неоднородности изображения. К таким изображениям можно, например, отнести изображения отпечатков пальцев, при этом площадь изображения можно считать неизвестной величиной. В таких приложениях как криминалистика зачастую изображения оказывается сильно зашумлённым при этом нельзя провести его фильтрацию, так как может быть потеряна полезная информация. Описание таких изображений случайными полями так же нецелесообразно, так как различные изображения практические не будут отличаться своими статистическими свойствами. Поэтому в таких приложениях необходимо применение статистических алгоритмов обработки пространственных неоднородностей на основе принципов описанных выше. Задача обнаружения и оценки площади изображения также возникает в медицине при автоматической обработки изображения плазмы крови. Изображения лейкоцитов при этом можно описывать изображением с неизвестной площадью [15].
