Содержание к диссертации
Введение
1 О разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями 18
1.1 Теоремы вложения разных метрик для пространств Vp.a(fl) 18
1.2 Некоторые неравенства для произведения элементов пространства Vp.a(Q) 35
1.3 О разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями 42
2 О разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями 50
2.1 Теоремы вложения разных метрик для пространств WpA{Q) 50
2.2 Оценки норм произведения производных двух функций 58
2.3 О разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями 62
3 О гладкости решения вариационных задач Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений 69
3.1 Априорная оценка решений однородной задачи Дирихле для общих эллиптических уравнений с вырождением 69
3.2 Априорная оценка решений однородной задачи Дирихле для эллиптического уравнения в дивергентной форме 75
3.3 О гладкости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения в дивергентной форме 83
Выводы
- О разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями
- Теоремы вложения разных метрик для пространств WpA{Q)
- О разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями
- Априорная оценка решений однородной задачи Дирихле для эллиптического уравнения в дивергентной форме
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе ограниченной области n-мерного евклидова пространства Rn и изучению дифференциальных свойств ее решений.
Исследование разрешимости краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений является одним из бурно развивающихся областей теории дифференциальных уравнений. Как отмечено авторами многих обзорных работ, существуют многообразные способы вырождения, которые требуют применение соответствующих разных методов и в настоящее время не существует единой теории, которая охватывала бы всех результатов этого направления.
Применяемый нами метод основан на элементах теории весовых функциональных пространств (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и т.д.). Первый результат типа теорем вложения для весовых пространств функций многих переменных был получен в 1938 г. в работе В.И.Кондрашова [26]. Систематическое изучение весовых пространств с весом, равным расстоянию до границы области в положительной степени, а так же их приложения к решению краевых задач для вырождающихся на границе ограниченной области эллиптических дифференциальных уравнений, впервые было проведено в монографии Л.Д.Кудрявцева [27]. Обзор работ и подробная библиография по весовым функциональным пространствам содержатся в монографиях С.М.Никольского [46], Х.Трибеля [52, 53] и статьях О.В.Бесова, Л.Д.Кудрявцева, П.И.Лизоркина, С.М.Никольского [6], Л.Д.Кудрявцева, С.М.Никольского [31].
Достаточно полный обзор полученных результатов в теории краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнении содержится в работах В.П.Глушко, Ю.Б.Савченко [17], С.З.Левендорского, Б.П.Панеях [33], С.М.Никольского, П.И.Лизоркина,Н.В.Мирошина [47], О.А.Олейника, ЕВ.Радкевича [48], М.М.Смирнова [49], С.А.Терсенова [51], Х.Трибеля [52] и С.В.Успенского, Г.В.Демиденко, В.Г.Перепелкина [54]. Наши исследования в основном примыкают к исследованиям, проведенным в работах Б.Л.Байдельдинова [1, 2], К.Х.Бойматова [7] - [12], К.Х.Бойматова, С.А.Исхокова [13, 14], А.А.Вашарина [15], А.А.Вашарина, П.И.Лизоркина [16], С.А.Исхокова [18] - [23], С.А.Исхокова, Г.И.Тарасовой [25], С.А.Исхокова, Г.И.Сивцевой [24], Л.Д.Кудрявцева [27] - [30], П.И.Лизоркина [34], П.И.Лизоркина, С.М.Никольского [36, 37], П.И.Лизоркина, Н.В.Мирошина [35], Н.В.Мирошина [44] - [42].
В указанных выше работах, в которых рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения в ограниченной области n-мерного евклидова пространства, коэффициенты дифференциальных операторов имели форму произведения ограниченной функции и степени расстояния до границы области. В отличие от этого, в настоящей диссертационной работе, мы предполагаем, что младшие коэффициенты принадлежат некоторым весовым Lp - пространствам. Предварительно доказаны теоремы вложения разных метрик для соответствующих весовых пространств дифференцируемых функций многих переменных и установлены некоторые оценки для норм произведения элементов из этих пространств.
Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из настоящего введения, трех глав и списка литературы. Используется тройная нумерация теорем, лемм, следствий и формул, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий - на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формул в данном параграфе.
О разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями
Так же как в первой главе диссертационной работе считаем, что Q - ограниченная область в n-мерном евклидовом пространстве Rn с (п — 1)-мерной границей сЮ, р{х) - регуляризированное расстояние от точки ж Є О до 97. Так как здесь мы будем рассматривать вариационную задачу Дирихле с неоднородными граничными условиями, то относительно границы области, д1, требуется определенная гладкость. Напомним, что запись дО, Є С 4, где s - натуральное число, означает, что локально граница dVt описывается функциями, которые имеют непрерывные производныедо порядка s включительно, а запись дО, Є Cs+e, где s -натуральное число и є Є (0,1), означает, что локально сЮ описывается функциями, производные порядка s которых удовлетворяют условию Гельдера с показателем е.
Пусть г - натуральное, ариа- действительные числа. Символом Wp.a(Q) обозначим пространство функций и(х), определенных на П, имеющих в этой области все обобщенные в смысле Соболева производные uW(x) порядка г с конечной нормой
Классы Wp.a(Q,) являются банаховыми пространствами с нормой (2.1.1) и при а = О совпадают с обычными пространствами С. Л. Соболева Wp(Q). Если р — 2, то класс WJ а(П) является гильбертовым пространством. Символом CQ(0) обозначим класс бесконечно дифференцируемых финитных в Г2 функций. Если В - некоторое нормированное пространство, о содержащее Со(Г2), то через В обозначим замыкание множества CQ(S7) в норме пространства В. Символы Bp(fl) = Bpp(Q) и Вр{дО) обозначают классы функций О.В. Бесова, заданные на О, и дО, соответственно (определение классов Bp.e(Q) и Вр(дО) см., например, в [4] или [52]). Если В\, Вч нормированные пространства с нормами ; В\ , Дг соответственно, то запись В\ —» .Д означает, что все элементы пространства В\ можно рассматривать как элементы пространства ?2 и, кроме того \\и; B2W С\\щВ\\\ для любого и Є В\ с положительной константой С, не зависящей от и. Первый результат типа теорем вложения для пространств W а(П) был получен В.И. Кондрашовым [26]. Систематическое исследование пространств Wp.a(l) принадлежит Л.Д. Кудрявцеву [27]. Оно развивалось и дополнялось работами многих математиков, среди которых заметим работы СМ. Никольского [45], О.В. Бесова, Я. Кадлеца, А. Куфнера [5], О.В. Бесова [3], X. Трибеля [52] и др. Более подробную библиографию по этому вопросу можно найти в обзорной работе СМ. Никольского, П.И. Лизоркина, Н.В. Мирошина [47]. Ниже отдельно сформулируем теорему о плотности класса Сд(Г2) в пространстве Wp.a(Q), теорему вложения для пространств W;a(f2) и теоремы о следах функций из пространств Wp.a(il) на границе дО,. Теорема 2.1.1. Множество Сд(Г2) плотно в пространстве Wp.a(Q) в том и только в том случае, если а — 1/р или а г — 1/r. Теорема 2.1.2. Пусть т - целое число; 0 т г, ат а — т —1/р. Тогда справедливо вложение W;,am - W JSl) - WZ(Q) (2.1.2) с соответствующими оценками норм. граница dft принадлежит классу С8о+1+є, где є Є (0,1). Тогда справедливо вложение ;ай- вг1Л (ш). Это означает, что любая функция и Є W.a(Q) имеет на границе дО, следы =(Рзев;-а-1/ (дП), 5 = о,1,.-.,5о-1, (2.1.5) оп до, и при этом выполняются неравенства ц ;Бг-а-і/Р-,((90), C\\u;W;;a(n)\\, (2.1.6) s — 0,1, , s0 — 1. Здесь д/дп - производная по внутренней нормали к поверхности дії, константа С 0 не зависит от функции и. Класс QSO+1+Є состоит из поверхностей локально описывающейся функциями, производные порядка so + 1 которых удовлетворяют условию Гельдера с показателем є, є Є (0,1). Справедлива также следующая обратная теорема о следах. Теорема 2.1.4. Пусть выполняется условие (2.1.3), целое число SQ определено неравенствами (2.1.4), дії Є CSo+1+, є Є (0,1). Тогда если заданы функции то существует функция и Є Wp.a(l), для которой выполнены равенства dsu dns и справедливы оценки = ра, s = 0,1,--- ,s0- 1 где число С 0 не зависит от набора функций (2.1.7). о Символом W p-a(ty обозначим замыкание класса Со(П) в норме пространства Wp.a(Q,). Из теоремы 2.1.1 следует, что wrp;a(n) = w;.ta(n) в том и только в том случае, если а —1/р или а г — 1/р. Если же —1/р а г — 1/р, то описание замыкания CQ(1) в Wp.a(l) дается с помощью следующей теоремы Теорема 2.1.5. Пусть —1/р а г— 1/р и граница д1 = Г удовлетворяет условиям теоремы 2.1.4- Тогда выполняется равенство где д/дп - производная, по внутренней нормали, а целое число so определено неравенствами (2.1.4). Для того, чтобы распространить результатов первой главы на случай неоднородных граничных условий нам понадобится следующая теорема вложения разных метрик для пространств Wp".a(Q).
Теоремы вложения разных метрик для пространств WpA{Q)
Здесь и далее символом Yy обозначено суммирование по всем мультиин дексам к, I таким, что \к\ г, / г, А; + / 2т—2, а символом ]Г/ по всем мультииндексам к, I таким, что \к\ г, \1\ г, \к\ + / = 2г — 1. Действуя так же как в доказательстве неравенства (1.3.11), получим Здесь и далее через С обозначены различные постоянные, точные значения которых для нас несущественны. Заметим, что число qi, определенное равенством (2.3.7), и число si, определенное равенством (2.3.16) удовлетворяют равенство Поэтому применяя неравенство Гельдера с показателями дг, s/, находим Согласно условии II) при \к\ г, \1\ г коэффициенты аы принадлежат пространству L9b_7,(0). Поэтому применяя неравенство (2.3.15) из последнего неравенства имеем \В М\ С\\ио\Щ,Ш\ 1к „(П). (2.3.19) Теперь оценим слагаемые входящее в определении билинейной формы B2[u,v]. Заметим, что числа g&j, определенные равенством (2.3.10), и числа А /, определенные равенством (2.2.10), связаны друг с другом соотношением а числа сад, определенные равенством (2.3.9), и числа 7&/, определенные равенством (2.2.11), удовлетворяют равенство 7м — 2а — сад. Поэтому из условии III) теоремы 2.3.1 следует, что акі Є LqkV-lkl{p). Учитывая это, и применяя неравенство Гельдера, а также неравенство (2.2.9) теоремы 2.2.2, получим для всех V Є Va(fi). В силу равенства (2.3.17) из неравенств (2.3.18) - (2.3.20) следует, что (G» = \В[иоМ\ С\\ио;ЩіаШ\ \\v;VZ.a(a)\\. ка для всех V Є У{.а(П). Следовательно G Є (V{.a(Q)) и выполняется оцен ( . уЦ сік )!!. Так как при выполнении условии (2.3.6) имеет место равенство (с точностью до эквивалентности норм) У2\а(П) =W !2]а№, (2.3.21) то из последнего неравенства следует оценка (2.3.14). Лемма 2.3.1 доказана. Теперь рассмотрим следующую вспомогательную задачу: для заданного функционала F Є (\V 2; а (&)) и заданной функции щ Є W2r;a(fi) требуется найти решение U (x) уравнения B[U ,v] = {F,v) (Vv Є С0(О)) (2.3.22) принадлежащее пространству И ".а(0) и удовлетворяющее условию U {x) - щ{х) EW Ц.а(П). (2.3.23) С целью изучения разрешимости вспомогательной задачи вводим новую неизвестную функцию U (x) = U (x) — щ(х). Из (2.3.22) следует, что B[U\ v] = B[U , v] - B[uQ: v} = {F + G, v) для всех v Є Со(П). Отсюда и из (2.3.22) следует, что функция U (x) является решением следующей задачи (2.3.24) B[U ,v] = (Ф,у) W Є С0(П), U EW 5;а(П). Здесь Ф = F + G, а функционал G определяется равенством (2.3.13). В силу леммы 2.3.1 функционал G принадлежит пространству \W 2;а( )) И ПОЭТОМУ Ф Є [W 2;а( )) Применяя ТЄОрЄМу 1.3.1 ПрИ менительно к задаче D Q, получаем: задача (2.3.24) имеет единственное решение и ее решение удовлетворяет оценке \\U ;Wa(n)\\ M Ф; ( .„(«)) В силу неравенства (2.3.14) имеем где число М 0 не зависит от выбора F и ио Теперь не трудно проверить, что если U - решение задачи (2.3.24), то функция U,{x) = U (x) + щ(х) (2.3.26) будет решением сформулированной выше вспомогательной задачи. Из единственности U (x) Теперь исследуем разрешимость задачи D. Пусть задан набор граничных функций (2.3.4). Тогда в силу условии (2.3.6) из теоремы 2.1.4 следует, что существует функция щ Є И/2га( ) такой, 3.29) Из (2.3.28) следует эквивалентность граничных условий (2.3.5) с условием (2.3.23). Поэтому из доказанного выше результата относительно разрешимости вспомогательной задачи следует, что для любого заданного функционала F Є [W 2; a( )) и любого набора граничных функций (2.3.4) существует единственное решение задачи D. Оценка (2.3.12) следует из (2.3.27), (2.3.29) при [/ (#) = U(x), где U(x) - решение задачи D. Для полноты доказательства теоремы 2.3.1 заметим, что условие III) теоремы 1.3.1 следует из условии IV) теоремы 2.3.1 для чисел г, а удовлетворяющих условию (2.3.6). Действительно, подставляя в неравенстве (2.3.11) C,k = у(к\х), где v(x) - любая функция из Со(0), и интегрируя полученное неравенство по х Є Q, получим ReB[v,v] &\\v;Lr2.a(m2. Согласно результатам П.И.Лизоркина и С.М.Никольского [37] (см. также соотношение (2.3.17) из [47]) в условиях теоремы 2.3.1 полунорма 11 5- 2-0,(0)11 эквивалентна норме \\v; И 2.а(0) на функциях v Є Co(fi). Из последнего неравенства следует,
О разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями
Так как 6Q - достаточно малое положительное число и Q, - ограниченная область, то ра г+Єо(х) /oe_r( ) (Var Є О) и следовательно \\v;L2.a-r+e0(m « \\v;L2ia-r(Q)\\. (3.1.16) Аналогично из условии а г следует, что \\у;Ь2(Щ \\Ау;Ь2;а-г(П)\\. (3.1.17) Далее подбирая число є О достаточно малым из (3.1.15) - (3.1.17) получим \\v,V2%+r(m \\Av,L2. a+r(m + «;2;а_г(П). Таким образом, мы доказали неравенство (3.1.7). Теорема 3.1.1 доказана полностью. Из теоремы 3.1.1 легко можно вывести следующую априорную оценку решений дифференциального уравнения AU=Y bt(x)U(x) = F(x) {х Є П). (3.1.18) / 2r Следствие 3.1.1. Пусть выполнены все условия теоремы 3.1.1 и пусть F(x) Є Z/2;-a+r( )- Тогда любое решение U{x) уравнения (3.1.18), принадлежащее пространству 7П+Г( ); удовлетворяет оценке г«+г(п) M0{F;L2;_a+r(tt) + L/;L2;U_7.(Q)}, где число Mo 0 не зависит от выбора F(x). 3.2 Априорная оценка решений однородной задачи Дирихле для эллиптического уравнения в дивергентной форме Пусть ft С Rn - ограниченная область. Рассмотрим следующий дифференциальный оператор в дивергентной форме Аи = J2 (-lf(akl(x)vM(x)y\ (3.2.1) \к\,Щ г Предположим, что коэффициенты ам(х) (х Є ft, \к\, \1\ г) имеют вид аы(х) = bkl(x)aki(x), (3.2.2) где Ьы = Р2а+1к1+Щ-2г(х), (3.2.3) a - некоторое вещественное число, р{х) - регуляризованное расстояние точки х Є Q до границы области - dQ,. Относительно коэффициентов при старших производных, то есть a,ki {х) при \к\ = / = г, предполагается выполнение следующих двух условий: I) существует число MQ 0 такое, что \а$\х)\ М0р-М(х)(хеП) для любого мультииндекса А : А ; II) существует число с 0 такое, что Re 2 акі(х)кі с 2 \Ы2 fc, \l\=r fc=r для всех х Є О и любого набора комплексных чисел { }щ=г Также предполагается, что коэффициенты аы(х) {\к\ + \1\ 2г — 1) имеют все обобщенные производные мультииндекса А I и 4t}W ЄЬ ;_ +Л(П), (3.2.4) где 6к = 2г-\к\+є0 (\k\ r) (3.2.5) 2г-І-1 ЄСЛИ п 2 \к Які = \ (3.2.6) max J2 + Q, _ .,. _, если n 2(2r-\k\). Теорема 3.2.1. Пусть а г, коэффициенты аы{х) оператора (3.2.1) имеют вид(3.2.2) и выполняются условия!),И), (3.2.4). Тогда существует положительное число М такое, что \\щУа+ЛЩ М{\\АщЬ2 а+г(П)\\ + \\щУ2г.а(П)\\} (3.2.7) для всех и Є У а+Л ) Доказательство. В качестве главной части оператора (3.2.1) рассмотрим следующий оператор AQu= Y1 (- У (аы(х)и (х)у]. (3.2.8) fc=Z=r Здесь aki(x) имеет вид (см.(3.2.2), (3.2.3)) аы{х) = р2а{х)аы{х), (\к\ = \l\ = г). Интегрируя по частям для всех v Є CQ(Q) получаем (A0u,v) = / (A0u)(x)v(x)dx = 2 aki(x)u(k)(x)vW(x)dx. Обозначим B0[u,v]= J2 f аы(Ф{к)(х)Щх)(1х. (3.2.9) \kHi\=rh Из условий I), II) следует, что билинейная форма Во[и, v] удовлетворяет условиям теорем 1.1 и 1.2 работы С.А. Исхокова [19] при а{х) = ра(х), д(х) = р{х). В силу теоремы 1.1 этой работы оператор Ао отображает Vp. m(0,) в VIu+m{&) Для всех Р Є (1,оо) и целых чисел m таких, что 0 m г. Из теоремы 1.2 работы [19] следует, что если m - целое число, 0 m г и функция и Є Lr2.a(l) П L-z-iocity является решением уравнения BQ[u,v} = {F)V) (VUGCS0), (3.2.10) где F Є Т4тГд+т(П), то и Є И ) и при дополнительном условии и Є Z/2;a-r( ) справедлива следующая оценка 11«;CTm( )ll « 11«; V3I«C«)II + II 1; .- ( )11 Из сформулированных выше результатов, в частности, при m = г, следует, что для всех и Є Co(f2) AQU принадлежит пространству L2;-«+r( ) и справедлива следующая оценка Ы\Щ Ка+Лт Н«; а(П) + 4 «; L2;_a+r(fi). (3.2.11) Так как Со(Г2) плотно в пространстве V +r(f2), т0 оценка (3.2.11) имеет МеСТО ДЛЯ ВСЄХ U Є У а+г Р) Далее рассмотрим оператор AlU= J2 (-1)Щ {аф)и (х)у] (t Cg(n)). (3.2.12) \к\,\1\ г;\к\+Щ 2г-1 Лемма 3.2.1. Пусть а г и пусть коэффициенты ац(х) (\к\, \1\ г \к\ + \1\ 2г — 1) удовлетворяют условию (3.2.4). Тогда для любого достаточно малого числа є 0 существует число М(є) О такое, что \\Агщ Ь2;-а+г(П)\\ є\\щ У2%+Г(П)\\ + М(є)\\щ І ;а-г(П) (3.2.13) для всех и Є Со(П). Доказательство. Для удобства записи через Y1 обозначим суммированием по всем мультииндексом к, I таким, что \к\ г, \1\ г и \к\ + \1\ 2г — 1. Применяя формулу Лейбница о дифференцировании произведения двух функций многих переменных, получаем
Априорная оценка решений однородной задачи Дирихле для эллиптического уравнения в дивергентной форме
Рассмотрим оператор 1 1. Некоторый является формально сопряженным к оператору А. Действительно, для u,v Є CQ имеем (Au,v)= Y, f{-lfKaki{x)u{k\x))[l)v{x)dx = = 2 f aki(x)u(k)(x)vW(x)dx= J2 і и{кЧх)Щх)у(1\х)(1х = = 5 / и{х){-1)\к\(т{х)у(-1){х)УкЫх = f u(x)(A v){x)dx = (u, A v). Так как коэффициенты оператора А удовлетворяют всем условиям теоремы 3.3.2 (все условия этой теоремы не меняются при взаимной замене мультииндексов к и /), то аналогично лемме 3.3.2 доказывается существование положительных чисел ае , /ІЦ таких, что 11«; Га+ДВД \\А и + щ L2._а+г(П) (V є V e+r(fi)) (3.3.38) при їх fl Q. Обозначим fjbi = max.{/iQ,/LL 0} . Тогда при /х (її одновременно выполняются неравенства (3.3.23) и (3.3.38). Следовательно при (.с \х\ оператор А + цЪо, действующий из Vra+r{ty в І/2;_а+г(ГЇ), непрерывно обратим, точнее, осуществляет изоморфизм (алгебраический и топологический) пространства Vra+r(Q) на L -a+Aty Теперь переходим к изучению гладкости обобщенного решения задачи DQ. Заметим, что в условиях теоремы 3.3.2 все условия теоремы 3.3.1, о существование решения задачи DQ, выполняются. Действительно, условие I) следует из условии IV) при А = 0, а условие II) является следствием условии V). При сделанных ограничениях на число айна границы области О (то есть (3.3.7), (3.3.15)) условие (3.3.8) следует из условии эллиптичности III). Подставляя в неравенстве (3.3.10) = pa+ r (x)v (х), \к\ г, и интегрируя полученное неравенство по Q имеем ReB[v,v] зг0\\у;иг2.а(П)\\2 {Vv Є С (П)), (3.3.39) Согласно результатам работы [47] при имеющихся ограничениях на число а и на гладкости границы области О, полунорма Н У; 2.а(П) и нор о ма г ; WJ-aO )!! на функциях v EW !ч ( 0 эквивалентны, а равенство о W 2 а( ) = Ч-аіР1) имеет место с точностью до эквивалентности норм. Поэтому, с учетом плотности класса CQ(0,) В пространстве V2ra(fl) из (3.3.39) следует (3.3.8). Пусть F Є L2- a+r(Q). Тогда в силу вложения L2;-Q+r(fi) — (УІ-аі 1)) F принадлежит пространству (V2r.a(l)) и согласно теореме 3.3.1 уравнение (Аи, v) = В[и, v] = (F, v) W Є C0(ft) (3.3.40) имеет единственное решение Wo Є V2.a(l). Подбираем число ц, ц\ и рассмотрим уравнение (Аи + fib0u, V) = {F + fj,b0u0, v) Vv є C0(Q). (3.3.41) Очевидно функция u(x) — щ(х) является решением этого уравнения. Так как щ Є V2.a(fl), то в силу равенства (3.3.35) Ьо(х)щ(х) Є Lo;-a+r(ft). Поэтому Ф = F + fiboUQ Є L2;_Q+r(fil). Так как оператор А + /л&о есть изоморфизм пространства Н2 П+Г(П) на L2;-a+r( ) т0 уравнение (3.3.41) имеет единственное решение u = u1 = (A + b0)-4eV2%+r(Q). С другой стороны У22?а+Г(1) — V2.a(Q) и решение уравнения (3.3.40) в пространстве V2.a(Q,) единственно. Поэтому щ(х) — щ(х) и следовательно М ) є v2%+r(n). Далее применяя априорную оценк} (3.2.7) теоремы 3.2.1 имеем \Ы,Ка+гШ\ Мг { ;2;_а+г(ОД + \\и0]У2г.а(Щ} . (3.3.42) С другой стороны, согласно оценке (3.3.9) теоремы 3.3.1, IK; Ъ;а(Щ Щ\Р\ (ЧЛШ- (3.3.43) Далее учитывая вложения L2;_a+r(fi) — (У2т.а(1)У, из (3.3.42), (3.3.43) получаем \\щ;У2%+г(Щ M\\F;L2, +r(n)\\, где число М 0 не зависит от выбора F. Это равносильно оценке (3.3.17). Теорема 3.3.2 доказана полностью.
