Введение к работе
Актуальность темы. В основе математических моделей многих проблем физики, техники и других естественных наук лежат уравнешм н системы уравиетш в частных производных параболического и ультрапараболического типов, особенно часто уравнения и системы уравнений второго порядка. Поэтому постановка и решения различных краевых задач для таких уравнений являлись предметом исследования многих авторов, и в этом направлении получен ряд фундаментальных результатов.
В настоящее время построена почти законченная теория краевых задач линейных параболических уравнений для областей с гладкой границей и ей посвящена обширная научная литература ([1], [2], [3]).
Хотя к изучению локальных и нелокальных краевых задач для параболических, ульграпараболических, полинараболических урат.иенж и систем уравнений в цилиндрических и нецилищрических областях с негладкими границами (граница имеет конические (угловые) точки и ребра) приводят многие важные прикладные задачи, но теория таких краевых задач еще далека до своего завершения и существует множество нерешенных проблем. Почти не исследованы краевые задачи для параболических и ультрапараболических уравнений в иецилиндрических областях с негладкими боковыми гранилами.
Ультрапараболическое уравнение впервые получено в работах Н.Колмогорова в связи с исследованием задачи теории вероятности. Позже уравнения таких типов появились в других разделах естествознания, но несмотря на это в силу своеобразной особенности этого типа уравнений, краевые задачи для ультрапараболических уравнений почти не изучены. Поэтому постаповка и исследования краевых задач для различных типов улътрапараболических уравнепий в областях с нерегулярными гранилами представляют научно-практический интерес.
Отметим, что в последнее время повысился интерес к задачам с нелокальными краевыми и начальными условиями, так как они точнее моделируют различные физико-технические процессы. Теорій нелокальных краевых задач, начало которой положено в работах А.В.Бицадзе, А.А.Самарского, А.М.Нахушева и других, для областей с гладкой
границей разработана достаточно полно, но не исследованы нелокальные краевые задачи для параболических и ультрапараболических, уравнений в областях с нерегулярной границей и когда носитель нелокального условия пересекается с грапицей области.
Все это подчеркивает как теоретическую, так и практическую актуальность рассматриваемых проблем в диссертации.
В диссертации исследуется разрешимость (в классическом смысле) вышеуказанных малоизученных разделов теории краевых задач параболических, ультрапараболических уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами и линейного полипараболического уравнения и их систем уравнений, которые являются особо важными и нерешенными задачами уравнений математической физики.
Цель работы. 1. Установление существования регулярного решения локальных краевых задач для параболических и полипараболических уравнений и их систем уравнений в цилиндрических и нецилиндрических областях с негладкими границами по пространственным и но временным перемятым.
-
Построение и применение специальных потенциалов с ядрами типа функци Грииа для решения нелокальных краевых задач, когда носитель нелокального условия пересекается с границей области.
-
Постановка краевых задач для основных типов ультрапараболических уравнений и исследований их регулярной разрешимости в цилипдрических и нецилиндрических областях.
4. Исследование и решение методом регуляризации новых классов сингулярных
интегральных уравнений, к которым редуцируются краевые задачи для параболических,
ультрапараболических и полипараболических уравнений в цилиндрических и
нецшпшдрических областях с нерегулярными границами.
Меіадика_іксдікшшшя. Для качественного исследования краевых задач для дифференциальных уравнений в негладкой области в основном существует два метода: метод функционального анализа и метод потенциалов. Вопросы существования, единственности и гладкости обобщенных решений краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными в областях с негладкими границами в различных функциональных пространствах исследованы в
фундаментальных работах В.А.Кондратьева, О.А.Олейник, В.Г.Мазьи, В.А.Солоішикова, В.А.Козлова и других ученых, и их обзору посвящена статья [4].
Отметим, что в этом направлении основополагающие результаты получены в работах В.А.Кондратьева и его учеников.
Наряду с современными методами функционального анализа одним из эффективных методов исследования широкого класса краевых задач для уравнеігая с частными производными параболического и ультрапараболического типов является метод потенциалов или метод граничных интегральных уравнений.
Основа метода потенциалов и их применения разработаны в классических моделях M.Gevrcy [5], Г.Мюнца [б], А.Н.Тихонова [7] и дальнейшее развитие получили в работах G.Dressel, Л.И.Слободеїжой, А.А.Самарского, СД.Эйдельмана, Е.И.Ким* А.Фридмана, В.Погожельского, В.А.Солошпгкова, В.П.Михайлова, R.Arima, Л.И.Камьпшна, А.М.Нахушева, Е.АБадерко и других ученых. Подробная библиография по построению параболических потенциалов и их применения к краевым задачам содержится в вышеуказанных монографиях ([1], [2], [3]).
В данной работе разрешимость краевых задач для параболических, ультрапараболических, полипараболических уравнений в областях с пегладкими границами исследуется методом потенциалов с ядрами фундаментальных решений (ф.р.) уравнения и потенциалов со специальными ядрами. Насколько нам известно, метод параболических потенциалов в основном применяется для решения краевых задач. в областях с гладкой границей, как инструмент решения краевых задач в областях с негладкими границами другими авторами не применялись.
Преимущество этого метода заключается в том, что во-первых, при помощи потенциалов дается явное интегральное представление решения краевой задачи и одновременно исследуется гладкость решения, во-вторых, легко получить необходимые минимальные условия, налагаемые на коэффициенты уравнения, на заданные функции и на границы области для существования регулярного решения краевых задач. Используя потенциалы, краевые задачи сводятся к решению интегрального уравнения (И.У.) или системы НУ. Поэтому основная задача заключается в решении системы ИУ, к которой редуцируются краевые задачи.
Следует отметить, что когда граница области гладкая, системы ИУ, которые получены методом потенциалов, имеют слабые (интегрируемые) особенности и существование решения системы ИУ доказывается обычным методом последовательных приближений, учитывая гладкость поверхности (кривой) Ь , ограничивающей область, а в случае поверхности типа Ляпунова используется известное неравенство
|С0$Сгх,,//^А|Х-5|Л О <*.
где А ,СК - постоянные Досі - вектор, соединяющий точки X и S Ъ , М$ - впутренняя нормаль к поверхности S в точке % .
В нашем случае использовать неравенство (0.1) не удается, так как для негладкой границы (0.1) не выполняется. Поэтому ядра системы ИУ, к которым сводятся краевые задачи, для областей с негладкими границами имеют более сильные особенности, чем в случае с гладкой границей. Такие ядра назовем ядрами с существенными особенностями. Решения сингулярных интегральных уравнений (СИУ) с существенными особенностями не всегда существуют и при решении таких СИУ встречаются определенные трудности.
Для решения этого нового класса СИУ типа Вольтерра-Фредгольма 2-го рода с существенными особенностями нами применен метод регуляризации - аналог .метода Карлемана-Векуа, который разработан для решения СИУ с ядром Коши на комплексной области. Основная трудность применения метода регуляризации заключается в выделении главной (характеристической) части сингулярного ядра с существетшми особенностями и в нахождении необходимых уелсвий, при которых характеристические операторы имеют ограниченные обратные опраторы. Причем для эквивалентности первоначального и регуляризованяого СИУ иеобходамо, чтобы однородное характеристическое СИУ имело только тривиальное решение.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликоваїїьі в работах автора. Перечислим их:
1. Получена и исследована однозначная разрешимость новых типов СИУ в классе непрерывных функций и в гельдеровских классах, к которым редуцируются краевые задачи для параболических, ульграпараболических, полипараболических уравнений и их систем уравнений в областях с негладкой границей.
-
Построены и изучены свойства поверхностных потенциалов для основных типов ультрапараболических, полішараболических уравнений с перменными коэффициентами и даны их применения к решению локальных и нелокальных краевых задач в областях с негладкой границей.
-
Построены и изучены свойства специальных потенциалов с ядрами типа функции Грина, приспособленных к решению смешанных краевых задач и нелокальных краевых задач, когда носитель нелокального условия пересекается с границей области.
-
Доказана разрешимость (в классическом смысле) локальных и нелокальных краевых задач для параболических, ульграпараболических и полипараболических уравнений в цилндрических и непилиндрических областях с негладкой границей по пространственной и временной переменным.
-
Найдены минимальные условия, налагаемые на коэффициенты уравнения, на заданные функции и на границу области для регулярной разрешимости краевых задач.
Достоверность результатов. Все полученные результаты диссертации сформулированы в виде теорем, лемм, следствий и математически строго доказаны.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер в области теории дифференциальных уравнений с частными производными и уравнений математической физики. В работе получен и подробно исследован новый класс СИУ типа Вольтерра-Фредгольма. Ее результаты и методы могут найти применение в исследованиях краевых задач для полулинейных и... нагруженных параболических и ультрапараболических уравнений, а также некоторых классов вырождающихся уравнений. Она может служить теоретической основой для численных исследований задач тепло-массопереноса, диффузионных процессов в газах и других задачах математической физики.
Аіпіо(5зішя_Ез5шіЬ Результаты диссертации по мере их получения обсуждались
на городском научном семинаре по уравнениям математической физики. Научные
руководители: рук. член-кор.НАН РК, проф. Ким Е.И., член-кор.НАН РК, проф. Харин
С.Н. (КазГУ и ИТПМ г.Алматы). :
Основные результаты докладывались на научных семинарах, руководимых член-кор.НАН РК, проф. Кальменовым Т.Ш., член-кор.НАН РК, проф. Отельбаевым М. и
д.ф-м.н., проф. Смагуловым Ш.С. (КазГУ, г.Алматы); член-кор.НАН РК, проф. Касымовым К.А. (КазГУ, г.Алматы), член-кор.НАН РК, проф. Блиевьш Н.К. (ИТПМ НАН РК, г.Алматы); член-кор.НАН РК, проф. Умбстжановым Д.У. и д.ф-м.н., проф. Рахымбердиевым М. (ИТПМ НАН РК, г.Алматы); д.ф-м.и., проф. Темирбулатовым СИ. и д.ф-м.н., проф. Аддашевым С.А. (КазГУ, г.Алматы), а также на научном семинаре по дифферснциальыым уравнениям МГУ, научіше руководители- д.ф.-м.н., проф. Ландис Е.М. д.ф.-м.н., проф. Кондратьев В.А. (г.Москва) и научном семинаре по дифференциалышм уравнениям ИМ АН Республики Узбекистан, научіше руководители - академик АН РУз, проф. Салахитдшюв М.С. и академик АН РУз, проф. Джураев Т.Д.
Различные фрагменты работы докладывались на- следующих семинарах и конференциях:
1. Семинар по дифференциальным уравнениям ИМ СО АН СССР, руководители
академик Соболев СЛ. и член-кор. АН СССР, проф. Бицадзе А.В.
-
Всесоюзная конференция по уравнениям с частными производными, посвященная 75-летию со дня рождения академика Г.И.Петровского (г.Москва, 1976 г.)
-
Казахстанские межвузовские научные конференции по математике и механике: 1(1963 г.), Щ1966 г.), ІЩ1968 г.), IV(1971 г.), V(1974 г.), VI(1977 г.), УП(1981 г.), УШ(1984 г.), Щ1989 г.).
-
Республиканская научная конференция "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифф. уравпений".1991 г., г.Алматы.
-
Международная научная конференция "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешаїшого типа". 1993 г., г.Ташкент.
Публикации, Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах, список которых, приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем работы содержит 240 машинописных страниц, включающих билиографию 176 наименований.
