Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Задача коши для вырождающегося уравнения третьего порядка 12
1.1 Первый аналог задачи Коши 13
1.1.1 Постановка задачи 13
1.1.2 Построение функции Римана-Адамара 13
1.1.3 Реализация метода Римана-Адамара 14
1.1.4 Исследование решения задачи 31
1.2 Второй аналог задачи Коши 55
1.2.1 Постановка задачи 55
1.2.2 Доказательство существования и единственности решения задачи 56
ГЛАВА II Задачи с интегральными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка 74
2.1 Задача А 15
2.1.1 Постановка задачи 75
2.1.2 Построение решения уравнения, содержащего три произвольные функции 75
2.1.3 Доказательство существования решения задачи 76
2.1.4 Решение интегрального уравнения (2.10) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае 0
2.1.5 Решение интегрального уравнения (2.10) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае /?=и, neN 87
2.1.6 Решение интегрального уравнения (2.10)и доказательство существования и единственности решения задачи в случае J3=n+a, neN, 0<#<1 93
2.2 Задача В 103
2.2.1 Постановка задачи 103
2.2.2 Доказательство существования решения задачи 103
2.2.3 Решение интегрального уравнения (2.59) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае 0<^<1 104
2.2.4 Решение интегрального уравнения (2.59) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае Р=п ,neN 108
2.2.5 Решение интегрального уравнения (2.59) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае fi=n+a, n<=N, 0<а<1 109
Библиография 111
- Построение функции Римана-Адамара
- Доказательство существования и единственности решения задачи
- Решение интегрального уравнения (2.10) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае 0
- Решение интегрального уравнения (2.59) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае 0<^<1
Введение к работе
В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этому классу уравнений объясняется как большой теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в безмоментной теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Развитие современной науки и техники показало, что вырождающиеся уравнения являются хорошей моделью реальных физических и биологических процессов. А это обусловило актуальность постановки и решения для них различных краевых задач, которые в настоящее время являются предметом фундаментальных исследований многих математиков.
Значительные результаты исследований дифференциальных уравнений рассматриваемого вида после основополагающих работ Ф.Трикоми [83] и С.Геллерстедта [21] были изложены в известных монографиях А.В.Бицадзе [10] и М.М.Смирнова [79].
Благодаря усилиям отечественных и зарубежных математиков, теория эллиптических и гиперболических уравнений, вьфождающихся либо на некотором множестве точек внутри рассматриваемой области, либо на ее границе, особенно интенсивно развивалась в последние 40 лет. В их работах рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, а также ставились и исследовались новые краевые задачи для таких уравнений.
Существенный вклад в развитие данной теории внесли болгарские математики Г.Д.Каратопраклиев [44], [45], П.Р.Попиванов [60] и другие; представители математических школ ближнего зарубежья: Т.Ш.Кальменов [43], СЛ.Алдашев [3], [4]; Н.Р.Раджабов [66], [67]; Ар.Базарбеков [7], С.С.Харибегашвилли [88], [89]; Т.Д.Джураев [28], О.М.Джохадзе [26], [27] и другие. Большая заслуга в развитии теории краевых задач для вырождающихся уравнений принадлежит отечественным математикам С.П.Пулькину [62], [63]; А.М.Нахушеву [53], [54]; А.В.Бицадзе [9], [10]; В.И.Жегалову [33], [35]; В.Ф.Волкодавову [14], [17]; В.Н.Врагову [20]; К.Б.Сабитову [72], [73]; О.А.Репину [68]; Е.А.Зарубину [38], [39]; В.В.Азовскому [1]; В.А.Носову [56]; А.М.Ежову [30], [31]; В.Н.Гребенщикову [24]; А.А.Андрееву [5] и их ученикам.
Если до недавнего времени в основном изучались краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка, то затем выяснилось, что важную роль в изучении различных процессов и явлений действительного мира играют уравнения третьего и более высоких порядков [90]. За последние полтора десятилетия внимание многих ученых привлекли исследования гиперболических уравнений третьего порядка, ими были разработаны некоторые методы решения таких задач: метод Римана, метод Римана-Адамара, метод общих и специальных решений и другие.
С 1991 года теория гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерном евклидовом пространстве начала интенсивно развиваться в работах профессора В.Ф.Волкодавова [19] и его учеников: В.Н.Захарова [40], [41], И.Н.Родионовой [70], Н.Я.Николаева [48], О.К.Быстровой [12] и других. Ими была построена функция Римана для некоторых частных случаев уравнения (1) как с непрерывными, так и с сингулярными коэффициентами, был обоснован метод Римана-Адамара и, кроме того, использовались и другие методы решения краевых задач.
В результате реализации метода Римана-Адамара получены явные представления решений этих задач и проведено их исследование. Уравнение (2) вырождается в одной граничной точке области, в которой ищется решение, - начале координат, поэтому детально исследовано поведение решения в окрестно т сти этой точки. Получены оценки всех интегралов, фигурирующих в представ лении решения, которые при определенных требованиях, предъявленных к граничным функциями, обеспечили непрерывность решения задачи в точке вырождения уравнения.
Теория неклассических краевых задач развивается около шестидесяти последних лет и занимает одно из ведущих мест в современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Первые ее результаты были получены Ф.Трикоми [84], Ф.И.Франклем [87] и нашли применение в газовой динамике. Современное естествознание, в основном физические приложения, потребовали дальнейшего развития неклассических краевых задач и, в первую очередь, задач с нелокальными условиями. Особенный интерес представляет новое направление в теории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных - это так называемые задачи с интегральными условиями, которым и посвящена вторая глава диссертации. Возникновение интегральных условий объясняется тем, что на практике часто бывает возможным измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины. Так, задачи с интегральными условиями могут служить математическими моделями физических явлений, связанных, например, с задачами, возникающими при изучении физики плазмы. А.А. Самарский приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из таких задач [75]. В последствии Л.С.Пулькина [64] получила явный вид решения этой задачи. А.М.Нахушев [55] указал примеры практического применения результатов исследования краевых задач с интегральными условиями при изучении процессов влагопереноса в пористых средах и в задачах математической биологии. В этих работах изучены задачи с интегральными условиями для параболических уравнений. Для гиперболического уравнения такие задачи исследовались в работах Л.С.Пулъкиной [65], ее учеников и других.
В излагаемой теории развития неклассических краевых задач преобладают уравнения второго порядка. Такие задачи для уравнений более высокого порядка остаются малоисследованными вплоть до настоящего времени. После первых работ по этой тематике проходит значительный промежуток времени до возобновления интереса к неклассическим задачам для уравнений с частными производными порядка выше второго.
В работах Самарской школы дифференциальных уравнений также рассматривались неклассические краевые задачи для уравнений второго и более высоких порядков (В.В.Азовский [2], А.А.Андреев [6], О.А.Репин [69] и другие). За последние годы появились работы, посвященные исследованию краевых задач с локальными и интегральными условиями для уравнений третьего порядка. В частности, задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа изучались И.Н.Родионовой [71], В.Г.Палюткиным [57], Н.Д.Голубевой [22], Л.А.Игнаткиной [42] и другими.
Построение функции Римана-Адамара
Требуется найти функцию u(x,y,z) со следующими свойствами: Из требования непрерывности искомой функции в Q следует наличие условия Т\(х,х) = Т2(х,х). Возьмем в области Q произвольную точку М (х ,у ) и проведем через нее характеристические плоскости X=XQ, у=Уо Z—ZQ. Они вместе с плоскостями у = х и z—x образуют две ограниченные области; мы возьмем ту, в которой X XQ, И обозначим ее через G. Плоскость y = XQ делит область G на две области: Gx при у х$ и G2 при у х$. Gx - треугольная призма, G2 -тетраэдр (рис. 2). Функция Римана для уравнения (1.1) известна ([16]) и имеет следующий вид: уравнения (1.1) относительно х и у, функция R(y,x,z;xQ,у$,г) также является его решением. В области G определим функцию Римана-Адамара t (M,M0), полагая На плоскости У—XQ, TO есть на границе областей G\ и G2, функция Рима на-Адамара терпит разрыв. Поэтому, для того, чтобы иметь возможность применить формулу Остроградского-Гаусса, построим вспомогательную двусвяз ную область G —G JG2, где G\ - призма с гранямиу у$, у=х—є, Z — ZQ, X = XQ, Z-X + Є; (?2 - тетраэдр с гранями y = XQ-\-e, Z — ZQ, Z — X+Є, у=х—. Здесь 0 - достаточно малое число. Если и - решение поставленной задачи, а V - функция Римана-Адамара, то из (1.6) следует тождество Px+Qy +ffz —0. Интегрируя его по двусвязной области G и применяя теорему области G \ пх, п nz- направляющие косинусы внутренней нормали к S. Так как S состоит из девяти плоских фигур, то тождество (1.7) перепишем в виде Во втором и четвертом слагаемых проинтегрируем по частям по переменной у, поменяв предварительно порядок интегрирования: Здесь в первом интеграле проинтегрируем по частям, чтобы освободиться от производной uz, второй интеграл вычислим, учитывая, что Подставляя выражения для J л и J л в J , приведя подобные, используя граничные условия (1.2) и (1.4) и учитывая, что Rz(x ,y rz;M j = 0, получи Так как на плоскости Z x искомая функция задана, то ее производная по у также известна, поскольку она вычисляется по направлению, лежащему в этой плоскости. Другими словами, из тождества и(х,у,х) = Т\(X,у) следует иу(х,у,х) = тіу(х,у) Итак, функция Римана-Адамара состоит из двух слагаемых: интегралов J и J6 обозначим J$ 6. При сложении J$ и JQ чле ныс Ли ее производными взаимно уничтожаются и мы получаем: 5,6 =-} dx] [2uR X2 +2R uxz -R xuz -R zux +3aR uz -3u[aR )z\iz. этом, что Преобразуем этот интеграл аналогично интегралу J2 Учтем при Вернемся теперь к Jj. Интегрируя по частям в первом интеграле, учетывая краевые условия (1.2) и (1.4) и принимая во внимание, что ux{x,x,z0;M(}) + oy(x,x,ZQ;M()) = Oi получим Проекция S% на плоскость хОу есть треугольник: XQ + є х ZQ — є, XQ + у х — є. Проецируя Sg на плоскость хОу, приведем поверхностный интеграл к обычному двойному. X0 Xo + 3auuy -3u(a0} - 1uoyz -2vuyz + uyuz + vzuy -3avuz + 3u(au)zyiy. Этот интеграл преобразуется совершенно аналогично интегралу J4. Разница лишь в пределах интегрирования и в том, что в J4 мы писали R, а в У8 U. И, кроме того, учитывается, что и\х,х,х;М) = 0 и иДх х/Мо) 0. Поэтому сразу запишем окончательный результат:
Остроградского-Гаусса, связывающую тройной интеграл с поверхностным, будем иметь: где S - граница области G \ пх, п nz- направляющие косинусы внутренней нормали к S. Так как S состоит из девяти плоских фигур, то тождество (1.7) перепишем в виде Во втором и четвертом слагаемых проинтегрируем по частям по переменной у, поменяв предварительно порядок интегрирования: Здесь в первом интеграле проинтегрируем по частям, чтобы освободиться от производной uz, второй интеграл вычислим, учитывая, что Подставляя выражения для J л и J л в J , приведя подобные, используя граничные условия (1.2) и (1.4) и учитывая, что Rz(x ,y rz;M j = 0, получи Так как на плоскости Z x искомая функция задана, то ее производная по у также известна, поскольку она вычисляется по направлению, лежащему в этой плоскости. Другими словами, из тождества и(х,у,х) = Т\(X,у) следует иу(х,у,х) = тіу(х,у) Итак, функция Римана-Адамара состоит из двух слагаемых: интегралов J и J6 обозначим J$ 6. При сложении J$ и JQ чле ныс Ли ее производными взаимно уничтожаются и мы получаем: 5,6 =-} dx] [2uR X2 +2R uxz -R xuz -R zux +3aR uz -3u[aR )z\iz. этом, что Преобразуем этот интеграл аналогично интегралу J2 Учтем при Вернемся теперь к Jj. Интегрируя по частям в первом интеграле, учетывая краевые условия (1.2) и (1.4) и принимая во внимание, что ux{x,x,z0;M(}) + oy(x,x,ZQ;M()) = Oi получим Проекция S% на плоскость хОу есть треугольник: XQ + є х ZQ — є, XQ + у х — є. Проецируя Sg на плоскость хОу, приведем поверхностный интеграл к обычному двойному. X0 Xo + 3auuy -3u(a0} - 1uoyz -2vuyz + uyuz + vzuy -3avuz + 3u(au)zyiy. Этот интеграл преобразуется совершенно аналогично интегралу J4. Разница лишь в пределах интегрирования и в том, что в J4 мы писали R, а в У8 U. И, кроме того, учитывается, что и\х,х,х;М) = 0 и иДх х/Мо) 0. Поэтому сразу запишем окончательный результат:
Доказательство существования и единственности решения задачи
Они вместе с плоскостями у = х и z—x образуют две ограниченные области; мы возьмем ту, в которой X XQ, И обозначим ее через G. Плоскость y = XQ делит область G на две области: Gx при у х$ и G2 при у х$. Gx - треугольная призма, G2 -тетраэдр (рис. 2). Функция Римана для уравнения (1.1) известна ([16]) и имеет следующий вид: уравнения (1.1) относительно х и у, функция R(y,x,z;xQ,у$,г) также является его решением. В области G определим функцию Римана-Адамара t (M,M0), полагая На плоскости У—XQ, TO есть на границе областей G\ и G2, функция Рима на-Адамара терпит разрыв. Поэтому, для того, чтобы иметь возможность применить формулу Остроградского-Гаусса, построим вспомогательную двусвяз ную область G —G JG2, где G\ - призма с гранямиу у$, у=х—є, Z — ZQ, X = XQ, Z-X + Є; (?2 - тетраэдр с гранями y = XQ-\-e, Z — ZQ, Z — X+Є, у=х—. Здесь 0 - достаточно малое число. Если и - решение поставленной задачи, а V - функция Римана-Адамара, то из (1.6) следует тождество Px+Qy +ffz —0. Интегрируя его по двусвязной области G и применяя теорему области G \ пх, п nz- направляющие косинусы внутренней нормали к S. Так как S состоит из девяти плоских фигур, то тождество (1.7) перепишем в виде Во втором и четвертом слагаемых проинтегрируем по частям по переменной у, поменяв предварительно порядок интегрирования: Здесь в первом интеграле проинтегрируем по частям, чтобы освободиться от производной uz, второй интеграл вычислим, учитывая, что Подставляя выражения для J л и J л в J , приведя подобные, используя граничные условия (1.2) и (1.4) и учитывая, что Rz(x ,y rz;M j = 0, получи Так как на плоскости Z x искомая функция задана, то ее производная по у также известна, поскольку она вычисляется по направлению, лежащему в этой плоскости. Другими словами, из тождества и(х,у,х) = Т\(X,у) следует иу(х,у,х) = тіу(х,у) Итак, функция Римана-Адамара состоит из двух слагаемых: интегралов J и J6 обозначим J$ 6. При сложении J$ и JQ чле ныс Ли ее производными взаимно уничтожаются и мы получаем: 5,6 =-} dx] [2uR X2 +2R uxz -R xuz -R zux +3aR uz -3u[aR )z\iz. этом, что Преобразуем этот интеграл аналогично интегралу J2 Учтем при Вернемся теперь к Jj. Интегрируя по частям в первом интеграле, учетывая краевые условия (1.2) и (1.4) и принимая во внимание, что ux{x,x,z0;M(}) + oy(x,x,ZQ;M()) = Oi получим Проекция S% на плоскость хОу есть треугольник: XQ + є х ZQ — є, XQ + у х — є. Проецируя Sg на плоскость хОу, приведем поверхностный интеграл к обычному двойному. X0 Xo + 3auuy -3u(a0} - 1uoyz -2vuyz + uyuz + vzuy -3avuz + 3u(au)zyiy. Этот интеграл преобразуется совершенно аналогично интегралу J4. Разница лишь в пределах интегрирования и в том, что в J4 мы писали R, а в У8 U. И, кроме того, учитывается, что и\х,х,х;М) = 0 и иДх х/Мо) 0. Поэтому сразу запишем окончательный результат: Остроградского-Гаусса, связывающую тройной интеграл с поверхностным, будем иметь: где S - граница области G \ пх, п nz- направляющие косинусы внутренней нормали к S. Так как S состоит из девяти плоских фигур, то тождество (1.7) перепишем в виде Во втором и четвертом слагаемых проинтегрируем по частям по переменной у, поменяв предварительно порядок интегрирования: Здесь в первом интеграле проинтегрируем по частям, чтобы освободиться от производной uz, второй интеграл вычислим, учитывая, что Подставляя выражения для J л и J л в J , приведя подобные, используя граничные условия (1.2) и (1.4) и учитывая, что Rz(x ,y rz;M j = 0, получи Так как на плоскости Z x искомая функция задана, то ее производная по у также известна, поскольку она вычисляется по направлению, лежащему в этой плоскости. Другими словами, из тождества и(х,у,х) = Т\(X,у) следует иу(х,у,х) = тіу(х,у) Итак, функция Римана-Адамара состоит из двух слагаемых: интегралов J и J6 обозначим J$ 6.
При сложении J$ и JQ чле ныс Ли ее производными взаимно уничтожаются и мы получаем: 5,6 =-} dx] [2uR X2 +2R uxz -R xuz -R zux +3aR uz -3u[aR )z\iz. этом, что Преобразуем этот интеграл аналогично интегралу J2 Учтем при Вернемся теперь к Jj. Интегрируя по частям в первом интеграле, учетывая краевые условия (1.2) и (1.4) и принимая во внимание, что ux{x,x,z0;M(}) + oy(x,x,ZQ;M()) = Oi получим Проекция S% на плоскость хОу есть треугольник: XQ + є х ZQ — є, XQ + у х — є. Проецируя Sg на плоскость хОу, приведем поверхностный интеграл к обычному двойному. X0 Xo + 3auuy -3u(a0} - 1uoyz -2vuyz + uyuz + vzuy -3avuz + 3u(au)zyiy. Этот интеграл преобразуется совершенно аналогично интегралу J4. Разница лишь в пределах интегрирования и в том, что в J4 мы писали R, а в У8 U. И, кроме того, учитывается, что и\х,х,х;М) = 0 и иДх х/Мо) 0. Поэтому сразу запишем окончательный результат:
Решение интегрального уравнения (2.10) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае 0
В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этому классу уравнений объясняется как большой теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в безмоментной теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Развитие современной науки и техники показало, что вырождающиеся уравнения являются хорошей моделью реальных физических и биологических процессов. А это обусловило актуальность постановки и решения для них различных краевых задач, которые в настоящее время являются предметом фундаментальных исследований многих математиков. Значительные результаты исследований дифференциальных уравнений рассматриваемого вида после основополагающих работ Ф.Трикоми [83] и С.Геллерстедта [21] были изложены в известных монографиях А.В.Бицадзе [10] и М.М.Смирнова [79]. Благодаря усилиям отечественных и зарубежных математиков, теория эллиптических и гиперболических уравнений, вьфождающихся либо на некотором множестве точек внутри рассматриваемой области, либо на ее границе, особенно интенсивно развивалась в последние 40 лет. В их работах рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, а также ставились и исследовались новые краевые задачи для таких уравнений. Существенный вклад в развитие данной теории внесли болгарские математики Г.Д.Каратопраклиев [44], [45], П.Р.Попиванов [60] и другие; представители математических школ ближнего зарубежья: Т.Ш.Кальменов [43], СЛ.Алдашев [3], [4]; Н.Р.Раджабов [66], [67]; Ар.Базарбеков [7], С.С.Харибегашвилли [88], [89]; Т.Д.Джураев [28], О.М.Джохадзе [26], [27] и другие. Большая заслуга в развитии теории краевых задач для вырождающихся уравнений принадлежит отечественным математикам С.П.Пулькину [62], [63]; А.М.Нахушеву [53], [54]; А.В.Бицадзе [9], [10]; В.И.Жегалову [33], [35]; В.Ф.Волкодавову [14], [17]; В.Н.Врагову [20]; К.Б.Сабитову [72], [73]; О.А.Репину [68]; Е.А.Зарубину [38], [39]; В.В.Азовскому [1]; В.А.Носову [56]; А.М.Ежову [30], [31]; В.Н.Гребенщикову [24]; А.А.Андрееву [5] и их ученикам. Если до недавнего времени в основном изучались краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка, то затем выяснилось, что важную роль в изучении различных процессов и явлений действительного мира играют уравнения третьего и более высоких порядков [90]. За последние полтора десятилетия внимание многих ученых привлекли исследования гиперболических уравнений третьего порядка, ими были разработаны некоторые методы решения таких задач: метод Римана, метод
Римана-Адамара, метод общих и специальных решений и другие. В 1990 году В.И.Жегалов в работе [34] ввел понятие функции Римана для уравнения с достаточно гладкими коэффициентами, доказал факт ее существования и с ее помощью методом Римана решил задачу Гурса. Эта работа явилась отправным моментом для дальнейших исследований гиперболических уравнений третьего порядка. В последующие годы математики Казанской школы В.И.Жегалов [36], А.Н.Миронов [51], [52], В.А.Севастьянов [76], [77], Е.А.Уткина [85] и другие продолжали исследования дифференциальных уравнений третьего и более высоких порядков. В 2001 году вышла монография В.И.Жегалова и А.Н.Миронова [57], в которой излагается новый вариант классического метода Римана, на основе которого решаются как уже известные, так и новые граничные задачи, С 1991 года теория гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерном евклидовом пространстве начала интенсивно развиваться в работах профессора В.Ф.Волкодавова [19] и его учеников: В.Н.Захарова [40], [41], И.Н.Родионовой [70], Н.Я.Николаева [48], О.К.Быстровой [12] и других. Ими была построена функция Римана для некоторых частных случаев уравнения (1) как с непрерывными, так и с сингулярными коэффициентами, был обоснован метод Римана-Адамара и, кроме того, использовались и другие методы решения краевых задач. Математиками Самарской школы велась разработка теории краевых задач для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами, которые по сути дела, представляют собой особый класс вырождающихся уравнений. Исследования в этом направлении были представлены работами А.В.Дорофеева [29], получившего методом Римана решение задачи Коши-Гурса для уравнения А.Т.Валиахметова [13], рассмотревшего ряд краевых задач для уравнения В.Ф.Волкодавова и А.П.Бочкарева [15], получивших решение задачи Дарбу для уравнения методом Римана-Адамара, В.И.Гребенщикова [25] и другими. Несмотря на значительное количество серьезных результатов, полученных математиками по данной тематике, теория краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерном пространстве требует дальнейшей разработки. Поэтому рассмотрение частных случаев таких уравнений является также необходимым элементом построения теории и представляет определенный интерес. В первой главе данной диссертационной работы исследованы две задачи
Решение интегрального уравнения (2.59) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае 0<^<1
Теория неклассических краевых задач развивается около шестидесяти последних лет и занимает одно из ведущих мест в современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Первые ее результаты были получены Ф.Трикоми [84], Ф.И.Франклем [87] и нашли применение в газо вой динамике. Современное естествознание, в основном физические приложения, потребовали дальнейшего развития неклассических краевых задач и, в первую очередь, задач с нелокальными условиями. Особенный интерес представляет новое направление в теории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных - это так называемые задачи с интегральными условиями, которым и посвящена вторая глава диссертации. Возникновение интегральных условий объясняется тем, что на практике часто бывает возможным измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины. Так, задачи с интегральными условиями могут служить математическими моделями физических явлений, связанных, например, с задачами, возникающими при изучении физики плазмы. А.А. Самарский приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из таких задач [75]. В последствии Л.С.Пулькина [64] получила явный вид решения этой задачи. А.М.Нахушев [55] указал примеры практического применения результатов исследования краевых задач с интегральными условиями при изучении процессов влагопереноса в пористых средах и в задачах математической биологии. В этих работах изучены задачи с интегральными условиями для параболических уравнений. Для гиперболического уравнения такие задачи исследовались в работах Л.С.Пулъкиной [65], ее учеников и других. В излагаемой теории развития неклассических краевых задач преобладают уравнения второго порядка. Такие задачи для уравнений более высокого порядка остаются малоисследованными вплоть до настоящего времени. После первых работ по этой тематике проходит значительный промежуток времени до возобновления интереса к неклассическим задачам для уравнений с частными производными порядка выше второго. В работах Самарской школы дифференциальных уравнений также рассматривались неклассические краевые задачи для уравнений второго и более высоких порядков (В.В.Азовский [2], А.А.Андреев [6], О.А.Репин [69] и дру гие). За последние годы появились работы, посвященные исследованию краевых задач с локальными и интегральными условиями для уравнений третьего порядка.
В частности, задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа изучались И.Н.Родионовой [71], В.Г.Палюткиным [57], Н.Д.Голубевой [22], Л.А.Игнаткиной [42] и другими. Во второй главе данной диссертационной работы исследованы две задачи для уравнения в ограниченных областях. В задаче А задаются значения искомой функции на характеристической области и значения ее производной — на нехарактеристиче ской части границы. Кроме того, искомая функция удовлетворяет интегрально му условию, которое представляет собой усреднение с весом производной — . В задаче В на характеристической и нехарактеристической частях границы области задаются значения искомой функции, а интегральное условие предай ставляет собой усреднение с весом производной —. Для доказательства разрешимости этих задач используется решение уравнения (3), зависящее от трех произвольных функций. Эти произвольные функции определяются затем, исходя из граничных и интегральных условий. При этом одна из произвольных функций определяется как решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода. При решении задачи А произвольная функция q [л, z) находится из инте где щх,у) - известная функция. Получены формулы обращения этих уравнений для случаев: 1) 0 /3 1; 2) fi Благодаря этому решения задач А и В удалось получить в явном виде. В диссертационной работе автором на защиту выносятся следующие результаты: 1) Постановка двух задач в бесконечной области специального вида для уравнения, вырождающегося в одной граничной точке области, которые представляют собой аналог задачи Коши. 2) Построение функции Римана-Адамара и доказательство существования и единственности решения этих задач методом Римана-Адамара. 3} Постановка задач с новыми интегральными условиями. 4) Доказательство разрешимости интегральных уравнений Вольтерра первого рода с параметром, которые возникают в процессе решения этих задач и получение явных представлений искомых функций при различных значениях параметра уравнения. Примененные в диссертации методы решения краевых задач могут быть использованы для дальнейших исследований более общих гиперболических уравнений.
