Введение к работе
Актуальность темы. Одним из направлений теории дифференциальных уравнений является та область этой теории, которая занимается вопросами, связанными с показателями Ляпунова линейных систем или, в более общем случае, с показателями Ляпунова семейств эндоморфизмов векторных расслоений.
Фундаментальным понятием этой области является понятие показателя, введенное Ляпуновым в [1] в связи с исследованием задачи об устойчивости движения.
Так, отрицательность А'-го показателя Ляпунова гарантирует условную устойчивость с индексом n-k+l нулевого решения .
Развитие теории линейных систем привело к созданию целого ряда различных показателей. Все они являются модификациями показателей, введенными Ляпуновым, и поэтому, в широком смысле, могут называться ляпуновскими, однако, во избежание путаницы для них существуют особые "названия. В диссертации рассматриваются наряду с уже известными показателями Ляпунова [1] и вспомогательными [2], обобщенный логарифмический (обобщение вспомогательного логарифмического [3]) и вспомогательные и экстраординарные показатели Боля (обобщение обыкновенного показателя Боля [4]).
Важным вопросом теории показателей Ляпунова является вопрос о зависимости показателя от параметра, непрерывно входящего в правую часть системы. Известен пример Перрона [5], показывающий, что как функция параметра показатель Ляпунова не обязательно непрерывен.
[1]. Ляпунов AJV1. // Осиряэадащуат&шзошидзююенш. М.Л., Гостехюдат, 1950. [2]. Илларионова О.Г. // О вспомогательных показателях линейных систем дифференциалънъм уравнений. Труды института прикладной механики им. Векуа, Т.31, стр. 80-98.
Р]. Мншвюгацрков В.М. //Дифферащиальные уравнения, 1993, т29,№6, стр. 1087. [4]. Боль П. II Избранные труды Пер. снем., Рига, Издательство АН ЛССР, 1961. [5]. Былов Б.Ф. и др. // Теория показателей Логунова и ее пріїлсоюгни?. к вопросам уапохншости.Ы., 1966.
Удобным оказалось классифицировать показатели в смысле Бэра. (Напомним, что функциями 0-го класса Бэра являются непрерывные, 1-го - поточечные пределы последовательностей функций 0-го класса, 2-го - пределы последовательностей функций 1-го класса н т.д.). Так, в [6] получен результат, показывающий, что показатель Ляпунова (в общем случае - семейства эндоморфизмов векторного расслоения, в частном - линейной системы) является функцией 2-го класса Бэра. Более того, существует пример [7], доказывающий, что как функция на множестве систем, наделенном равномерной топологией, этот показатель не является, вообще говоря, функцией 1-го класса.
Настоящая диссертация посвящена классификации по Бэру ряда показателей и отношением некоторых из них между собой.
Цель работы. Найти класс Бэра ряда показателей семейств автоморфизмов векторного расслоения как функции элемента базы этого расслоения, дать оценки снизу классов Бэра показателен линейных систем дифференциальных уравнений как функций на множестве этих систем, наделенном компактно-открытой топологией, а также исследовать некоторые отношения порядка между вспомогательными показателями (обычными и Боля).
Научная новизна. Все результаты работы являются новыми и состоят в следующем.
1. Найден класс Бэра ряда показателей семейств
автоморфизмов векторных расслоений.
2. Найден точный класс Бэра обобщенного
логарифмического показателя как функции на пространстве
линейных систем, наделенном равномерной топологией.
3. Найдена оценка снизу класса Бэра ряда показателей как
функций на пространстве линейных систем, наделенном компактно-
открытой топологией.
4. Доказана отделенность вспомогательных показателей
Боля от обычных вспомогательных показателей.
[6]. Мншшонщшсов BJV1. // Показатели Ляпунова ozMsucmaa эндоморфизмов >лгтриюеаииозо езапорнж»рассюенхв. Математические заметки, т38, №1,1985. [7]. Раяпмбердаев М.И. // Математическиезамепсн, 1982, т 2> 1, №6, стр. 925-933.
Методы исследования. Основные результаты изложены на языке теории функций Бэра, при доказательствах используются теорема Бэра, а также разнообразная техника оценки классов Бэра показателей (метод поворотов Мнллнонщикова и т.д.).
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам, занимающимся теорией показателей Ляпунова и ее приложением к теории устойчивости.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений, на расширенном заседании семинара им. Петровского (зима 1995г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 20 наименований. 'Общий объем диссертации 99 листов.
