Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА І, в которой изучается поведение решения задачи Неймана и задачи Зарембы в за висимости .от.изопериметрических свойств области 19
I Теорема о возрастании 28
2 Теорема Харнака для решения задачи Неймана . 55
3 Теорема об осцилляции 66
4 Априорная оценка норм Гельдера и теорема .о трихотомии для решения задачи Неймана... 79
5 Знакопеременные решения задачи Неймана 00
6 Смешанная задача. Свойства решений 05
7 0 реализации решений задачи Неймана 22
ГЛАВА II, в которой изучается зависимость поведения решений задачи Зарембы от структуры облас
ти, описываемой проводимостью 32
I Описание класса рассматриваемых областей и некоторые свойства проводимости 133
2 Критерий регулярности граничной точки 143
3 Критерий устранимости множеств 149
4 Поведение решений вблизи.иррегулярной точки 153
5 Поведение решений вблизи регулярной точки 63
ГЛАВА III, в которой изучается поведение на границе решений задачи Дирихле для.эллиптических недивергентных уравнений 169
I Вспомогательные леммы и определения 173
2 Условия регулярности граничной точки ^83
3 Множества устранимых и иррегулярных точек . ^37
4 Гладкость вблизи иррегулярной точки 192
5 Принцип Фрагмена-Линделёфа 197
6 Вырождающиеся эллиптические уравнения 199
ГЛАВА ІУ, в которой изучается поведение на границе и на бесконечности.решений параболических уравнений 209
I Вспомогательные леммы и определения 215
2 Условия регулярности граничной точки для
уравнений с непрерывными коэффициентами 234
3 Теоремы о несущественных множествах 247
4 Поведение решений задачи Дирихле вблизи иррегулярной точки 250
5 Теорема типа Фрагмена-Линделёфа и стабили зации 260
6 Вырождающиеся параболические уравнения 265
7 Поведение на границе и на бесконечности решений задачи Зарембы для параболических уравнений 275
Литера тура
- Теорема Харнака для решения задачи Неймана
- Критерий регулярности граничной точки
- Множества устранимых и иррегулярных точек
- Поведение решений задачи Дирихле вблизи иррегулярной точки
Введение к работе
В диссертации исследуются качественные свойства решений дифференциальных уравнений с частными производными. Рассматриваются эллиптические уравнения вида
L,J-S. J
и параболические уравнения вида
(3)
Lji^i *Яс Их.- dt j
УІУ Г
со следующими предположениями относительно коэффициентов
(4)
t"lsf*Z ^//С-*//?/ , где /s/=Z< .
чн . J
Относительно эллиптических уравнений вида (І) в области S^^R ^ исследуется задача Дирихле
%w^0 в SL 44,1 = (ъ)
а относительно уравнений вида (2) - задача Зарембы
где — - производная по конормали оператора L , Гх (JГ^ - 2>S2 Г flГ - 0 * ^ ~ компакт«
ІЬ + 4.
Для параболических уравнений (3) и (4) в области SO ^-/R изучаются аналогичные задачи вида
"1гГ*(*>'К Wjr'
Ра- 0 в 3) ,
...... f^
где Г(Ю) собственная граница области ) , Г± иГл - ГҐ&) Гіії Гл,~$ * Л - компакт, a /J - цилиндрическая по і поверхность.
1. Структура диссертации.
Диссертация состоит из 4-х глав. Во введении к каждой главе обсуждаются постановки задач. Все параграфы снабжены примечаниями, в которых в основном приводится обзор литературы по рассматриваемому вопросу.
В первой главе изучается поведение решения смешанной задачи Зарембы для уравнения (2) вблизи /J в зависимости от изо-периметрических свойств области. Во второй главе исследуются те свойства решений смешанной- задачи, которые достаточно эффективно описываются в терминах проводимости множеств. Задача Дирихле для недивергентных эллиптических уравнений с непрерывными коэффициентами рассматривается в третьей главе. Параболическим уравнениям (3) и (4) посвящена четвертая глава.
Полученные результаты тесно связаны между собой, во-первых, по постановке задачи, во-вторых, непосредственно, когда доказательство той или иной теоремы основано на изученных ранее свойствах решений. Приведем схему связей глав, в которой пунктир означает связь по постановке, а сплошная линия - непосредственную связь
\
\
/
2 Исторический обзор и место полученных результатов среди других работ
Качественная теория изучает свойства априори существующих в области решений уравнений, удовлетворяющих тем или иным краевым условиям на границе, в зависимости от структурных свойств области и ее границы. Наибольшее число работ по качественной теории эллиптических и параболических уравнений посвящено задаче Дирихле, меньше - задаче Неймана и сравнительно мало и недавно - смешанной задаче.
Эллиптические уравнения
Качественная теория эллиптических уравнений берет свое начало в работах С.Зарембы, А.Лебега, 0.Перрона, Н.Винера, О.Келлога, М.В.Келдыша и др. С.Заремба [Пб] и затем А.Лебег [39] показали, что в случае областей с Негладкой границей задача Дирихле для уравнения Лапласа, вообще говоря, может быть неразрешима в том смысле, что существуют области и в них гармонические функции, непрерывные на границе, но терпящие разрыв при приближении к граничной точке изнутри области. 0.Перрон [114] определил решение задачи Дирихле в случае областей с негладкой границей и ввел важное понятие барьера регулярности граничной точки. Вопрос о разрешимости задачи Дирихле для уравнения Лапласа был решен в работах Н.Винера [lI9,I20], в которых определено обобщенное решение задачи Дирихле, введено понятие емкости, и в терминах этой характеристики множества доказан критерий регулярности граничной точки. Далее Н.Винером было показано, что определенное им решение совпадает с пероновским обобщенным решением. Обобщенное по Винеру решение однозначно определяется значениями в регулярных граничных точках. Это связано с тем, что множество иррегулярных точек имеет нулевую емкость (теорема О.Келлога), а граничные значения на множестве нулевой емкости несущественны для единственности задачи Дирихле (Булиган). Подробно все эти свойства освещены в известной статье М.В.Келдыша [28], в которой изучен также вопрос об устойчивости задачи Дирихле, о пределах, в которых заключены значения решения в иррегулярной граничной точке, введено понятие гарюническои меры и изучен ряд ее свойств. О.А.Олейник [80] показала, что граничная точка
для задачи Дирихле относительно эллиптического уравнения с гладкими коэффициентами регулярна тогда и только тогда, когда она регулярна относительно уравнения Лапласа.
В работах Е.М.Ландиса [42,43] установлены возможные возрастания и убывания решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с дифференцируемыми коэффициентами в окрестности граничной точки и на бесконечности в зависимости от строения границы. Такого типа теоремы названы в [42] теоремами типа Фрагмена-Линделёфа (Ф-Л).
В другом аспекте в то же время теорема типа Ф-Л получена П.ДЛаксом [107] в цилиндрических областях, но для уравнений высокого порядка, когда коэффициенты уравнения не изменяются вдоль оси цилиндра. Подробный обзор литературы до 1961 года по качественной теории эллиптических уравнений 2-го порядка можно найти в статье Е.М.Ландиса [43]. Теоремы типа Ф-Л получены Е.М.Ландисом для областей, которые описаны в терминах объема.
Для областей, описываемых в терминах емкостей, первым их получил В.Г.Мазья [57,58] для уравнений в дивергентной форме. Позднее, другими методами для недивергентных уравнений с непрерывными коэффициентами это было сделано А.А.Новрузовым [72], Г.Н.Блохшой [3] и др. В терминах мер теоремы типа Ф-Л для эллиптических уравнений в недивергентной форме с ограниченными и измеримыми коэффициентами получены Н.З.Крыловым и М.Сафоновым [38], А.А.Новрузовым [77] и др.
В другом аспекте поведение решений эллиптических уравнений изучалось В.А.Кондратьевым, В.Г.Мазьёй, О.А.Олейник, О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой, В.А.Солонниковым и др. В этих работах структура области, как правило, описывается в
терминах собственного числа задачи, определенной на специально выбранном многообразии (обычно сфера или гиперплоскости), пересеченном с областью. Подробно об этом круге вопросов написано в недавно вышедшей обзорной статье В.А.Кондратьева и О.А.Олейник [35].
Все эти результаты относятся к эллиптическим уравнениям в дивергентной форме. Поведение решения задачи Дирихле вблизи граничной точки для несамосопряженных уравнений изучалось в работах Е.М.Ландиса, Н.В.Крылова, А.А.Новрузова и др. Е.М.ЛаН' дисом [45] рассматривались уравнения с разрывными коэффициентами и в терминах так называемой S -емкости доказаны достаточные условия регулярности граничной точки для задачи Дирихле. Н.В.Крыловым Г37] и позднее другим методом А.А.Новрузовым [72] показано, что критерий регулярности граничной точки для задачи Дирихле относительно эллиптических уравнений 2-го порядка с непрерывными по Дини коэффициентами совпадает с критерием Винера.
Из примеров, построенных Е.М.Ландисом [45], А.А.Новрузовым [74], К.Миллером [62,63] и О.Н.Зограф [46] следует, что условие Дини в этом результате существенно; более точно, существуют примеры уравнений и областей, для которых граничная точка иррегулярна относительно задачи Дирихле для данного уравнения и регулярна для уравнения Лапласа. Этим недивергентные уравнения отличаются от дивергентных, для которых, как показали У.Литман, Г.Стампакья, Г.Вейнбергер [52], граничная точка регулярна относительно задачи Дирихле тогда и только тогда, когда она регулярна для уравнения Лапласа.
Так же дело обстоит и с вопросом об устранимости множеств, а именно: если модуль непрерывности коэффициентов удовлетворя-
ет условию Дини, то, как показал А.А.Новрузов {72]» критерий устранимости множеств для данного уравнения относительно задачи Дирихле совпадает с критерием устраншлости для уравнения Лапласа. Если же условие Дини не выполнено, то это уже не так в силу построенных К.Миллером [63] и Е.М.Ландисом Г47] примеров.
Таким образом для всего класса эллиптических уравнений с непрерывными коэффициентами, не удовлетворяющими условию Дини, не может быть едшюго критерия регулярности граничной точки и устраншлости множеств. Поэтому, на наш взгляд, естественно было получить отдельные необходимые и достаточные, не обязательно смыкающиеся, условия регулярности граничной точки и устранимости множества относительно задачи Дирихле для решений уравнений с непрерывными коэффициентами. С этой целью в гл. Ш для эллиптических уравнений с непрерывными коэффициентами вводятся так называемые суб- и суперемкости и потенциалы. В терминах этих емкостей получены необходимые условия и достаточные условия регулярности граничной точки (теоремы 2.1 и 2.2) и устранимости множества (теоремы 3.1 и 3.2), аналог теоремы Келлога о массивности множества иррегулярных точек (теорема 3.3), аналог теоремы типа Ф-Л (теорема 4.1), полученной В.Г.Мазьёй для дивергентных уравнений. Кроме того в этой главе устанавливается связь между "степенью иррегулярности" граничной точки и гладкостью вблизи этой точки задачи Дирихле (теорема 4,1). Все результаты этой главы опубликованы в статьях [14,20,21] .
Ю.А.Алхутовым [I], А.А.Новрузовым и И.Т.Мамедовым [79], И.Т.Мамедовым Г64] необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки изучались и для более широкого класса
- II -
эллиптических уравнений, характеризуемых не модулем непрерывности коэффициентов, а специальным образом определенной функцией эллиптичности.
В стороне от этого короткого обзора по эллиптическим уравнениям осталось много вопросов: неравенство Харнака, априорные оценки норм Гельдера, единственности и др. Подробно с ними можно ознакомиться по книгам О.А.Ладыженской и Н.Н.Ураль-цевой Г40], Е.МДандиса [46], Гилбарга и Трудингера [101] и обзорной статьи В.А.Кондратьева и О.А.Олейник [35]. Но даже из сказанного видно, что качественные свойства решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений хорошо изучены.
Иначе дело обстоит с задачей Неймана и Зарембы. Первые работы здесь появились сравнительно недавно. В случае, когда область звездная, вопросу о разрешимости задачи Неймана посвящены работы 0.А.Ладыженской и Н.Н, Уралъцевой [40], Лион-са firo], Лионса и Дени [l04] и др. В серии статей В.Г.Мазьи [53-56] даны критерии разрешимости задачи Неймана для эллиптических уравнений' 2-го порядка в различных соболевских пространствах. Им же в статье [54] получена оценка максимума модуля решения задачи Неймана в предположении, что область удовлетворяет изопериметрическим условиям. В монографии О.А.Ладыженской и Н.Н.Уралъцевой [41] получены априорные оценки нормы Гельдера вплоть до границы области в предположении, что вблизи границы выполнены специальные интегральные неравенства. Далее, при выполнении изопериметрических условий А.К.Гущин [5] для решения 2-й краевой задачи относительно параболических уравнений в цилиндрических областях получил теоремы о стабилизации такие же, как если бы область совпадала со всем полупространством и рассматривалась задача Коша. Известна тесная связь
между изопериметрическими условиями и интегральными неравенствами (см. работы В.Г.Мазьи [53-56]), с одной стороны, и априорными оценками нормы Гельдера и стабилизацией решения задачи Коши для параболических уравнений (см. [7,41,113]), - с другой. В этой связи нагл представлялось интересным выяснить, как зависит поведение решений задачи Неймана вблизи границы области в зависимости от изопершетрических свойств области. В первой главе при ограничении типа изопериметрического неравенства для решения задачи Неймана относительно эллиптического уравнения в дивергентной форме с однородными условишли на границе получена априорная оценка нормы Гельдера вплоть до границы (теорема 4.1) и неравенство Харнака (теорема 3.1).
Используемая в гл. I методика позволила также выявить три возможных способа поведения решения задачи Неймана в зависимости от изопериметрических свойств области. Во-первых, это решения, колеблющиеся и выходящие на константу при приближении к граничной точке; во-вторых, колеблющиеся и стремящиеся по последовательностям точек к*00 ик-~о ;и> в-третьих, знако-постоянные и стремящиеся к ^= (теорема 4.2 или теорема о трихотомии). Впервые такого рода теорема типа Ф-Л была получена Е.МДандисом и Г ЛІ .Панас енно І49] для неограниченной цилішдрической области с достаточно гладкой границей. Влияние структуры области на рост либо убывание решения задачи Неймана на бесконечности изучено в статьях О.А.Олейник и Г.А.Иосифяна Г81,82], С.С.Лахтурова [5і] , В.Г.Мазьи, Т.М.Ке-римова и А.А.Новрузова [29], В.А.Солонникова [83] и А.К.Тю-линой [90]. Вопросу о реализации решений, обладающих соответствующей асимптотикой в теореме о трихотомии, посвящен 6.
- ІЗ -
Первые работы по разрешимости задачи Зарембы для областей с липшицевои границей получены в работах [40,95,108]. Необходимые и достаточные условия на область для разрешимости в ней смешанной задачи получены В.Г.Мазьёй [55]. Т.М.Керимовым в работе [31] показано, что точка стыка носителей данных Дирихле и Неймана регулярна для задачи Зарембы тогда и только тогда, когда она регулярна для следующей задачи Дирихле:л и, = о в /К"Л Л , ujr= ffe)t При некоторых предположениях относительно носителей данных Неймана, сформулированных в терминах гармонических мер, А.АЛоврузовым [75] показано, что граничная точка стыка регулярна для смешанной задачи тогда и только тогда, когда она регулярна для задачи Дирихле в той же области. В работе В.Г.Мазьи, Т.М.Керимова, А.А.Новрузова [29] для неограниченной цилиндрической области с липшицевои границей доказан критерий регулярности бесконечноудаленной граничной точки для смешанной задачи. Т.М.Керимов [30] обобщил этот результат на случай областей липшицевых на каждом сечении и суживающихся на бесконечности и в окрестности конечной граничной точки.
В.А.Кондратьевым в [32] доказана гельдеровость в замыкании области решений смешанной задачи для эллиптических уравнений высокого порядка в областях, для которых справедливы специальные интегральные неравенства. В работах О.А.Олейник и ее учеников (см. [81,82,90]) получены различные интегральные оценки решений смешанной задачи в зависимости от структуры области.
Как уже отмечалось, при изучении поведения решений эллиптических уравнений вблизи носителя нулевых условий Неймана существенную роль играют изопериметрические свойства области. Точно так же в терминах специального "относительного"
изопериметрического условия в гл. I удалось получить оценку модуля непрерывности (теорема 6,4) смешанной задачи в точках стыка носителей данных Дирихле и Неймана и доказать теорему типа Ф-Л (теорема 6.5), аналогичную теореме Е.М.Ландиса, доказанной для задачи Дирихле [42]. Все эти результаты опубликованы в статьях [16,18,19,22].
Во второй главе изучаются различные свойства смешанной задачи, которые естественным образом формулируются в терминах проводимости. А именно: для областей, удовлетворяющих изопе-риметрическим условиям в специальных сферических слоях, доказывается критерий регулярности граничной точки (теорема 2,1), устранимости множеств (теорема 3.1) и теорема типа Ф-Л (теорема 4.1), аналогичная теореме В.Г.Мазьи [58]. В этой же главе для задачи Зарембы получены аналоги теоремы Келлога о несущественности множества иррегулярных точек (теорема 3.2), теоремы Келдыша о предельных значениях решений в иррегулярной точке (теорема 4.2) и теорема о гладкости вблизи иррегулярной точки (теорема 4.1). Доказательство всех теорем существенно опирается на изученные в гл. I свойства решений задачи Неймана. Эти результаты, в основном, опубликованы в статьях [16,18,19, 23].
Параболические уравнения
В той степени, в какой качественная теория эллиптических уравнений берет свое начало от работы Н.Винера и О.Перрона, качественная теория параболических уравнений берет свое начало от статьи И.Г.Петровского [85], в которой в случае, когда граница области в окрестности граничной точки устроена как монотонная по і функция, доказан эффективный критерий регуляр-
ности граничной точки для задачи Дирихле относительно уравнения теплопроводности.
В статье БЛини flI5j в терминах тепловых емкостей получено достаточное условие регулярности граничной точки для уравнения теплопроводности. Однако это условие не обобщает достаточные условия И.Г .Петровского. Е.МДандисом [44] в произвольных областях для параболических уравнений построено обобщенное решение, аналогичное винеровскому, и доказывается критерий регулярности граничной точки относительно задачи Дирихле для уравнения теплопроводности.
Этот критерий формулируется в терминах потенциалов. Для
уравнений с модулем непрерывности коэффициентов, удовлетворя
ющим условию ", критерий регулярности
о граничной точки для уравнений в недивергентной форме доказан
А.А.Новрузовым [71]. Этот результат в случае уравнений с непрерывными по Дини коэффициентами получен И.Т.Мамедовым [66]. Для уравнений с разрывными коэффициентами достаточные условия регулярности получены Е.М.Ландисом [46]. Различные обобщения этих результатов на случай эллиптико-параболических уравнений, вырождающихся в параболические вблизи границы, получены в статьях [11-13,71]. В другом аспекте, поведение решения уравнения с неотрицательной характеристической формой вблизи границы изучались в работах М.В.Келдыша, А.В.Бицадзе, Дж.Фи-керы, О.А.Олейник, Дж.Кона и Л.Ниренберга и др. Подробный обзор можно найти в книгах О.А.Олейник и Е.З.Радкевич [84], А.В.Бицадзе (2І и в недавно вышедшей статье А.В.Иванова [25]. В областях с цилиндрической по t границей вопрос о непрерывности в граничной точке изучался в работах А.Н.Тихонова [89] и В,А,Ильина [26]. Для уравнений в дивергентной форме несмы-
кающиеся, необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки относительно задачи Дирихле получены Е.Ланконел-ли [105,106]. Результаты работ [105,106] сформулированы в терминах емкостей. Критерий регулярности граничной точки в терминах емкостей для уравнения теплопроводности получен Гарьепи и Эвансом [100].
Отметим, что для уравнений в дивергентной форме с ограниченными и измеримыми коэффициентами, вообще говоря, нет критерия регулярности граничной точки, аналогичного критерию регулярности для дивергентных эллиптических уравнений. Подробнее об этом написано во введении к гл. ІУ.
В этой главе для уравнений в недивергентной форме с непрерывными коэффициентами получены несмыкающиеся необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки и устранимости множеств относительно задачи Дирихле (теоремы 2.2, 2.3 и 3.1). Далее рассматривается вопрос о существенности в смысле единственности множества иррегулярных точек, о том, в каких пределах заключены предельные значения решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности в иррегулярной точке' (теорема 4.1), и то, как "степень иррегулярности" точки влияет на гладкость решения задачи Дирихле вблизи этой точки (теорема 4.2).
В этой же главе изучается поведение решений задачи Дирихле для параболических уравнений на + =*=> и - <=><=> по і . Поведение решений параболических уравнений в неограниченных областях относительно задачи Дирихле с переменной по t границей изучалось в работах Е.МДандиса [43], М.Кшижанского [102], ЮДеремныха [23], В.А.Кондратьева [33], В.П.Михайлова [67], Ф.Х.Мукнинова 69 , 0.А.Ладыженской, В.А.Солонникова и Н.Н.Ураль-цевой [41] , О.А.Олейник и Г.А.Иосифяна [82] , О.А.Олейник и
Е.В.Радкевича [83] , А.К.Гущина [7] и др. В этих работах в терминах мер или в терминах первого собственного числа задачи Дирихле на пересечении гиперплоскостей t - tc*^>t с областью для эллиптического уравнения в дивергентной форме получены оценки решений задачи Дирихле для параболических уравнений в дивергентной форме на + <*<=> и - "^о .
В гл. ІУ в неограниченных областях по конструкции Винера-Ландиса определено обобщенное решение задачи Дирихле для параболических уравнений и в терминах параболических емкостей получены достаточные и необходимые условия регулярности бесконечно удаленной точки (теорема 2.2 и теорема 2.3). Этот вопрос оказался тесным образом связанным с задачей А.Н.Колмогорова, впервые рассмотренной И.Г.Петровеким, и теоремами типа Ф-Л для параболических уравнений (теорема 5.1 и 5.2), имеющих свою специфику. Используемая методика позволила рассмотреть аналогичные вопросы для смешанном задачи для дивергентного параболического уравнения в том случае, когда граница области лишпицева (7). Полученные результаты в основном опубликованы в статьях [12,15,17,24].
3. При выполнении этой работы я был связан с широким кругом лиц, оказавшим на нее влияние.
Прежде всего, мне хотелось бы отметить своего первого учителя А.А.Новрузова, привлекшего меня к занятиям качественной теории. На протяжении ряда лет я был тесно связан с Е.М.Ланди-сом, принимал участие в проводтюм игл совместно с В.А .Кондрата евым семинаре и обсуждал с ним новые постановки и полученные результаты.
В течение многих лет я был прикомандирован к отделу дифференциальных уравнений с частными производными Математичес-
кого института им. В.А.Стеклова АН СССР. Все результаты постоянно докладывались и обсуждались на семинарах А.В.Бицадзе и В.А.Ильина, А.А.Дезина, В.П.Михайлова и А.К.Гущина. Эти обсуждения сыграли большую роль при выполнении этой работы.
На протяжении всех лет моей работы большую поддержку мне оказывал Ф.Г.Максудов.
Всем им я приношу мою глубокую благодарность.
Теорема Харнака для решения задачи Неймана
Отметим, что для уравнений в дивергентной форме с ограниченными и измеримыми коэффициентами, вообще говоря, нет критерия регулярности граничной точки, аналогичного критерию регулярности для дивергентных эллиптических уравнений. Подробнее об этом написано во введении к гл. ІУ.
В этой главе для уравнений в недивергентной форме с непрерывными коэффициентами получены несмыкающиеся необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки и устранимости множеств относительно задачи Дирихле (теоремы 2.2, 2.3 и 3.1). Далее рассматривается вопрос о существенности в смысле единственности множества иррегулярных точек, о том, в каких пределах заключены предельные значения решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности в иррегулярной точке (теорема 4.1), и то, как "степень иррегулярности" точки влияет на гладкость решения задачи Дирихле вблизи этой точки (теорема 4.2).
В этой же главе изучается поведение решений задачи Дирихле для параболических уравнений на + = = и - = = по і . Поведение решений параболических уравнений в неограниченных областях относительно задачи Дирихле с переменной по t границей изучалось в работах Е.МДандиса [43], М.Кшижанского [102], ЮДеремныха [23], В.А.Кондратьева [33], В.П.Михайлова [67], Ф.Х.Мукнинова 69 , 0.А.Ладыженской, В.А.Солонникова и Н.Н.Ураль-цевой [41] , О.А.Олейник и Г.А.Иосифяна [82] , О.А.Олейник и Е.В.Радкевича [83] , А.К.Гущина [7] и др. В этих работах в терминах мер или в терминах первого собственного числа задачи Дирихле на пересечении гиперплоскостей t - tc t с областью для эллиптического уравнения в дивергентной форме получены оценки решений задачи Дирихле для параболических уравнений в дивергентной форме на + = и - " о .
В гл. ІУ в неограниченных областях по конструкции Винера-Ландиса определено обобщенное решение задачи Дирихле для параболических уравнений и в терминах параболических емкостей получены достаточные и необходимые условия регулярности бесконечно удаленной точки (теорема 2.2 и теорема 2.3). Этот вопрос оказался тесным образом связанным с задачей А.Н.Колмогорова, впервые рассмотренной И.Г.Петровеким, и теоремами типа Ф-Л для параболических уравнений (теорема 5.1 и 5.2), имеющих свою специфику. Используемая методика позволила рассмотреть аналогичные вопросы для смешанном задачи для дивергентного параболического уравнения в том случае, когда граница области лишпицева (7). Полученные результаты в основном опубликованы в статьях [12,15,17,24].
3. При выполнении этой работы я был связан с широким кругом лиц, оказавшим на нее влияние.
Прежде всего, мне хотелось бы отметить своего первого учителя А.А.Новрузова, привлекшего меня к занятиям качественной теории. На протяжении ряда лет я был тесно связан с Е.М.Ланди-сом, принимал участие в проводтюм игл совместно с В.А .Кондрата евым семинаре и обсуждал с ним новые постановки и полученные результаты.
В течение многих лет я был прикомандирован к отделу дифференциальных уравнений с частными производными Математичес - 18 кого института им. В.А.Стеклова АН СССР. Все результаты постоянно докладывались и обсуждались на семинарах А.В.Бицадзе и В.А.Ильина, А.А.Дезина, В.П.Михайлова и А.К.Гущина. Эти обсуждения сыграли большую роль при выполнении этой работы. На протяжении всех лет моей работы большую поддержку мне оказывал Ф.Г.Максудов.
Критерий регулярности граничной точки
Из расходимости ряда (2.2) следует, что М О при /и.- —» . А это противоречит (2.4). Таким образом, показано, что для любых t± и найдется F такое, что решение задачи (2.3) меньше в У - окрестности 0 для любой области 3) 3) . Из этого свойства решения задачи (2.3) для произвольной области Ю нетрудно вывести \х/ регулярность граничной точки
О относительно смешанной задачи (2.1). Это проделывается так же, как вывод теоремы о модуле непрерывности решения смешанной задачи в точке стыка (теорема 6.4 главы I). Доказательство необходимости. Положим граничную функцию равной I на ГА ПЬСО/% ) и 0 вне Ыо-, ,) . Пусть в остальных точках она неотрицательна и меньше I.
Тем самым доказательство необходимости закончено. Отметим, что всюду при доказательстве этого критерия мы предполагали, что }S1\0 локально гладкая поверхность. Как было показано ранее, переход к общему случаю осуществляется с помощью соответствующей аппроксимации области и границы и предельному переходу в полученных неравенствах,Этот предельный переход возможен в силу проведенных ранее рассуждении ввиду того, что постоянные, входящие в оценки потенциала и проводимости, зависят только от изопериметрических свойств области.
Примечания. В случае, когда J2, липшицева поверхность, Т.М.Керимовым в [ЗІІ показано, что для регулярности граничной точки стыка носителя данных Дирихле и Неймана необходима и достаточна расходимость ряда Винера, состоящего из винеровских ёмкостей множеств Н - ГІ/1&(0;4 Ч. А.А.Новрузовым в[75] показано, при каких предположениях относительно области для регулярности точек стыка необходима и достаточна расходимость ряда Винера в этой точке.
Отметим совместную статью авторов Т.М.Керимова, В.Г.Мазьи и А.А.Новрузова f29j, в которой доказан критерий регулярности бесконечно удаленной граничной точки относительно смешанной задачи для цилиндрических областей с липшицевой границей.
Т.М.Керимовым в[ЗО] этот результат обобщен на случай областей суживающихся на бесконечности. В случае конечной граничной точки в [ЗО] доказан критерий регулярности граничной точки для областей, имеющих "пик наружу".
Тем самым в этой работе впервые выявлено, как структура носителя данных Неймана влияет на регулярность граничной точки стыка данных Дирихле и Неймана.
Отметим, что из условия о « - допустимости области отно - 149 сительно Гj в шарах [Ь(о;я)\ (о і следует, что рассматриваемые области не могут иметь сильное заострение наружу. Ив этом смысле доказанный критерий не обобщает теорему Т.М.Керимова. Как уже отмечалось, условие типа изопериметрического неравенства существенно при изучении качественных свойств решений смешанной задачи вблизи точек стыка носителей данных Дирихле и Неймана.
Хотелось бы иметь критерий регулярности в общей ситуации без априорных предположений относительно Ш хотя бы для следующей модельной задачи йи О в Л\ Р2 , г&\ )&\0 44,1 =t,{x) , P, )Q\0 . а Ь(ъ) 0 в окрестности 0 и //і A-QX 0 локально гладкая. На наш взгляд, для решения этого вопроса надо иметь достаточно полную информацию о линиях уровня функции Грина задачи Пусть S», [x:G( o) pJ, где / . Тогда в идеале формулировки критерия должно быть следующее: для регулярности граничной точки необходима и достаточна расходимость ряда
Множества устранимых и иррегулярных точек
Таким образом и т.д. Примечания. Для равномерно ограниченных гармонических функций критерий устранимости множества доказан Буллиганом (см. [28]).
Для эллиптических уравнений в дивергентной форме с ограниченными и измеримыми коэффициентами критерий устранимости в классе равномерно ограниченных функций такой же как и для уравнения Лапласа. Это следует из статьи Литмана, Стаппакьи, Вейн-бергера [52І. Для уравнений в не дивергентной форме с непрерывным по Дини коэффициентами как показано А.А.Новрузовым [74] (см. так же [79]) критерий устранимости тот же.
Е.М.Ландисом 471 доказаны точные достаточные условия устранимости множеств для равномерно эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами. Так же как и в вопросе о регулярности граничной точки, для уравнений с непрерывными коэффициентами с заданным модулем непрерывности, не удовлетворяюющим условию Дини, нельзя ожидать критерий устранимости множества. А потому доказываются только несмыкающиеся необходимые и достаточные условия устранимости.
Теорема о массивности множества иррегулярных точек обобщает соответствующую теорему Келлога на случай эллиптических уравнений с непрерывными коэффициентами. В отличие от гармонических функции из этой теоремы не следует несущественность множества иррегулярных точек для задачи Дирихле. На наш взгляд, для уравнения с непрерывными коэффициентами, модуль непрерывности которых не удовлетворяет условию Дини, такого свойства не может быть. Повидимому для любой функции 00(р) ( оо(р)\о при р-+ о ) существует такое уравнение с модулем непрерывности коэффициентов равным и) и такое множество, что все точки этого множества иррегулярны для задачи Дирихле относительно этого уравнения и это множество неустранимо.
Изучим теперь вопрос о гладкости решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа вблизи иррегулярной точки. Пусть C»„t(&(0;i)\j) О при Р и 0 граничная точка области. Тогда, вообще говоря, производные гармонической в области І2 функции, непрерывной на Ї& при подходе к граничной точке не остаются ограниченными.
С другой стороны, из теоремы об устранимости множеств следует, что если С . (Е)-0 . где компактная часть границы, расположенная на положительном расстоянии от регулярных точек, то ограниченное решение задачи Дирихле вй\Г для уравнения Лапласа можно доопределить на Е так, что полученная функция будет гармонической в 12
В то же время для уравнения Лапласа ёмкость множества иррегулярных точек равна О Сейчас мы докажем теорему, в некотором смысле, связывающую эти факты. А именно, будет получена точная количественная оценка - 193 гладкости гармонической функции вблизи иррегулярной точки в зависимости от скорости сходимости ряда Винера. Замечание I к теореме 4.1. Из доказанной теоремы следует так же, что если область устроена так как это указано на рис.1, то из сходимости ряда Винера следует, что обобщенное по Винеру решение задачи Дирихле непрерывно в 2П(х-: # - #] . Таким образом разрыв решения задачи Дирихле в иррегулярной точке 0 происходит за счет значений в близких к границе точках.
Замечание 2 к теореме 4.1. Ясно, что имея априорную оценку для уравнения с непрерывными коэффициентами, а так же построенное в первом параграфе суперрешение .0х-уі) для общего уравнения ##в0 и применяя конструкцию доказанной теоремы, получим следующее утверждение.
Теорема 4.2. Если область 1 такая же, как и в теореме 4.1 и и,(х) ограниченное решение задачи Дирихле для уравнения и=0 . Тогда из того, что следует ограниченность нормы
При этом, как мы уже показывали в І, в силу предположения о том, что сингулярное суперрешение уравнения % і -О /_ f/X-l) стремится к »о при /xl- о » У задачи (5.1) возможны два сорта решений. Первое растущее, у которого величина/ , = p и- при/»- -о и второе - ограниченное решение. у
При этом в лемме о возрастании для растущих решений (лемма 1.6) изучено, как убывает растущее решение при переходе от сферы 6(0}4" ) к сфере UOi і (т 1)) в зависимости от субёмкости множества Е -д (О) ; {м"х))\0,
В силу обобщенного принципа максимума лемма о возрастании (лемма 1.5) дает оценку возрастания положительного ограниченного решения задачи (5.1) при переходе от сферы 5(о;4"(т ) к $(0} mJ в зависимости от ёмкости множества И , = &(o; ryt )\Q.. Последовательное применение леммы о возрастании и убывании позволяет доказать следующую теорему.
Поведение решений задачи Дирихле вблизи иррегулярной точки
Учитывая здесь выражение для Ї и произвольную малость получаем (1.29), а следовательно и утверждение леммы. Если (1.33) не
Выполнено, то рассмотрим функцию 1зС;1) = И(Х}1) - М( п+і)(і-ї)ї(Х)і) ГДЄ %(X)t)= nU [ /?ї_;а ( ; )/frKp $-( 4), t#p(-S -)} В силу леммы Е.М.Ландиса и принципа максимума множество - TJ& i?i(xjt) 0 содержит точку (о-о) и пересекает $(m+i) . Применяя к области .Qt/lty+i конструкцию предыдущего шага и учитывая то обстоятельство, что по построению Ц Ц U)\ 1 ±, получим О Пусть теперь ni(Po-j) М(т+і)(і-ії ї) . (І#з5) Тогда неравенство для і?і нам дает Mftn + j) , м(ті- ) [ І-ІЇ+ (-їґ -l+F)/(I+CJ0 ) 1-еяр sl Положив здесь Ґ- CsoliU+C-jo) П0ЛУЧИМ Если же (1.35) не выполнено, то рассмотрим функцию Проведя для ify(t)t) те же рассуждения, что и для 1?d(x;t) , получим, что если 1Л(Р0)Ь) ь М( +і)(і-Пг), то 233 Так последовательно за К0 шагов либо мы дойдем до цилиндра roU) , где /п(У0;іа) гцт+iifj-fiQ Ко-і
В случае уравнений с непрерывными коэффициентами аналогичные леммы имеют место. Рассуждения при этом никак не изменяется, только вместо функций Fs+tf+teit) , Ff„;p_ (x,t) нужно рассмотреть построенные функции Ж(х.;і) жА/-(х;і)
Приведем соответствующую формулировку только леммы о возрастании в слое Sljm). Аналог леммы о возрастании в слое )(пи) в этом случае громоздко формулируется и здесь приведен не будет.
Лемма о возрастании в слое Sijm) для уравнения с непрерывными коэффициентами. -Пусть it положительное субрешение уравнения Pit о в Sltfa), равное 0 на Г/1/2) /lS2Jt ) . Примечания. Для уравнений с модулем непрерывности коэффициентов, удовлетворяющих условию ) -zr- Miiird , суб- и су перрешения, эквивалентные функции источники уравнения теплопроводности, построил А.А.Новрузов[73] . И.Т.Мамедов[б5] доказал, что этот факт остается в силе и для параболических уравнений с непрерывными по Дини коэффициентами. С помощью построенного субрешения в этих статьях показано, что и для общего уравнения верны леммы о возрастании такие же, как и леммы Е.М.Ландиса о возрастании положительного решения уравнения теплопроводности (см. Г46]).
Многие интересные свойства параболических потенциалов и ёмкостей изучены в работах Батсона [118], Ланконелли [106] и др, Условия регулярности граничной точки для уравнений с непрерывными коэффициентами В этом параграфе доказываются необходимые и достаточные условия регулярности конечной и бесконечно удаленной граничных точек (0)0) и о .
Пусть QJ CR ограниченная область с границей )S2 . Обозначим черезГ( 2,) собственную границу области JZ . Всюду в дальнейшем под обобщенным решением задачи Дирихле мы будем понимать решение типа винеровского, введенного Е.М.Лан дисом[46] . Определим его. Обозначим через Qm ступенчатую область, аппроксимирующую область І2 изнутри. Пусть Г - собственная граница области 1 В силу непрерывности коэффициентов существует решение задачи принадлежащие W/ 1 (см. [4l]). Здесь Н(х;{)- непрерывное продолжение граничной функции fi(x;t).
В силу априорных оценок существует функция U» - iW U . При этом І6Р(Х;І) внутри области Q, удовлетворяет уравнению Ти- 0 и не зависит ни от способа аппроксимации области J2 , ни от способа продолжения граничной функции &lx)i) .
Функция Hfjiz;t) называется обобщенным по Е.М.Ландису решением задачи (2.1). Пусть (о;о) jQ . Граничная точка (о;о) называется L - регулярной, если для любой граничной функции в k(x;t) МІЙ, 4tfi(x;t) - I(OJO) . (x}t)- (0;o) Следуя книге[46"J , наряду с і - регулярностью, определима регулярность граничной точки (Q;0) . Пусть и) модуль непрерывности коэффициентов оператора Р тогда назовем точку (0}0) О - регулярной, если выполнено
Для любых І о ж л о найдется такое f о , что какова бы ни была область І2 с i2 , каков бы ни был параболический оператор Р с модулем непрерывности коэффициентов W ZUJ , каково бы ни было субрешение u (v;t) уравнения f p- = О , не превосходящее і вй и не превосходящее 0 на пересечении Г(Л ) с f - окрестностью точки [0)0) в Г - окрестности ТОЧКИ (0)0) выполняется неравенство
Под Г - окрестностью точки ( ) мы понимаем цилиндр Ц Кроме того, отметим, что всюду в дальнейшем используются обозначения I.
Доказательство. Доказательство проведем от противного. С этой целью обозначим через т0 такое число, что цт a O(O)F) И при пг то в 2/7// найдется точка (z ;i ) такая, что U te ;t ) j, . (2.3)
Покажем, что из расходимости нашего ряда следует ограниченность /п- константой т , зависящей от х и sz . Далее обозначим М; МЧ Ц- ПО! выделим компоненту 2»2 І , в которой и 0 и достигает значения Mi-i . Очевидно, что IfJ XQ KHi)
