Содержание к диссертации
Введение
1 Введение. 3
2 Формулировка основных результатов работы. 7
3 Сведения из теории мер некомпактности и теории топологического индекса. 13
4 Доказательство основных результатов. 18
5 Примеры. 51
5.1 Пример 1 (Случай, описываемый схемой 1.1. Доказательство теорем 2.4, 2.5 для этого случая) 51
5.2 Пример 2 (Случай, описываемый схемой 1.2. Доказательство теорем 2.4, 2.5 для этого случая) 75
Список литературы. 89
- Формулировка основных результатов работы.
- Доказательство основных результатов.
- Примеры.
- Пример 2 (Случай, описываемый схемой 1.2. Доказательство теорем 2.4, 2.5 для этого случая)
Введение к работе
Математические модели распространения сигнала в передаточных линиях и возникновения в них вынужденных колебаний изучались различными авторами (см.[9],[29] и имеющуюся там библиографию). Естественно считать, что входной сигнал "зашумлен". В качестве математической модели шума при изучении обыкновенных стохастических уравнений М.А.Красносельский и А.В.Покровский (см. [14]) предложили рассматривать функции, у которых вторая вариация относительно некоторой фиксированной последовательности разбиений равна константе. Такая модель позволяла заметить "стохастические" эффекты, используя методы детерминистского анализа.
Цель работы. Получить условия, при выполнении которых гарантируется близость решений уравнения (1.4) для задачи Коши к решениям усредненного уравнения. Также получить условия, при выполнении которых, существуют решения уравнения (1.5) в задаче о вынужденных колебаниях и эти решения устойчивы.
Методика исследования. Использовались методы исследования, основанные на теории топологического индекса, на теории вращения уплотняющих векторных полей, методы функционального анализа, спектральной теории операторов в банаховом пространстве.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. В числе их отметим следующие: если среднее быстро осциллирующего слагаемого равно нулю, то, несмотря на разницу порядков малого параметра перед быстро осциллирующими членами, в начальной задаче на конечном отрезке и в задаче о вынужденных периодических колебаниях этой составляющей можно пренебречь. При этом близость решений в задаче Коши гарантируется на промежутке порядка частоты.
Практическая и теоретическая значимость. Основные результаты носят теоретический характер. Результаты могут быть применены при исследовании передаточных линий.
Апробация работы и публикации. Основные результаты опубликованы в работах [10], [21) - [24] и являются новыми. Из совместной работы [10] в диссертационную работу вошли только принадлежащие автору результаты. Они докладывались на Воронежских весенних математических школах в 2000, 2002 и 2004 года, па семинаре проф. Покорного Ю.В. при Воронежском гос.университете в 2003 году, на семинаре проф. Садовского Б.Н. при Воронежском гос.университете в 2004 году.
Формулировка основных результатов работы.
Усредненное уравнение для уравнения (1.4) в задаче Коши имеет вид с начальным условием (1.6). В уравнении (2.1) функция /0 определяется формулой Для удобства ссылок нам потребуется уравнение (2.1) при є = 1, те. Аналогично задаче Коши рассматривается усредненное уравнение для задачи о вынужденных колебаниях Для удобства ссылок нам потребуется уравнение (2.4) при є = 1, т.е. уравнение вида Сформулируем основные результаты работы. Теорема 2.1 Пусть выполнены следующие условия; А\). Функция f(t,r,u) - периодична по первым двум переменным, непрерывна по совокупности переменных и ограничена на ограниченных множествах. Аг). Оператор —А порождает сильно непрерывную полугруппу e At. A3). Резольвента оператора —А на некотором векторе е0 Є Е обладает свойством: где г мнимая единица. Aj)- Функция B(t)e0 имеет разложение в ряд Фурье с коэффициентами Сп такими, что CQ — 0 и ряд —= сходится. А5). Выполнено неравенство где х - мера некомпактности Хаусдорфа (CM.[9J), к - константа, Q - ограниченное множество. А&). Задача (2.3), (1.6) имеет единственное решение и на отрезке [0, б!]. Тогда задача (1.4), (1-6) имеет решение и на отрезке [О,d/є2} и выполнено соотношение Заметим, что без ограничения общности всегда можно предположить, что полу- группа е л удовлетворяет оценке где 5 0. В противном случае в правой части уравнения (2.3) нужно вычесть и прибавить член є2Ми с достаточно большой положительной константой М и взять в качестве —А оператор —А — Ml, а в качестве нелинейности f(t, и) + Ми. Теорема 2.2 Пусть выполнены условия Л2)-А4) Теоремы 2.1. Пусть также выполняются дополнительные условия: В\). Функция f{t,u) - периодична по первой переменной, непрерывна по совокупности переменных и ограничена на ограниченных множествах. В2). Выполнено неравенство где х - мера некомпактности Хаусдорфа (см.[9]); к - константа, Q - ограниченное множество. В%).
Для любой ограниченной последовательности {уп} и {tn} : tn —$ t0 выполнено неравенство: где а - положительная константа, удовлетворяющая неравенству - 1. ВІ). и - изолированная неподвижная точка оператора Л_1/0. В$). Индекс неподвижной точки и оператора Л_1/0 отличен от нуля: Тогда каждому заданному г 0 соответствует такое є О, что при є Є (0,о) задача (1-5) имеет по крайней мере одно Т-периодическое решение к(,), для которого справедлива оценка: При исследовании устойчивости решения u(t,s) предполагается, что выполнены следующие условия: Лі). Функция /(і, и) - Т-периодична по первой координате, непрерывно дифференцируема по второй переменной, и выполнено соотношение равномерно относительно щ Є В(и ). П2).1 ?а(А-1К(ч )). Положим где h Є Е, а /Ц(М )/Ї - производная Фреше усредненного оператора /о, которая существует в силу условия D\). Теорема 2,3 Пусть выполнены условия Л2)--Аі) Теоремы 2.1 и условия Bi)-B±) Теоремы 2.2. Пусть также выполнены условия D\)-D2). Тогда каждому заданному г 0 соответствует такое єо 0, что при є Є (0, о) уравнение (1.5) имеет единственное Т-периодическое решение u(t,e), причем Если все точки спектра оператора М лежат в левой полуплоскости, то решение us - экспоненциально устойчиво. Если хотя бы одна точка спектра оператора М лежит в правой полуплоскости, то решение иє неустойчиво. Основным условием близости решений рассматриваемой задачи к решениям усредненного уравнения является характер поведения резольвенты оператора —А на векторе е0 при ,0-)-00. Сходимость к нулю соответствующего интегрального члена гарантируется следующей леммой. Лемма 2.1 Пусть —А - производящий оператор сильно непрерывной полугруппы линейных операторов, действующих в банаховом пространстве Е такой, что для резольвенты оператора —А и некоторого вектора е0 Є Е выполнено условие где г— мнимая единица. Тогда, если B(s) - Т-периодическая функция, имеющая разложение в ряд Фурье с коэффициентами Сп такими, что с0 = 0 и ряд , 0 а 1, a = i сходится, то выполнено соотношение о при е — - 0 равномерно относительно t Є [0,cf/ ]. Частным случаем Леммы 2.1 при \i = 2,5 — 1 является следующая Лемма: Лемма 2.2 Пусть —А - производящий оператор сильно непрерывной полугруппы линейных операторов, действующих в банаховом пространстве Е, такой, что для резольвенты оператора —А и некоторого вектора ео Є Е выполнено условие As). Теоремы 2.1. mo выполнено соотношение Тогда, если B(s) - Т-периодическая функция, имеющая разложение в ряд Фурье с коэффициентами с , такими, что со = 0 и ряд — сходится, о при є - 0 равномерно относительно t [0, cf/e2]. Для доказательства устойчивости вынужденных периодических колебаний используется теория возмущения уплотняющих операторов. Для ее применения установлена Лемма 2.3 Пусть выполнены условия Л2)-Аі) Теоремы 2.1, условия ),) Теоремы 2.2, и пусть операторы сдвига V{en) по траекториям уравнения (1.5) за время [1/Єп]Т определены на некотором множестве D С Е. Тогда существует константа q 1 такая, что для любой ограниченной последовательности {хп} С D при єп — 0 выполнено неравенство где х(П) - мера некомпактности Хаусдорфа, О, С Е. Предположим, что единичный участок рассматриваемой цепи имеет обычные распределенные параметры : индуктивность L, емкость С, активное сопротивление R, коэффициент утечки G, то приведенная выше система может быть описана следующей системой дифференциальных уравнений: с краевыми условиями где i(t, х) - ток, v(t, х) - напряжение в момент времени (ив точке х передаточной линии. Для системы (2.9)-(2.10) рассмотрим начальную задачу, определяемую начальными условиями: Сформулируем теоремы, являющиеся частным случаем абстрактных теорем.
Теорема 2,4 Пусть E(t) = E(t)+se(t/e2), где Е - непрерывная функция на отрезке [0,d], е() - непрерывно дифференцируемая Т-периодическая функция, такая, что ее производная е имеет разложение в ряд Фурье с коэффициентами с , такими, что ряд —-р= сходится. Пусть система (2.9)- (2.10) с E(t) = E(t) и начальными условиями (2.13)-(2.14) имеет единственное решение (i,v), определенное на отрезке [0,d\. Тогда при достаточно малых є система (2.9)- (2.10) с начальными условиями (2.13)- (2.14) имеет решение (гЕ,-уе), определенное на отрезке [Q,d] и Теорема 2.5 Пусть E(t) = m + ee(t/e2), где функция е та же, что и в Теореме 2.4 и т - константа. Сі). Пусть система (2.9) - (2,10) при E(t) = т имеет стационарное решение (і0 У). С2). Пусть также система уравнений в частных производных не имеет ненулевых решений. Тогда при достаточно малых є система (2.9)- (2.10) имеет є2Т-периодическое решение (is,v) такое, что 3 Сведения из теории мер некомпактности и теории топологического индекса. Введем обозначения, которыми будем пользоваться. Через Е обозначается банахово пространство. Вполне ограниченным или компактными множеством будем называть подмножество пространства Е, если из любой последовательности его элементов можно выделить подпоследовательность Коши. Замкнутые вполне ограниченные множества будем называть компактами. Определение ЗЛ (см. [1]) Мерой пекомпактности Куратовского множества П называется инфимум таких d 0, для которых Q может быть разбито на конечное число подмножеств, диаметра меньше d. Под диаметром diamA множества А, как обычно понимается величина которая для неограниченного А считается равной бесконечности, а для пустого А -нулю. Определение 3.2 (см. [lj) Мерой некомпактности Хаусдорфа множества Q называется инфимум тех є 0, при которых П имеет в Е конечную е-сетъ, В дальнейшем меру некомпактности Куратовского будем обозначать через а, а меру некомпактности Хаусдорфа - через % Свойства меры некомпактности Хаусдорфа (см. [1]). Непосредственно из определения мер некомпактности а и х (обозначаемых далее ф) вытекают следующие свойства: 1) инвариантность относительно перехода к замыканию и выпуклой обо лочке: 2) правильность: (П) = 0 тогда и только тогда, когда Q -вполне ограничено; 3) полуаддитивность: 4) липшицевость: \\ф(ІЇо)—ф{ІЇі)\\ L$p(Q0, fii), где Xa = 2, Ix = 1, /э- метрика Хаусдорфа: 5) несингулярность: равна нулю на любом одноэлементном множестве; 6) монотонность: из S70 Q г вытекает, что ф{0.о) "0( i); 7) непрерывность: У(П,є 0)3(5 0)У(Пі)[р(Ц),Пі) 6 = j (Q)- (fii) є]; 8) полуоднородность: tp{tQ)) = i (fi), где і— число; 9) алгебраическая полуаддитивность: - ( + i) () + ( і); 10) инвариантность относительно сдвигов: {Г2 + х) = (П); 11) инвариантность относительно объединения с компактным множеством: ф(К и П) = ф(1) для каждого компактного множества К и Q С Е.
Доказательство основных результатов.
Доказательство. Произведем замену переменных г = еН в интеграле Тогда получим следующую цепочку равенств Второе слагаемое в последнем равенстве стремится к нулю. В силу периодичности функции B(t) в первом слагаемом для общего члена под знаком суммы имеем: Произведем в последнем равенстве замену вида s = + (к — 1)71. Тогда = s — (к — \)Т и выполнена цепочка равенств Оценим по норме выражение Так как функция В (і) по условию Леммы имеет разложение в ряд Фурье, то можно записать где р, / - положительные константы, і— мнимая единица. Так как c„e se0 ограничена, то выполнено равенство Отметим, что также выполнено следующее соотношение т Воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии для оценки выражения ( ). Тогда будет выполнена цепочка равенств: где в последнем равенстве введено обозначение дп то норму интеграла 1(т/е ) можно оценить следующим образом: Рассмотрим на отрезке [О, Т] при s = Т — выражение В силу разложения в ряд Фурье функции B(t) и полученных соотношений ( ), ( ) для оценки /( г) достаточно оценить два выражения Оценим второе выражение, пользуясь формулой интегрирования по частям: Продолжим оценку второго выражения: Таким образом, оценка по норме выражения ]/{ г)} следующая; В силу выполнения условия (2.7) Леммы 2.1 норма - bg-Qn11 (-А+ дпг) 1еа стремится к нулю при дп —» оо. Следовательно, при — 0 равномерно относительно t Є [0, сі/є ]. Докажем Лемму 2.3. Доказательство. Обозначим через ип решение уравнения (1.5) и зададим его формулой: Это решение определенно на отрезке [0, [1/efjT]. Произведем в уравнении (4.1) замену переменных вида t = r Тогда решение имеет вид: Заметим, что выполнено равенство уп(Т) = и(т Отметим также, что Оценим меру некомпактности правой части равенства (4.2). Применяя условие В3). Теоремы 2.2, первое слагаемое оценивается следующим образом: В силу доказанной Леммы 2.1 выполнено равенство Воспользуемся условиями Аъ) Теоремы 2.1, В%) Теоремы 2.2, монотонностью меры некомпактиости Хаусдорфа.
Получим выполнение следующего соотношения: о Из Леммы Гронуолла следует, что Воспользуемся равенством (4.3) при т — Т. Тогда верно соотношение: Так как Что и требовалось доказать. Докажем Теорему 2.1. Доказательство. Решение задачи (2.3) эквивалентно нахождению неподвижной точки оператора Ffi, действующего в пространстве C([0,d/s2}, Е) и задаваемого формулой Так как задача (2.1) имеет единственное решение и на отрезке [0, d], то после замены переменных вида г = te2 задача (2.3) имеет единственное решение и на отрезке [0,d/e2], и выполнено равенство Нахождение решения задачи (1.4) эквивалентно нахождению неподвижной точки оператора Fe задаваемого формулой: При фиксированном є рассмотрим оператор FE(X,u) в пространстве C[0,d/2], задаваемый равенством: Рассмотрим меру некомпактности следующего вида: где ft С С[0, rf/f2] - ограниченное множество, D - счетное подмножество множества где х - мера некомпактности Хаусдорфа, mod CD = lim sup max и( ) — u(i2)j. Лемма 4.1 Пусть выполнены условия Ai),A2),A5) теоремы 2.1. Тогда существу- 2е2тк ют такие константы L,m,fc, что константа q — —-— строго меньше 1, и для оператора FS(X, и) выполнено неравенство где мера некомпактности р определена в равенстве (4.8). Доказательство. Оценим следующее выражение: Пользуясь свойством меры некомпактности и условием А$) теоремы 2.1, оценим подинтегральное выражение правой части последнего неравенства: Воспользовавшись результатом [28], получим В силу определения меры некомпактности (р это означает, что выполнено неравенство Что и требовалось доказать. Лемма 4.2 Пусть выполнены условия Ai),A2), А5) Теоремы 2.1 и выполнено равенство x{Q{t)) — 0. Тогда функции из множества Fe([0,1] х І1) равностепенно непрерывны. Доказательство. Из условия А&) теоремы 2.1 имеем, что (/( ) (0)) kx($l(t)). Так как x(Q(i)) — 0, то x(/(tt2 , (t))) = 0. Следовательно, множество %(/(, 2,П())) - вполне ограничено. Заметим также, что в силу [26] для множества {f(s,e2s,um(s))} такого, что x{f(si &2s,iim(s))} = 0, выполнено следующее: для любого 5i 0 можно найти компакт К\ и множество еі Є [0, d/є2], такие, что meas Єї Si и выполнено неравенство для любого s є [0, dje2} \ е\. Аналогично, для множества {fo(e2syum(s))}i такого, что x{/o(s 25; wm(s))} = 0 выполнено: для любого 82 0 можно найти компакт К2 и множество е2 [Q,d/e2], такие, что mease2 Si и выполнено неравенство для любого s Є [0, d(e2\ \ e2. Выберем такую константу S, что для ti, t2 Є [0, d/є2] таких, что t\ t$, выполнено неравенство \ti —12\ S. Рассмотрим разницу функций Fe в точках t\ и t2: Заметим, что щ - фиксированный элемент пространства Виє м - сильно непрерывная полугруппа. Это означает, что выполнено неравенство В силу того, что значения B(s)e0 лежат в компакте ?([0,Т])ео, имеем Оценим интеграл В силу условия Лі) теоремы 2.1 следует, что второе слагаемое можно оценить следующим образом: где M-const : \\f(s,e2s1vm(s))\\ М при я Є [0, і]Леі; 7з = 72 і-В силу утверждения (4.9) и сильной непрерывности полугруппы е м, имеем на интервале [0, ti] \ еі Аналогично доказывается, что h Таким образом доказано, для любого 7 0 существует такая константа S О, что для ti,t2 Є [0,d/2] таких, что ti t2 и ti — І2І выполнено неравенство i[ (Am,«m)(ti) - F(Xm,um)(t2)\\ 7. Это означает, что функции из множества Fe([0.1] х Q) равностепенно непрерывны, Лемма 4.3 Пусть выполнены условия Лі), Л2),Л5) теоремы 2.1 и выполнено неравенство Тогда оператор Fe(X,u) является уплотняющим по совокупности переменных А, и относительно меры некомпактности ф, определенной равенством (4.7). Доказательство. Для этого необходимо доказать, что для ограниченного множества D С С[0)б!/е:2] из условия (4.10) следует компактность множества Q. Неравенство (4.10) понимается в смысле конуса R/j_, Пусть D — {уп} - счетное подмножество множества Fe([Q, 1] х ҐЇ), на котором достигается максимум в правой части неравенства (4.10). Тогда существуют такие {Хт} [0,1], ит Є Гі, что выполнено равенство В силу неравенства (4.10) можно записать В силу доказанной Леммы 4.1 по первой координате неравенство (4.10) можно записать в следующем виде: Отсюда следует, что (1 - q) p(Q) 0. Следовательно, р{ІЇ) — 0. Это означает, что по первой координате в правой части неравенства (4.10) стоит нулевой вектор. В силу леммы 4.2 и по второй координате в правой части неравенства (4.10) стоит нулевой вектор. Это значит, что множество П относительно компактно.
Следовательно, оператор є(Л,и) является уплотняющим по совокупности переменных Х,и относительно меры некомпактности ф. Что и требовалось доказать. Лемма 4.4 Пусть выполнены условия Ai),A2), 4), .5) теоремы 2.1. Тогда семейство операторов FE(X,u) при достаточно малых є является гомотопией на шаре Доказательство. Предположим противное. Тогда существуют последовательности {єп : еп — 0},{А„ — Ло,А„ є [0,1]},ип Є dBC[o,d/s2\(uen r) такие, что выполнено равенство: Запишем его более подробно: Произведем в последнем равенстве замену переменных вида т = e t, vn(r) — ип{т/є2п). Тогда г Є [0, d] и выполнено равенство Лемма 4.5 Пусть выполнены условия Аі),А2),А ) теоремы 2.1. Тогда множество {vn{r)} вполне ограничено при каждом г Є [0, d]. Доказательство. Сначала оценим е Ьтх{{ут(т)}) : Пользуясь свойствами меры некомпактности и условием А5) теоремы 2.1, оценим меру некомпактности Хайсдорфа подинтегрального выражения последнего неравенства: Воспользовавшись результатом [28], получим 2m& Выберем такое L.t чтобы константа q = —-— была строго меньше 1. Тогда ВЬШОЛ-нено неравенство Следовательно, Отсюда следует выполнение неравенства (1 — q)ip(vm) 0. Значит, верно равенство p(vm) — 0, Так как х(ит(т)) еЬт р(Рт) = 0) то при любом т множество x{vm{i )) является вполне ограниченным. Следовательно, множество { т(г)} в пространстве С[0, d] вполне ограничено. Что и требовалось доказать. Лемма 4.6 Пусть выполнены условия условия А±), А2),А4) АЪ) теоремы 2.1. Тогда последовательность функций {vn} равностепенно непрерывна. Доказательство. Заметим, что из условия Аъ) Теоремы 2.1 следует, что Ш 2 г Ут(т) ) ) kx({vm(T)})- В силу доказанной Леммы 4.5 выполнено равенство x(fm(r)) = 0. Следовательно, X ( / ( —2 ,T,vm(r). 1=0 для любого т. Это означает, что множество функций / [ -=-,т, vm(r) ) является вполне ограниченным. Также отметим, что в силу [26] для любого 5 0 можно найти компакт К и множество є Є [0,d] такие, что mease 8 и выполнено неравенство для любого Є [0, d] \ є. В силу сильной непрерывности полугруппы е м можно указать такое -у, что [[(е г — 1)х\\ 7 для любого х К.
Примеры.
Рассмотрим передаточную линию, описываемую схемой 1.1. Если предположить, что единичный участок цепи имеет обычные распределенные параметры (см.[25]): индуктивность L, емкость С, активное сопротивление R, коэффициент утечки G, то приведенная выше система может быть описана (см.[25) следующей системой дифференциальных уравнений: с краевыми условиями где i(tbx) - ток, v(t,x) - напряжение в момент времени t и в точке х передаточной линии. Для системы (5.1) - (5.4) рассмотрим начальную задачу, определяемую начальными условиями: Следуя (см.[25]), произведем в задаче (5.1) - (5.6) замену вида Уравнение (5.1) после замены переменных вида (5.7) - (5.8) примет вид Из равенства (5.8) следует Тогда уравнение (5.2) преобразуется к виду Условия (5.3) - (5.4) примут вид: Обозначим Положим, что E(t) = E(t) + e(t/s2)} где функции Е и e(t) определены в условиях теоремы (2.4). Тогда задача (5.9),(5.11) с краевыми условиями (5.12) - (5.13) при каждом фиксированном і будет иметь вид: с краевыми условиями Сделаем замену времени т = t/є2. Тогда задача (5.14)-(5.16) примет вид Итак, получили систему дифференциальных уравнений (5.19)-(5.21) с краевыми условиями (5.17)-(5.18). Эта задача может быть представлена как обыкновенное дифференциальное уравнение в пространстве Е = L2 х L2 х R1: Опишем операторы A,B,ft входящие в уравнение (5.22). Оператор А имеет вид: Областью определения оператора А является множество D(A) = {( , , 6) Є і/" Оператор / можно представить в виде где через I обозначена единичная функция. Доказательство теоремы 2,4 для случая, описываемого Схемой 1.1. Для доказательства теоремы 2.4 достаточно проверить выполнение всех условий теоремы 2.1 для дифференциального уравнения (5.22). Лемма 5.1 Условие Аг) теоремы 2.1 для случая, описанного схемой 1.1, выполнено. Доказательство. В силу того, что функции e(t), E(t) по определению периодичны, непрерывны и ограничены на ограниченных множествах, условие А\) теоремы 2.1 для функции f(e2T,r,u), определенной формулой (5.24), выполнено.
Лемма 5.2 Условие А2) теоремы 2.1 для случая, описанного схемой 1.1, выполнено. Доказательство. Для проверки данного условия вместо оператора А можно рассматривать оператор А = А + D, где оператор D определяется следующим образом где N - положительная константа. Для доказательства выпишем оператор —А + XI при Л = ъи : функциями, то каждую из них в последнем равенстве можно представить в виде суммы вещественной и мнимой частей: Так как в левой части вещественное число, то для верности равенства необходимо, чтобы в правой части также было вещественное число, т.е. Это невозможно, т.к. в левой части равенства стоит положительная константа.а в правой - всегда отрицательная. Во втором случае выполнено равенство RC — GL. Тогда V R2 + u2L2 Это невозможно, т.к. в левой части равенства стоит положительная константа,а в правой - всегда отрицательная. Получили противоречие. Следовательно, условие (5.48) выполнено при любых ш. Ш Лемма 5.10 Условие (5.49) выполнено. Доказательство. Для доказательства этого условия достаточно вычислить предел левой части соотношения при и — со. Пользуясь правилами действия над комплексными числами, имеем цепочку алгебраических преобразований; Найдем те ш. при которых этот предел равен нулю. Это возможно только при условиях, что Рассмотрим второе условие. Решим это уравнение, заметив, что в силу свойств комплексных чисел выполнены равенства: Тогда второе уравнение имеет вид Это уравнение не имеет решений, так как в левой части уравнения стоит вещественное значение, а в правой — комплексное. Таким образом второе условие никогда не выполняется. Рассмотрим третье условие. Решим это уравнение. Пользуясь свойствами комплексных чисел, имеем цепочку равенств. В левой части последнего равенства — комплексное значение, а в правой — вещественное. Следовательно третье уравнение решения не имеет. Таким образом, при переходе к пределу при из —» оо выясняется, что условие (5.49) в ноль не обращается. Итак, в Леммах 5.7 -5.10 доказано, что условия (5.41) выполнены при Л = гш, где из - положительная константа. Подставим в систему уравнений (5.40) и в выражения для а,/3 (5.38), (5.39) константу Л = іш. Тогда система уравнений (5.40) примет вид: Умножим на л/ш правую и левую части выражений для а, /3 и перейдем к пределу в полученных равенствах при из — оо.
Пример 2 (Случай, описываемый схемой 1.2. Доказательство теорем 2.4, 2.5 для этого случая)
Актуальность темы. Математические модели распространения сигнала в передаточных линиях и возникновения в них вынужденных колебаний изучались различными авторами (см.[9],[29] и имеющуюся там библиографию). При этом передаточные линии имеют как правило вид, определенный схемами, представленными на рисунках 1.1 и 1.2. Случай l.Ha левом конце схемы (см. 1.1) находится вход (входным сигналом является функция E(t)), на правом конце находится нелинейность с вольтамперной характеристикой, задаваемой функцией д класса С1, действующей из R1 в Я1. Параллельно этой нелинейности стоит конденсатор емкости Сі. Случай 2.На левом конце схемы (см. 1.2)находится вход (входным сигналом является E{t)), на правом конце находится нелинейность с ампервольтной характеристикой, задаваемой функцией д класса С1, действующей из R1 в R1. Последовательно этой нелинейности стоит катушка индуктивности L\. Здесь входным сигналом является напряжение E(t). Естественно считать, что входной сигнал "зашумлен". В качестве математической модели шума при изучении обыкновенных стохастических уравнений М.А.Красносельский и А.В.Покровский (см. [14]) предложили рассматривать функции, у которых вторая вариация относительно некоторой фиксированной последовательности разбиений равна константе. Такая модель позволяла заметить "стохастические" эффекты, используя методы детерминистского анализа. Наиболее простой вид последовательности функций с постоянной второй вариацией дает последовательность п п2 рассматриваемая на отрезке [0,7г] с разбиением S = {Л„}, задаваемыми точками « = ( : і = 1,2,...,2712}. Покажем, что ее вторая вариация равна константе. Вычислим квадратичную вариацию последовательности функций 1.1 на промежутке [0,тг]: Естественным поэтому является вопрос, приводятся ли такого типа возмущения входного сигнала Е в моделях схем 1.1 и 1.2 к эффектам, отмеченным М.А.Красносельским и А.В.Покровским. В диссертации рассматривались сигналы вида в начальной задаче и в задаче о вынужденных колебаниях, где е - периодическая функция и амплитуда периодического "шума" обратно пропорциональна корню квадратному из частоты.
Последовательность (1.1) является частным случаем такого шума, После стандартного сведения указанных задач к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве Е = L2 х L2 х R1 эти уравнения имеют вид для начальной задачи и для задачи о периодическом решении, е0 - некоторый вектор из пространства Е. Начальное условие для уравнения (1.4) имеет вид Эти решения в отличие от работ [9], [29] не могут быть проанализированы стандартным методом принципа усреднения Н.Н.Боголюбова-Н.М.Крылова, т.к. в этих работах уравнение имеет вид Различные варианты принципа усреднения для таких уравнений или уравнений подобного типа, исследовались в [3],[4], [5], [6], [15], [16], [17], [26], [29]. Поэтому актуальной является задача разработки методов исследования уравнений (1.4), (1.5) для ответа на вопрос о влиянии описанного выше шума на поведение ее решений. Подобная задача изучалась в работе S.S.Ceron, О.Lopes (см. [25]). Результатами этой работы были условия, накладываемые на распределенные параметры (индуктивность, емкость, активное сопротивление, коэффициент утечки). Цель работы. Получить условия, при выполнении которых гарантируется близость решений уравнения (1.4) для задачи Коши к решениям усредненного уравнения. Также получить условия, при выполнении которых, существуют решения уравнения (1.5) в задаче о вынужденных колебаниях и эти решения устойчивы. Методика исследования. Использовались методы исследования, основанные на теории топологического индекса, на теории вращения уплотняющих векторных полей, методы функционального анализа, спектральной теории операторов в банаховом пространстве. Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. В числе их отметим следующие: если среднее быстро осциллирующего слагаемого равно нулю, то, несмотря на разницу порядков малого параметра перед быстро осциллирующими членами, в начальной задаче на конечном отрезке и в задаче о вынужденных пери- одических колебаниях этой составляющей можно пренебречь. При этом близость решений в задаче Коши гарантируется на промежутке порядка частоты. Практическая и теоретическая значимость. Основные результаты носят теоретический характер. Результаты могут быть применены при исследовании передаточных линий. Апробация работы и публикации. Основные результаты опубликованы в работах [10], [21) - [24] и являются новыми. Из совместной работы [10] в диссертационную работу вошли только принадлежащие автору результаты. Они докладывались на Воронежских весенних математических школах в 2000, 2002 и 2004 года, па семинаре проф. Покорного Ю.В. при Воронежском гос.университете в 2003 году, на семинаре проф. Садовского Б.Н. при Воронежском гос.университете в 2004 году. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, двух примеров и списка литературы. Объем диссертации 92 страницы. Библиография содержит 30 наименований.
Текст иллюстрируют два рисунка. Автор диссертации благодарит за постановку задачи и помощь в написании диссертации научного руководителя профессора Каменского Михаила Игоревича. Формулировка основных результатов работы. Усредненное уравнение для уравнения (1.4) в задаче Коши имеет вид с начальным условием (1.6). В уравнении (2.1) функция /0 определяется формулой Для удобства ссылок нам потребуется уравнение (2.1) при є = 1, те. Аналогично задаче Коши рассматривается усредненное уравнение для задачи о вынужденных колебаниях Для удобства ссылок нам потребуется уравнение (2.4) при є = 1, т.е. уравнение вида Сформулируем основные результаты работы. Теорема 2.1 Пусть выполнены следующие условия; А\). Функция f(t,r,u) - периодична по первым двум переменным, непрерывна по совокупности переменных и ограничена на ограниченных множествах. Аг). Оператор —А порождает сильно непрерывную полугруппу e At. A3). Резольвента оператора —А на некотором векторе е0 Є Е обладает свойством: где г мнимая единица. Aj)- Функция B(t)e0 имеет разложение в ряд Фурье с коэффициентами Сп такими, что CQ — 0 и ряд —= сходится. А5). Выполнено неравенство где х - мера некомпактности Хаусдорфа (CM.[9J), к - константа, Q - ограниченное множество. А&). Задача (2.3), (1.6) имеет единственное решение и на отрезке [0, б!]. Тогда задача (1.4), (1-6) имеет решение и на отрезке [О,d/є2} и выполнено соотношение Заметим, что без ограничения общности всегда можно предположить, что полу- группа е л удовлетворяет оценке где 5 0. В противном случае в правой части уравнения (2.3) нужно вычесть и прибавить член є2Ми с достаточно большой положительной константой М и взять в качестве —А оператор —А — Ml, а в качестве нелинейности f(t, и) + Ми. Теорема 2.2 Пусть выполнены условия Л2)-А4) Теоремы 2.1. Пусть также выполняются дополнительные условия: В\). Функция f{t,u) - периодична по первой переменной, непрерывна по совокупности переменных и ограничена на ограниченных множествах. В2). Выполнено неравенство где х - мера некомпактности Хаусдорфа (см.[9]); к - константа, Q - ограниченное множество. В%). Для любой ограниченной последовательности {уп} и {tn} : tn —$ t0 выполнено неравенство: где а - положительная константа, удовлетворяющая неравенству - 1. ВІ). и - изолированная неподвижная точка оператора Л_1/0. В$). Индекс неподвижной точки и оператора Л_1/0 отличен от нуля: Тогда каждому заданному г 0 соответствует такое є О, что при є Є (0,о) задача (1-5) имеет по крайней мере одно Т-периодическое решение к(,), для которого справедлива оценка.
