Введение к работе
Актуальность теш. Многие задачи физики управляемых систем и математической биологии могут быть представлены в виде краевых ладчч для дифференциально-операторішх уравнений перю-ю и второго порядка в абстрактных пространствах
шл) Ы[$> ^ АиЦ), 0^-4: 4Т , Те Со; too],
(0.2)
feu"(t) = Аий, ОіЬт, те(о-(+оо;!,
что позволяет исследовать их общими методами. Особое место среди этих пэдзч занимает задача Коши
(8К) и'Ю- /\u(V>, і»о,
1(.(0)= г.
с ллнейнкм вашнутым оператором Д , действующим в банаховой пространстве Е . Связанная с зачачей (ЭК) теория полугрупп линейных операторов применяется в исследовании гздачзі Кони для уравнеж'й второго и выеккто порядков, а таске, задач с более оЗДми граничными условиями.
Можно выделить два подхода к исследованию (GK), не являющейся равномерно корректной на ^(A") - области определения оператора А . Один состоит а рассмотрении зтсії задачи в пространствах абстрактных распределений (J.-L.l.io^s,XChaiftRaiN и лр.) и получении обобщенных решений задачи для произвольных начаиннх "качений из Е . Второй (теория интегрированных полугрупп) является обобщением теории сильно непрерывных полугрупп. Он состоит в построении классических решений задачи на более узких классах начальных значений, чем (A)(W.AeeJddfc, F.tieuHubidee.^ A/. Taucika, fJ.Okutaua и др.). Вызывает интерес вопрос о связи меаду этими двуыя подходами. Частично он бил исследован л/.Тал oka и /V. Okawiwa . Исследованию этого вопроса поспящона первая глава.диссертации.
Ро гторой главе рассматривается задача Коши для уравнения первого порядка с вырожденным оператором при производной
(взк) ^=Autr>,i>o?
где А и Ь - линейные операторы, действующие из банахова пространства X. п банахово пространство F_ , А замкнутий, В ограни'їлгннй с Kecft 4- \с) Задача (ВЗК) в различных постановках привлекала внимание многих исследователей. Отметим одесь работы С.Г.Крейна, С.Н.Зубовой, К.й.Чериышова, Н.Л.Сидорова, О.А.Романовой, С.Г.Свиридтка, F,A/eu6eav<-{«c'a> A .Pcvc*/; . В работах названных авторов достаточно полно исследован случаи, когда на операторы А и Ь наложены условия, которые в случае обратимости Ь влекут за собой ограниченность оператора Р ^. Особенно подробно изучен случай, когда Ь- фредголь-мов оператор. До сих пор менее полно был изучен случай, когда условия на А и ft не гарантируют ограниченности Ь'д в случае обратимости Ё> , в частности, не было получено необходимое и достаточное условие равномерной корректности задачи. Третья глава посвящена некоторым вопросам, связанным с решением некорректных задач Коши (ЗК) и
*.'(<» = }f* методами регуляризадаи. Первый из них - свойство Маслова (свойство эквивалентности существования решения задачи и сводимости регуляризущего алгоритма), являющееся ванной, характеристикой регуляризуюшдх алгоритмов. Второй - численная реализация метода "краевых задач" - для (ЗК) и (ЗК1) на модельных примерах обратной задачи Коши для уравнения теплопроводности и задачи Коти для уравнения Лапласа. Предложен алгоритм, позволяющий снижать затраты машинных ресурсов при численной реализации этого метода на ЭВМ.
Целью работы является: 1) исследование связи между корректностью задачи Коши (ЗК) в пространствах абстрактных распределений и порождением оператором интегрированных полугрупп; 2) исследование корректности задачи Коши (ВЗК); 3) изучение свойств и вопросов практического использования ре-гуляриоующих алгоритмов для (ЗК) и (ЗК1).
'I
ЕЩулшая новизна,- Впервые, благодаря использованию структурних .теорем для пространств абстрактних распределении, уста-.ловлена-конструктивная связь между интегрированными полугруппами и обобщенными,решениями задачи Коти (ЗК).
Обобщение .данятия YL раз интегрированной полугруппы на вырожденный случай позволила получить необходимое и достаточной условие равномерной корректности вырожденкой задачи Коши (ВПК) на максимальном множестве корректности и получить достаточные условия разрешимости задачи на более узісих массах начальных значений.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в том, что полученные в ней результати позволяют с единой точки зрения взглянуть на разные- подходи к исследованию (ЯК), не являющейся равномерно корректной. Важным теоретическим аспектом работы является конструктивный характер доказательства связи меаду интегрированными полугруппами, и обобщенными решениями, что, как представляется, проясняет смисл понятия интегрированной полугруппы.
Применение.идей теории интегрированных полугрупп к нзуче-.нию задачи -(ГОК) позволило полностью исследовать вопрос о рав-.номерной-корректности згой задачи, а именно: изучить структуру [множества.корректности аадачи, получить условие равномерной корректности (ВЗК) на некотором подмножестве пространства , выделить максимальное множество корректности и получить необходимое и достаточное условие равномерной корректности задачи на этом множестве.
Практическая ценность работы состоит в том, что предложенный в ней алгоритм численного решения некорректной задачи Коши для уравнения второго порядка позволяет свести возникающую при регуляризации нестандартную разностную задачу, требующую при ее решении на ЭВМ значительных машинных ресурсоз, к серии более простых и хорошо изученных задач.
Апробация работы. Результаты диссертации-докладывались и обсуждались на семинаре каЛедры математического анализа и теории функций УрГУ, на Воронежской весенней математической школе 1993 г. "Понтрягинские чтения", на международной конференции "Некорректные задачи в естественных науках" Москва, 1991 г. Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1.1-L6]. - '
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит иа введения и трех глав, изложенных на 105 страницах машинописного текста. Список литературы включает 66 наименований.
Похожие диссертации на Некоторые вопросы корректности абстрактной задачи Коши первого порядка в банаховом пространстве
