Некоторые вопросы теории оптимального управления в системах с запаздывающими аргументами при наличии ограничений Гулиев Вагиф Юнис оглы

Содержание к диссертации

Введение

I. Об особых управлениях в системах с аргументом и запаздыванием.в.управлении 23

1.1. Постановка задачи 23

1.2. Уравнение в вариациях 25;

1.3. Формула приращения функционала 29

1.4. Необходимые условия особых управлений 30

2. Об оптимальных процессах, описываемых уравнениями с отклоняющимся аргументом и ограничениями . 39

2.1. Постановка задачи 39

2.2. Принцип максимума 42

2.3. Особое управление 46

3. Необходимые условия оптимальности в системах с ограничениями на конце траектории .51

3.1. Постановка задачи 51

3.2. Приращение управления и траектории 52

3.3. Формула приращения 57

3.4. Необходимые условия первого порядка 61

3.5. Особые управления 67

3.6. Особая экстремаль 72

4. О существовании оптимальных управлений в системах с запаздыващим аргументом и запаздыванием в управлении ... 77

4.1. Постановка задачи 77

4.2. Вспомогательные факты 78

4.3. Существование решения задачи Больца 83

4.4. Индивидуальная теорема существования оптимального управления в терминальной задаче 90

4.5. Индивидуальная теорема существования, доказанная на основе метода приращений 97

Литература 109

• Необходимые условия особых управлений
• Необходимые условия оптимальности в системах с ограничениями на конце траектории
• Необходимые условия первого порядка
• Индивидуальная теорема существования оптимального управления в терминальной задаче

Введение к работе

Исторически постановка задач оптимального управления родилась из стремления учесть различного рода ограничивающие условия, наложенные на управляющие воздействия и координаты системы движения, которые описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Основная математическая теория для решения этого класса задач создана в середине пятидесятых годов и получила название теория оптимального управления. Выдающуюся роль сыграл в этом "принцип максимума" Л.С.Понтрягина [71]. Отметим, что принцип максимума является необходимым условием оптимальности первого порядка. Принцип максимума в некоторых случаях на некоторых интервалах изменения по времени выполняется тождественно. Такие случаи, следуя Л.И.Розоноэру[74] , называют особыми, а соответствующий процесс - особым процессом. К настоящему времени теория необходимых условий оптимальности особых управлений в обыкновенных динамических системах разработана достаточно полно (см.напр.[19, 20,25]и др.),.

В самых разнообразных областях науки и техники, таких как автоматика и телемеханика, радионавигация, биология, медицина, экономика и ряда других, часто встречаются процессы с последействием, которые описываются дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом. Поэтому исследование задач оптимального управления системами с последействием имеет большое практическое и теоретическое значение (см.напр. [10,19,45,53,70,73,75,83-8 88] и др.).

BI96I году принцип максимума Л.С.Понтрягина[7lJ был перенесен Г.Л.ХаратишвилиІ82] на задачи управления, описываемые обыкно-

венными дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. В дальнейшем проблема необходимых условий оптимальности первого порядка в различных системах с последействием была исследована в работах[з,17,Щ 27,46,52,62,83,104] и др. Обзор этих и других результатов имеется в работах[19,25,52] и др.

Изучению необходимых условий второго порядка для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и систем с запаздывающим аргументом в настоящее время посвящено большое число работ и получены важные результаты (см.напр.[2,7,20,35-38,50,58,59,63-65, 76,90]). Анализ и обзор статей по теории необходимых условий оптимальности второго порядка в обыкновенных динамических системах и в системах с запаздыванием имеются, например, в работах[20,24, 25] и др.

Большое теоретическое и прикладное значение имеют задачи оптимального управления с различными фазовыми и функциональными ограничениями. Впервые принцип максимума Понтрягина на задачи с фазовыми ограничениями был распространен Р.В.Гамкрелидзе[29]. В дальнейшем задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями при помощи различных подходов изучались в работах А.Я.Ду-бовицкого и А.А.Милютина[47,48], М.Р.Хестенса[і05], Л.Нойштадта [і09] , Р.В.Гамкрелидзе[29], В.Г.Болтянского [э] и др.

В последние годы начато интенсивно изучение вопросов, связанных с получением необходимых условий оптимальности в различных системах управления с фазовыми ограничениями как в обыкновенных динамических системах, так и в некоторых системах с запаздыванием. Отметим работы f1,2,40,41,44,47,48,54,55,60,72,77, 95,98,99] и др.

Встречаются процессы, известные в экономике и в сложных

производственных установках, на которые управления воздействуют по многим каналам и со многими запаздываниями. Такие процессы описываются системой дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и запаздыванием в управлении. Примером такого процесса является работа двух гидроэлектростанций, расположенных вдоль одной реки и питающих совместно с тепловыми электростанциями общую энергетическую сеть[іб]. В работах [16,21,99J и др. получены необходимые условия оптимальности первого порядка задачи оптимального управления для процессов, описываемых системами с запаздывающим аргументом и запаздыванием в управлении.

В качественной теории оптимальных процессов, наряду с теорией необходимых условий оптимальности, важное место занимают вопросы, связанные с существованием решений в задачах оптимального управления. Это важно для обоснования корректности математической модели реального процесса и для нахождения решения, основанных на использовании необходимых условий оптимальности.

Для линейной системы первые теоремы существования оптимальных управлений получены в работах Е.В.Гамкрелидзв[Зі], Р.Беллман и др.[її]. Для нелинейной системы общая теорема существования оптимального управления в задаче на быстродействие в классе измеримых управляющих функций при предположении о выпуклости множества допустимых скоростей системы получены в работе[8lJ А.Ф.Филиппова.

В дальнейшем проблема существования оптимального управления развивается и распространяется на различные задачи, описываемые как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и системами с запаздыванием (см.напр. [Ї2,ІЗ,15,18,23,28,42,43,51,56,69,71,87, 100-102,109] и др.).

В работах[78-80, 108] доказаны некоторые теоремы существова-

ния решений в нелинейных задачах управления с запаздыванием как в фазовых координатах, так и в управлении. В этих работах обобщается лемма Филиппова и применяется при доказательстве, теоремы существования. Приведенный пример Т.А.Тадумадзе[80] показывает, что результаты, полученные в работе[I08J, не верны.

Основной целью настоящей диссертации является получение необходимых условий оптимальности первого и второго порядков для систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающими аргументами и с запаздыванием в управлении при наличии ограничений. Далее, в диссертации изучается существование оптимального управления в различных системах с запаздыванием как в фазовых координатах, так и в управлении.

Диссертация состоит из четырех параграфов.

В I рассматривается процесс управления, описываемый дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом и запаздыванием в управлении:

удовлетворяющим условиям

ХСІ) = (fd) , ttCb>tt)>t7 ,

где X - % - мерные вектор-функ-

ции; tilt) _ч \(b-t - мерные вектор-функции; скалярная функция.

Управление Utf) назовем допустимым: если оно кусочно-непрерывно и кусочно-дифференцируемо и принимает значения из заданного множества У в Я.

Требуется среди всех допустимых управлений найти такое,

чтобы соответствующее ему решение задачи (1)-(2) давало минимум

функционалу

J(U) = ф(хсЬ)) _f (3)

где <р(х)~ скалярная функция.

В этом параграфе получены необходимые условия второго порядка для управления, имеющего особые точки. В отличии от традиционной формы, здесь второе сопряженное уравнение взято в векторной форме. Используя последовательное применение вариаций для управления, имеющего две различные особые точки, получены три условия. Третье условие существенно усиливает первые два условия в том смысле, что при выполнении первых двух условий это условие может не выполнятся.

Пусть допустимое управление Ц(Ь удовлетворяет условию максимума:

mcLx[H(i, хсі)> усі), и,₉ггсН,yd)) + -hi(bHCcrt), хам;,уші», uctrtj, и, 4>(i(4»)}=. - f/ГІ x(h_t yd;, ted), w*), yth) +

+ ІІІ) Hfr<+)> х<гЫ1),уа<4/, ti(t(4i)_y bCtUlJ, и множество Q.№)^c U , на котором достигается максимум выражения

+iхсгсщ уа<», исгт), w_} усип))

включает в себе более одного элемента, тогда точку Te[t_e,ti] на-

зовем особой. Здесь

Hit, х ф "" ^ь> ⁼ У'№'^х' У' "' ^ь)'-> У^[і)=x(Mi'^)j

- является решением сопряженной задачи

ф(Ь = - H_x(t*db рЪ,и(Ь> wbtfd))-

- id)Ну (s, xcsj,ycs_)}u,ts)_}^(sj^cs^^Mit,]

<№ = - <*<«>;; ⁽⁴⁾

t(t) - обратная функция к tod) при cO(to) t± &dj) _и t(i)-t± при tytO(t₁)_j (штрих) - означает транспонирование. Сформулируем теорему, в которой получены необходимые условия оптимальности второго порядка для управления, имеющего особую точку.

ТЕОРЕМА I.I. Пусть lid) оптимальное управление, - особая точка этого управления. Тогда необходимо выполнение неравенства

(5)

здесь

+ і(Г)Х(і(*г»Д%Н_л№), (6)

sb(h-%. (і; ?>"?)> л &=* (U ?, v)

решения систем

І сі) = - H_fx (hzd) - Ы)Н_п №*))№&) -
~Ы)Н_ухШМ1<*»_? Uti.JJ\luxrj₉r, гсЩ _} (?)

удовлетворяющих условиям

idt) = - ф_хх (х(Ъ)ШЪ)> ia«))~Z(t(r+c»)+

(com) = ZccJcKv) Л%С), Mho, *>Cto)±i^,

A*f({) =: 0, xrt),yd)>ur_t 7r(t))-f({, xcthyd), ШЦ wt>l A*frf) ~f( violet), иЫ). Щ-fii,xtt), ifrt/, и(*)₉Ш)₉...

Далее, для управления, имеющего две различные особые точки, получены следующие необходимые условия.

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть 11(4) оптимальное управление, ^jO^C4o_?t±] особые точки. Тогда выполняются условия

&(>№) *zO , СЬ(0,2Є) 4:0 , (Ю)

для всех W є JX Сс) ₉ Ж l<&) ,

^где і (Z.-ur; в> дб) = Я (?, ш;в₃Ж) - Я (Г,и>сО; О, ъ)+

+ Ц('с_уЫ,С⁽С)\&₎исО))-Я(Г_>Ш^в_>и,(&));

+%'(h ?; w)Hx rf> ж*), yet), и,, b(t)> №) +

+Yfa&s KvrJt/z, (геи, жъ<4))_уусъш), и(г(*));и,ф(Ш)))+ + J/rt;^иг)НуСгФ, хсъ&ъ^шу, шь(*о₉и.₃))) +

І rf; ЗД = grf; Г, иг) - IV/; Г, cccTj) ,

Очевидно, что условия (10) являются необходимыми условиями оптимальности управления второго порядка. Условие (II) является дополнительным и усиливает (10), точнее говоря, (II) действует и в том случае, когда условие (10) вырождается

Приведен иллюстрирующий пример.

2 посвящен получению необходимых условий оптимальности первого и второго порядков для процессов, описываемых дифференциальными уравнениями вида

dbd) -f(-t, <*Ы>, эс(сдс))_э ееct))₀ tetto, t_JJ_> ^(I3)

с начальным условием

- II -

X(^r)=(f(h, UE_io , (.14)

и при наличии ограничений

(i,xt-t),жсоШ),и.Ш)=о _> $-Ijc ., (іс^г) . (15)

где X(tj - 7Ь - мерная вектор-функция, определяющая состояние системы.

Измеримую вектор-функцию ист) назовем допустимым управлением, если существует абсолютно непрерывное решение Xli) задачи (13)-(14) на [io_yi±] и выполняются ограничения (.19.

Требуется найти условия, выделяющие среди всех допустимых управлений те , на которых функционал

ftu.) = ф(х(ЬЛ + //7/, _j ultyctt (де

принимает наименьшее значение.

Обозначим через ^ = ^Ы^,^,и) минор порядка 16 матрицы

2^

/»

^{рг1'г К*<*,**.И. ..^,-..^}

/

(17)

отличный от нуля в окрестности точки (i,X-,$, и,} ; I - множест
во индексов р , которое совпадает с номерами столбцов матрицы
(17), входящих в минор Я5 ; &. , &. - определители, обра-
зованные из ^ заменой У - го столбца векторами (L ,.../. )
(Lu > ; - > ^) соответственно , ^ = ^2 ,..., s^'

&i-z(&y_f >.->&)',/&,Е&^х#)~ множество всех ССеК^г , которые удовлетворяют условию L (t>^x> і, U) — О у і)- і,ІС_щ

Для допустимого управления 1Л/(ъ) и соответствующего ему решения ХІЇ) системы (13)-(14) определим вектор-функцию ty(i) как решение системы

ЦІЇ) = - Н_а (t,xt4), у(*)> *(*)№)) +

J-et

(18)

Wl) = - ф_л(*Иі>) , (19)

Мії) ~Н_ь(+>*%<*)>&&><&)>

^( и Лі)

60" (СіЛі) - прообраз множества [і,{] при отображении сО:[т₀іїі]"-*

Необходимое условие оптимальности первого порядка сформулировано в виде следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть t6rfj,^^e>^i] оптимальное управление, Х(4) и уІЇ) соответствующие ему решения задач (13),(14) и (18) (19) соответственно. Тогда почти при всех ІбЙоДі] выполняется условие максимума

- ІЗ -

H(t,xd)_} усі), ltd), fd)) =

и.ЄЕ(+,-ХШ,цШ) *

Далее, в этом параграфе для особого оптимального управления получены необходимые условия.

В 3 рассматривается задача минимизации функционала

% CU,) - ф₀ (X(t_x)) (20)

при ограничениях

Itii)-^(i) , t.[b)tto),t₀) _f (21)

ф (xiit)) $0 , --IjF> .

Кусочно-непрерывная fc - мерная вектор-функция tt(t)c1fCK _, i[ic,tx] называется допустимой, если соответствующая ей траектория X(i) удовлетворяет условиям

ф_е (xttt)) ±.0 , 4*їГр . ⁽²²⁾

В данном параграфе доказаны различные необходимые условия оптимальности первого порядка. На основании полученных условий дается определение особого управления и особой экстремали. Для особого управления и особой экстремали получены необходимые условия оптимальности.

Возмущенное управление Ц(ъ)о, параметрами О: ,tt/,f._t L-^ AT p определим следующим образом

ці , tttW+iy,

Mw⁼1 _M (23)

lid) > UltoM\ U[$$+*%),

где u/tV ; QjtCioJi) ,i₀ ^O_t ^^.. .^^4; - произвольные неотрицательные числа /~1>М ; >0 достаточно малое число такое, что полуинтервалы [Of _t & +Ї-) не пересекаются и

Соответствующее этим вариациям приращение функционала представимо в виде

1_с(и,(Ь)-"/₍Шс1>)^г5% + **У<+оге*), 4=%р_г ⁽²⁴⁾

где 0 Ус и О У^ первая и вторая вариации функционала se :

S% = - $ И^Нм+А^ЪпъФу!, us??, (25)

i'± *=* (26.)

(Выражение le см.стр. 61 , формула (3.25)).

Используя полученные формулы (24), доказана следующая ТЕОРЕМА 3.1. Пусть OoU) оптимальное управление в задаче (20)-(21), а - решение системы (20)-(21), соответствующее этому управлению. Тогда необходимо, чтобы существовали не все

равные нулю неотрицательные числа Л_0эЛ±,--^^р такие, что неравенство

? М _г

⁺V Н(ЩК^хсЩЧУ^сш/»Л(ь (ЩШ4р)$Щ1))(%)] <о ⁽²⁷⁾

было справедливо для всех в^є[{_0?іі)^ U^Clf, 7:^0^ l~^₃M , где

fy(i) = -Х(К Іі)ф^ (Ъ(Ь)) , (28)

H_t U) = H(i, 3cU)₃^U)₉ и (-6), ггсн, !%c*/) =

Дяя оптимальной пары (&Ш₉ эьЫ)) введем обозначения 1-(: 'ф/я&))-0,&Щ.№я простоты будем считать, что/=/*,3.,...^1. Кроме того, положим I~{o}UIxlo,i._t..._?jtj .

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть (1^(4)₉хЫ))оптимальная пара задачи (20)-(21). Тогда необходимо, чтобы неравенство М

*н ZT її їй. jЩ, *<%)>у*/)₉Щ),ьс*у,%(ty) +

выполнялось для всех &jti_0iti) „ц/eV , ії:>,0 _tJ-ijM , где %&)ШЦопределяются из формул (.28), (29) соответственно.

На основании полученных необходимых условий первого порядка определяется особое управление и для особого управления доказаны

две теоремы. Одной из этих теорем является

ТЕОРЕМ 3.4. Пусть 11(4) оптимальное управление, xd) - соответствующая ему траектория и ^„(хЫ^ — О для

Тогда неравенство

+ и^Щ) Me^jM^))^/ct^j^_s) + ^(3I)

выполняется для всех Oj o_yi±) ₉U^V₉ fc>fO yf-ЇСм таких, что

*« і: qLfaHtty+fyWwjittypo ⁽³²>

где определены формулами (28),(29) и

( (3.22), стр. SO. ).

Управление II (і) назовем особой экстремалью на отрезке

, если удовлетворяет условию (30) и выполняется равенство

Ш1П/ Lu^H^) + &иН_е&(-))Ы)]=0 (33)

при^(Г , U& , тдеЛсУ, П\И(Ь*К

ТЕОРЕМА. 3.5. Пусть (1(4) является особой экстремалью на от
резке Тогда необходимо, чтобы неравенство

yubjlLZ s Q<*jMfr';ъ,и-\ гг*) -+

+ Z-lL%r_s Q(b, u^&, Ъ^ь; $, и*', Ъ>)} б a (з*>

- 17 -выполнялось для всех ej^utt^y U/є-З. odj>/0^j-i,M таких, что

ft fi ^Ji ^[A"^{j Hi(Si)} +^й*^н< '"V^'fl ^>0> ⁽³⁵⁾

где через Ij - обозначено максимальное подмножество из I , обладающее свойством й_ш И_г(^) + Д^.И_е (tі-0)і(4)~о, &І,и.L₉ it.?. Приведены иллюстрирующие примеры.

Последний параграф посвящен исследованию проблемы существования оптимального управления в системах с запаздыванием по состоянию и в управлении.

Пусть управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и запаздыванием в управлении

xch -j(t,_tb(h)jGT=[i_0ii_dJ, (36)

с начальными условиями

х(Ь-<4)₉ ete*(to)>to),-xcto)^oc₀> ₍₃₇₎

асі) = 5сі), ІеСЩІо),t) ,

где UC-t)zzoe»(e^_lci))\ и(т)- Ъ - мерная управляющая вектор-функция;

- заданная непрерывная %,- мерная вектор-функция; ^/^-'fc - мерная измеримая вектор-функция.

Допустимым управлением будем считать произвольную измеримую вектор-функцию W(i) со значениями в V(i) .

Множество V(tJ полунепрерывно сверху относительно включения
и при каждом компактно в д . Отметим, что ЪСъ)

также искомое управление. Пару вектор-функций (UtfJ^Xtfj) _{f где} CC(t) - допустимое управление, сь(т) - соответствующее решение задачи (36)-(37) назовем процессом.

На множестве процессов рассмотрим задачу минимизации функ
ционала /

У(и.) - ф(хсЬ)) -р/j.(-t,X(t),Lf(i),&(t),2r(b)d (38)

+ О о

где ф , 4- - заданные функции.

В этом параграфе при различных ограничениях на данные задачи доказаны различные теоремы существования оптимального управления. Для доказательства некоторых теорем используются необходимые условия оптимальности расширенной задачи. Это, в свою очередь, дает возможность расширить класс задач, для которых удается установить существование решения.

Сначала доказываются две вспомогательные леммы.

ЛЕММА I. Пусть (f(i)~o , вектор-функция /(і, с,#и,, &) непрерывна и существуют положительные постоянные Л , В такие, что

для ієТ, ІІ.ЬеїГ , ІІХ.ІІ f; l/y//f> _} где If - замкнутое множество в ^ такое, что

Тогда каждому допустимому управлению И соответ-

ствует абсолютно непрерывное решение X(w , определенное на 7⁷ и

удовлетворяющее УСЛОВИЮ HX(blle:f>i~teT.

Обозначим через *Сі(4) обратную функцию С^і(і)щж Єуй^сі₀)г.^ ± tyddvi *С;(&- 4 при t>Cd.(b), C-4₉l.

Определим натуральное число JV из условия ^ (^о)^-Іх^%з *ІЇ_С)

- 19 -ЛЕММА 2. Пусть выполнены условия леммы I и множество

Qrt, >> jf) = {(С &*, -;W:^L'= іі^/ґф^х^,

выпукло для ic [Іо^ебої] , X^c\^eR^ » L~oJaT , где

Тогда множество решений задачи (16)-(17) компактно в
где пространство непрерывных % - мерных вектор-

функций на Положим

L-o ^и

fc-6) = Vc*>zLb)*vc*)x...^%^^^ ^7 .

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть:

^ Ф / » / ~ непрерывны при fe7 , cceRⁿ_t ye Rⁿ ,

2. множество допустимых управлений непусто,

3. множество решений Х(4), соответствующее множеству допустимых управлений равномерно ограничено,

4. функция f?{r,jfiZj выпукло по % .

Тогда в задаче (36)-(38) существует оптимальное управление. Далее, получены критерии выпуклости nojfc функции ^гД|/₍ Вторая часть этого параграфа посвящена доказательству индивидуальной теоремы существования оптимального управления в терми-

нальной задаче. При доказательстве этой теоремы используется необходимое условие оптимальности расширенной задачи.

Расширенную задачу назовем задачей миншлизации функционала
J(Q) - ф (oLdi)) (39)

при условиях

x(t^L(h)~2Z oijhbjtri/ftfcij, хсфо, №&)), (40) tlk U), Ue'cty, * = *7>, і [Іо, ^do)J_}

0(-6)=faetb, u"Jc4), uirfj,.. _v utfs} ,

-tttkjtid*)], K=z o> cV+i№ . (42)

Управлением расширенной задачи является измеримая функция

определенная на [to^ctofl* принимающая значения из множества Qi(hj^^o,^tlg где

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть для некоторого оптимального процесса (б*Ы)₉ сс*Ы>Х -i- [4₀, kjrfo)] расширенной задачи множество

г^с= iirt)fivj(4 &&&>),^аіс*і),и^с, и*-*),

I- оГаГ, Си'*, IL_? . . . , и^)& М*Ы)}
выпукло,здесь jf

К*(.ф))_? fCcfo)), P*Ctitt))> bL^L,и}'¹) =

/[Г

р (г) - решения сопряженной расширенной задачи.

Тогда в задаче (36)-(38) (-f₀-o) существует оптимальное управление .

В последней части данного параграфа рассматривается задача минимизации функционала

У(и) = ф (хЫ±) ₉ Я_п &)) С43)

при условиях

_{&Ъ(Ш(&+В>( и.*), Ь(Щ(М(Ь ш4), vtf))}

(44)

xj) Ц_п (і art), *_H(4)₉y(ty &с*)П#, (l иЫ)₉ 2гЫ?)₉ кТ х (-І) =. (f(H, я„ d) = і), Н №&), 47,

(45)

№),$$- скалярные функции; fatf)-„(№).

Для этой задачи вычисляется приращение функционала соответствующей расширенной задачи. На основании полученной формулы приращения доказана

ТЕОРЕМА 4.4. Пусть (9W), 0&4)₉Х*Ы>) оптимальное решение расширенной задачи, (р (w_? f'(z)) - решение сопряженной системы соответствующее. Далее, пусть функция ф(х_>Х_У})вогнута л.о(х_%х^)уі множество

+ ?*'(К+*С4)) І ^Ш(4) д(1¹'"СИ, U«', [I^і), * = 5^Г,

выпукло и выполняется одно из следующих трех групп условий:

П. ^(.%*(h)_?X*ih))>0 , функция /_iff(iX,Х_НіЩ\- вогнута по (x,x_Hj,M и f ІЇ,Х*^)>х№),уЩу*ф) >,о при

Ш. ф^(**(Ь)₉Х%(Ь))±0 , Функция Ж„&Х>х#,УМ - выпукло Soto^jw и $„^,хЪЬ,я№),Щ;/*сЬ)±о

При tedoj LdctlJ]

L-o

= w«x г (Р*&ЧУ)[А(Ы), if. Ъ^С~*)Х*(ЪК)) +

Vt-i) i-o

+ 6 (гч4>, if, Tf'^ivm) -< Д^л &<,' гг'Ч!7⁺ + рсс¹<Щ_м(№),г!,гг^ы))} .

Тогда в задаче (43),(4(4),(45) существует оптимальное управление. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений АТУ им.С.М.Кирова в 1978-1984гг. и кафедры высшей математики АзПИ им.Ч.Ильдры-ма в I98I-I984гг., на I Республиканской конференции молодых ученых по прикладной математике и кибернетике (ИК АН Азерб.ССР, Баку) в 1982г., Республиканской школе-семинаре молодых ученых по прикладной математике и кибернетике (ИК АН Азерб.ССР, Баку) в 1984г., научно-теоретической конференции "Прикладные задачи анализа" (Кировабад) в 1984а

Необходимые условия особых управлений

Тогда допустимым управлением считается любое измеримое уп равление которое в каждой точке tetto, J при надлежит множеству Е(,хс) у(- ))С ft 1 , где vcCrj является ре шением задачи (2.2)-(2,3), соответствующее управлению tt(t) ; yU)- Х(сйЫ)). Пусть Т интервал, содержащий отрезок времени [to i] , fcTxR R xR множество всех точек ( , -3 ) » удовлетворяющих системе (2.5), а Г Г открытое множество в TxR xR11 R . Предполагается, что: 1) % - мерная вектор-функция (f(r) непрерывна на началь ном множестве Ef ; 2) u ii) - измеримая функция на [ho xj такая, что u3([Mri!)C Ldyil и VMS tO"1 ) -о для любого множества меры нуль, Q с Сси,3 ; 3) % мерная вектор-функция fdo%0y,&) и функции /(1,X, у,It) iLii U) )-$ d0VL определены и непрерывны в области Г и имеют непрерывные производные по ас , Ч , W, , а функция Ф(&) непрерывна в $Л и имеет непрерывное производное; 4) ранг матрицы /Iі rl л і IL \ - 41 -в каждой точке (с,%3у,11 )Г равен JC .

Обозначим через $= ЪС4, % ) минор порядка # матрицы (2.6), отличный от нуля в окрестности точки fc л #,и)еГ . Тогда по предположению существует окрестность 0&с6,х}у;Ы)сГ точки (tjX,yyu) в которой этот минор отличен от нуля. Множество индексов Р , которое совпадает с номерами столбцов матрицы (2.6), входящих в миноры , обозначим X

По теореме о неявных функциях в окрестности Oj$tf,2,y3U)t считая t-KL координат вектора U в системе (2.5) независимыми, можно найти остальные координаты из этой системы. Вектор, составленный из независимых компонент вектора U- , обозначим через 1r . Тогда найденные координаты будут U/=z и. С49х9у9ъ) % JtZ # К МерНЫЙ ВеКТОр, компонентами которого являются UJzzuSftjlCtfj tyjkT обозначим через utf yjbj» Тогда вектор U- символически можно представить в виде 11 = (Uti 9x.»%1т)9Ь) . Обозначим через Й и ibi. Jl C tt определители, полученные из заменой I - го столбца векторами (Х1 , „ 91 %У И?} »- -J Ly.Y соответственно. Положим Далее по теореме о неявных функциях в окрестности О (i3Xj u) функции # = W Ct 3C-, У,Ъ) jeI непрерывны и имеют непрерывные частные производные Для каждой точки(,Л у, бГ существует окрестность g,(- ,и)сГ на которой вектор можно представить в виде Un(U( x. b)9b") . В этой окрестности, обозначая / Y6 X, %, Ъ) -(ъ frU); вместо задачи (2.1)-(2.4) получим следующую эквивалентную задачу. Минимизировать функционал при ограничениях где управляющим является (1-/&) - мерный вектор Так как множество Ц(4) , і [іс,Іл] обладает в пространстве R1 компактным замыканием, то существует в пространстве Ц такое компактное множество V , что b(z)V при xtljtefitl Для задачи (2.7)-(2.9) допустимым считается, то управление Ifd) % которое измеримо на [iodil и принимает значение из множества ]/ Пусть является оптимальным управле нием для задачи (2.7)-(2.9). Обозначим через xtf) , ieCtods] решение задачи (2.8)-(2.9), соответствующее этому управлению. Из приведенной задачи ясно, что U является допустимым оптимальным управлением задачи (2.1)-(2.4), и наоборот, если известно оптимальное управление задачи (2.1)-(2.4), то можно построить оптимальное управление задачи (2.7)-(2.9). 2.2. Принцип максимума. Для допустимого управления ltd) и соответствующего ему решения X(i) системы (2.2)-(2.3) определим вектор-функцию ipctj как решение системы.

Необходимые условия оптимальности в системах с ограничениями на конце траектории

Изучению необходимых условий второго порядка для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и систем с запаздывающим аргументом в настоящее время посвящено большое число работ и получены важные результаты (см.напр.[2,7,20,35-38,50,58,59,63-65, 76,90]). Анализ и обзор статей по теории необходимых условий оптимальности второго порядка в обыкновенных динамических системах и в системах с запаздыванием имеются, например, в работах[20,24, 25] и др.

Большое теоретическое и прикладное значение имеют задачи оптимального управления с различными фазовыми и функциональными ограничениями. Впервые принцип максимума Понтрягина на задачи с фазовыми ограничениями был распространен Р.В.Гамкрелидзе[29]. В дальнейшем задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями при помощи различных подходов изучались в работах А.Я.Ду-бовицкого и А.А.Милютина[47,48], М.Р.Хестенса[і05], Л.Нойштадта [і09] , Р.В.Гамкрелидзе[29], В.Г.Болтянского [э] и др.

В последние годы начато интенсивно изучение вопросов, связанных с получением необходимых условий оптимальности в различных системах управления с фазовыми ограничениями как в обыкновенных динамических системах, так и в некоторых системах с запаздыванием. Отметим работы f1,2,40,41,44,47,48,54,55,60,72,77, 95,98,99] и др.

Встречаются процессы, известные в экономике и в сложных производственных установках, на которые управления воздействуют по многим каналам и со многими запаздываниями. Такие процессы описываются системой дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и запаздыванием в управлении. Примером такого процесса является работа двух гидроэлектростанций, расположенных вдоль одной реки и питающих совместно с тепловыми электростанциями общую энергетическую сеть[іб]. В работах [16,21,99J и др. получены необходимые условия оптимальности первого порядка задачи оптимального управления для процессов, описываемых системами с запаздывающим аргументом и запаздыванием в управлении.

В качественной теории оптимальных процессов, наряду с теорией необходимых условий оптимальности, важное место занимают вопросы, связанные с существованием решений в задачах оптимального управления. Это важно для обоснования корректности математической модели реального процесса и для нахождения решения, основанных на использовании необходимых условий оптимальности.

Для линейной системы первые теоремы существования оптимальных управлений получены в работах Е.В.Гамкрелидзв[Зі], Р.Беллман и др.[її]. Для нелинейной системы общая теорема существования оптимального управления в задаче на быстродействие в классе измеримых управляющих функций при предположении о выпуклости множества допустимых скоростей системы получены в работе[8lJ А.Ф.Филиппова.

В дальнейшем проблема существования оптимального управления развивается и распространяется на различные задачи, описываемые как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и системами с запаздыванием (см.напр. [Ї2,ІЗ,15,18,23,28,42,43,51,56,69,71,87, 100-102,109] и др.).

В работах[78-80, 108] доказаны некоторые теоремы существова - 6 ния решений в нелинейных задачах управления с запаздыванием как в фазовых координатах, так и в управлении. В этих работах обобщается лемма Филиппова и применяется при доказательстве, теоремы существования. Приведенный пример Т.А.Тадумадзе[80] показывает, что результаты, полученные в работе[I08J, не верны.

Основной целью настоящей диссертации является получение необходимых условий оптимальности первого и второго порядков для систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающими аргументами и с запаздыванием в управлении при наличии ограничений. Далее, в диссертации изучается существование оптимального управления в различных системах с запаздыванием как в фазовых координатах, так и в управлении.

Необходимые условия первого порядка

Для линейной системы первые теоремы существования оптимальных управлений получены в работах Е.В.Гамкрелидзв[Зі], Р.Беллман и др.[її]. Для нелинейной системы общая теорема существования оптимального управления в задаче на быстродействие в классе измеримых управляющих функций при предположении о выпуклости множества допустимых скоростей системы получены в работе[8lJ А.Ф.Филиппова.

В дальнейшем проблема существования оптимального управления развивается и распространяется на различные задачи, описываемые как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и системами с запаздыванием (см.напр. [Ї2,ІЗ,15,18,23,28,42,43,51,56,69,71,87, 100-102,109] и др.).

В работах[78-80, 108] доказаны некоторые теоремы существования решений в нелинейных задачах управления с запаздыванием как в фазовых координатах, так и в управлении. В этих работах обобщается лемма Филиппова и применяется при доказательстве, теоремы существования. Приведенный пример Т.А.Тадумадзе[80] показывает, что результаты, полученные в работе[I08J, не верны.

Основной целью настоящей диссертации является получение необходимых условий оптимальности первого и второго порядков для систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающими аргументами и с запаздыванием в управлении при наличии ограничений. Далее, в диссертации изучается существование оптимального управления в различных системах с запаздыванием как в фазовых координатах, так и в управлении.

Диссертация состоит из четырех параграфов. В I рассматривается процесс управления, описываемый дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом и запаздыванием в управлении: удовлетворяющим условиям где X - % - мерные вектор-функ ции; tilt) ч \(b - мерные вектор-функции; скалярная функция. Управление Utf) назовем допустимым: если оно кусочно-непрерывно и кусочно-дифференцируемо и принимает значения из заданного множества У в Я. Требуется среди всех допустимых управлений найти такое, чтобы соответствующее ему решение задачи (1)-(2) давало минимум функционалу В этом параграфе получены необходимые условия второго порядка для управления, имеющего особые точки. В отличии от традиционной формы, здесь второе сопряженное уравнение взято в векторной форме. Используя последовательное применение вариаций для управления, имеющего две различные особые точки, получены три условия. Третье условие существенно усиливает первые два условия в том смысле, что при выполнении первых двух условий это условие может не выполнятся. Пусть допустимое управление Ц(Ь удовлетворяет условию максимума: множество Q.№)c U , на котором достигается максимум выражения включает в себе более одного элемента, тогда точку Te[te,ti] на- t(t) - обратная функция к tod) при cO(to) t± &dj) и t(i)± при tytO(t1)j (штрих) - означает транспонирование. Сформулируем теорему, в которой получены необходимые условия оптимальности второго порядка для управления, имеющего особую точку.

Индивидуальная теорема существования оптимального управления в терминальной задаче

Тогда из выражения &%(и) в силу условия (3.38) следует, что ДУо(и) -0 . Последнее противоречит оптимальности управления Теорема доказана. При доказательстве теоремы 3.3, мы предполагали, что р - П. и выполняются некоторые дополнительные условия. Ниже рассматриваются случаи, в которых не предполагается выполнения этих условий. Предположим, что существует непустое подмножество 20QI такое, что В этом случае необходимое условие (3.32) выполняется тривиально для каждого допустимого управления. ТЕОРЕМА 3.4. Пусть tt(z) оптимальное управление в задаче (3.1)-(3.4),, СС(т) - соответствующая ему траектория и $.(2(60-0 для & 1С , ТСТ. Тогда неравенство выполняется для всех OjiCzo t), U V, tij sO t J f?M9 таких, где , Н , М определяются формулами (3.16),(3.17),(3.22). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Пусть существует fylioJi) » и ьУ » ,0 . /=«# такие, что выполняется условие (3.44),, но Рассмотрим управление U H) с параметрами Qj , U t T: t JzijM E определенными формулой (3.5). Тогда соответствующая им первая вариация функционала равна Так как (r(t))=o щя &І0 , то ҐУе-с, -etZ0 . В этом случае Из условия (3.44) следует, что о J? - о для -с 61 \ Т0 , а из (3.45) для -itr?о . Учитывая эти соотношения покажем, что при достаточно малых Є управление U ) является допустимым в задаче (3.1)-(3.4). При І:Х0% %(и(4))-0 , ії%=о , а из (3.45) следует, что При -ІІ\Іо из условия (3.44) получим а для il при достаточно малых 8 0 . Далее Если 0Іо , то из (3.45) следует, что если 0І\І0 , то из условия (3.44) имеем Следовательно, управление ) допустимо. Кроме того, % (1/ (4))4-У0(Ш+1). Последнее условие противоречит оптимальности управления КСт) . Теорема доказана. З.б. Особая экстремаль. В дальнейшем предполагается, что для заданного управления и{) , td C fijJж для соответствующей ему траектории выполняются условия Если управление U( ) удовлетворяет условию (3.32) и на отрезке Сс Lio il выполняется при любом UsJX равенство то управление U-Cт) назовем особой экстремалью на отрезке Г , где С7Л &\\1(і)Ф0 . НС . ЛЕММА. Пусть 11(1) является особой экстремалью на отрезке (jC[io}ti] . Тогда существует непустое подмножество I±Ql. такое, что при (.ЄІі равенство выполняется для всех UsQ , t v . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Пусть для каждого Св2 существуют 0/ , и1е& такие, что Построим управление LCg(V с параметрами &.у и\ї--1 о по формуле (3.5). Тогда повторяя рассуждения доказательства теоремы 3.2, получим: Отсюда следует, что для управления ССШпъ могут выполнятся необходимые условия (3.32). Лемма доказана. Через 2± - обозначим максимальное подмножество из I , обладающее свойством, приведенным в лемме. ТЕОРЕМА 3.5. Пусть ОС(т) является особой экстремалью на отрезке СсСсо іІ. Тогда необходимо, чтобы неравенство-выполнялось для всех OjGLMtv, и єа, sO j -i M таких, что где H.Z Q. определяются формулами (3.16),(3.17),(3.25). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предполагая противное, найдем 6hЄ ім{ Ki /0 t и/& t J-ljW такие, что при выполнении неравенства (3.50) не выполняется условие (3.49), т.е. левая часть выражения (3.49), принимает на них положительное значение. Построим управление Ы сЬ с параметрами &J , Uy , dj , /=ijA?j по формуле (3.5). В силу леммы для соответствующей вариации функционала Уе(и) , ifeX? имеем % 0 % lei . Далее, по условию (3.50) получим, что Je - е T\I± . Вторая вариация функционала Уе и) , g?i определяется формулой (3.27). Так как U,(t) является особой экстремалью на отрезке (r CLt0tt±] 9 т0 выполняется условие (3.47). Из леммы следует, что при любых - 1± выполняется равенство для всех t j , UtQ. . Отсюда имеем Учитывая последнее соотношение, в силу предположения получа-ем, что -0 , elj . Далее, легко можно показать, что управление И(4) допустимо и Uti) неоптимально в задаче (3.1)-(3.4)

Похожие диссертации на Некоторые вопросы теории оптимального управления в системах с запаздывающими аргументами при наличии ограничений

Асимптотическое интегрирование систем линейныхдифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом при наличии точек поворотаРашевский, Николай Александрович

Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетяхКопытин Алексей Вячеславович

Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений в исследовании передаточных линий Сборец Юлия Николаевна

Некоорые вопросы теории интегральных уравнений восстановленияНазарян, Оваким Роландович

Некоторые вопросы теории неоднородных линейных систем дифференциальных уравненийБернштейн Евгений Александрович

О некоторых вопросах теории граничного усредненияЧечкин Григорий Александрович

О некоторых вопросах теории регуляризованных следов дискретных операторовМихаскив Денис Николаевич

Некоторые вопросы теории счетных систем и асимптотических методовЭльназаров, Аддис Абдумамадович

Некоторые вопросы теории случайных колебаний в нелинейных стохастических дифференциальных уравнениях высших порядков Нгуен Донг Ань

Некоторые вопросы теории разрешимости многоточечных краевых задач и её приложенияКатхим Аббас Хуссейн