О гладкости решений эволюционных уравнений с вырождением Ярцева Наталия Алексеевна

Эллиптические операторы

В рассмотренный класс систем CD входят различные линеаризации системы уравнений Бавье Одним из главных направлений в теории уравнений с частными производными является сведение этих уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве с неограниченным операторным коэффициентом. При этом важную роль играют спектральные свойства соответствующих операторов, в частности, характер убывания нормы их резольвенты при больших значениях аргумента.

В связи с этим нам понадобятся некоторые понятия и факти, которые можно найти, например, в [11,17,18,19,24,25].

Оператор-функции A(t) (то есть функции, значениями которых являются ограниченные операторы) являются частными примерами функций со значениями в банаховом пространстве ограниченных операторов, действующих из Е\ в J 2, где Е\ и Еъ - банаховы пространства.

Для оператор-функций определяются три вида непрерывности: а) непрерывность по норме, б) сильная непрерывность, в) слабая непрерывность.

Определение 1.3.1. Будем говорить, что оператор-функция A(t) непрерывна по норме в точке to Є [а, 6], если 1ітЛ(і)-А(і0) = 0. Определение 1.3.2. Оператор-функция A(t) сильно непрерывна в точке to Є [а?Ь] если ПРИ любом фиксированном х Є Е\ lim \\A{t)x - A{t0)x\\E2 - 0. tio

Определение 1.3.3. Оператор-функция A(t) слабо непрерывна в точке to Є [а, Ь], если при любых фиксированных х Є Е\ и линейного непрерывного функционала / Є Е\ {Е - сопряженное пространство) \im\l(A(t))x - l(A(to))x\ = 0. t— to

Аналогично определяются понятия дифференцируемое (дифференцируемое по норме операторов), сильной дифференцируемости (дифференцируемое всех фунций A(t)x, A(t)x, х Є Е\) и слабой дифферен ъ цируемости (дифференцируемости скалярной функции l(A(t)x), х Є Е\, І Є Щ).

Неограниченные операторы. Пусть Е- банахово пространство и А-линейный оператор, определенный на некотором линейном множестве D(A) С Е и принимающий значения в Е.

Определение 1.3.4. Говорят, что А замкнут, если из того что хп Є D(A), \\хп — JCO - О и ІИ п — 2/01 — 0 вытекает, что XQ Є D(A) и Лжо = Уо Справедливы следующие утверждения: (см [17], 13.2)

Если при некотором А Є С оператор XI — А имеет обратный, то оператор А замкнут. Пусть значения функции x(t) при каждом t Є [а, 6] принадлежат D(A) и функция Ax(t) интегрируема на [а,Ь]. Тогда выполняется равенство A J x(t)dt = J Ax(t)dt.

Наиболее важными характеристиками линейных операторов, определенных на линейном многообразии D(A) комплексного банахова пространства Е и действующих в это же пространство Е, являются спектр и резольвента оператора. Понятие спектра оператора связано с рассмотрением уравнения Ах-\х = у {xD{A),yeE), (1.3.1) где Л- комплексное число. Определение 1.3.5. Число Л называется регулярной точкой оператора А, если уравнение (1.3.1) корректно и плотно разрешимо. То есть однородное уравнение Ах - Хх = О имеет только нулевое решение, для любого х Є D(A) справедливо неравенство \\х\\Е к\\(А-Х1)х\\Е, и замыкание области значений оператора А — XI совпадает с Е. Определение 1.3.6. Совокупность всех регулярных точек называется резольвентным множеством оператора А.

Определение 1.3.7. Дополнение на комплексной плоскости к резольвентному множеству называется спектром оператора А.

Если оператор А замкнут, то его резольвентное множество состоит из тех и только тех точек Л, для которых существует ограниченный оператор (А — Л/)-1, заданный на всем пространстве Е.

Определение 1.3.8. При регулярных Л оператор-функция (А—Л/)-1 называется резольвентой оператора А и обозначается Л(Л, А).

Для замкнутого оператора резольвентное множество является открытым подмножеством комплексной плоскости, спектр- замкнутое множество.

Резольвента R(X, А) является на резольвентном множестве аналитической функцией со значениями в пространстве L(E, Е) линейных ограниченных операторов.с исследованием устойчивости движения симметрического волчка обладающего полостью,заполненной жидкостью. С.Л.Соболевым была установлена разрешимость задачи Коши,а также первой и второй краевых задач в ограниченной области,получены критерии устойчивости по первому приближению в случае когда полость цилиндр.Результаты исследований были опубликованы им позднее C.7CQ , JVl] и в дальнейшем систему (2) стали называть системой Соболева. С системой вида вектор угловой скорости вращения Земли,аналогичной системе Соболева и принадлежащей нашему классу (I) связано изучение гироскопических волн в жидкоети,см,например [46], там же имеется библиография работ посвященных некоторым исследованиям этих волн,наиболее полно уровень исследований отражает [17] . В рассмотренный класс (I) входит также система -/V-f-fP o, Цф+j-P O, (4) №іЧ)6І7 ,где r - ограниченная область,моделирукъ щая при различных j 0=0 =СОИ Х ,длинные гравитационные волны в однородной жидкости, при условии,что поверхность жесткая и плоская 4б] , баротропные планетарные волны в однородной жидкости,при условии,что поверхностные колебания малы [4б] , горизонтально-поперечные колебания на поверхности вращавдегося глобуса [48] . Как уже отмечалось,развитие теории подобных неклассических задач было положено в работах С.Л.Соболева [70] ,[7І],где было введено уравнение

Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка

Определение 1.5.2. Решением уравнения (1.5.3) на отрезке [0,Т] называется функция x(t), удовлетворяющая условиям: 1) значения функции x(t) принадлежат области определения D(A) оператора А при всех t Є [0,Т]; 2) в каждой точке t отрезка [0,Т] существует сильная производная x {t) функции x(t); 3) уравнение (1.5.3) удовлетворяется при всех t Є [0,Т]. Под задачей Коши на отрезке [0,Т] понимают задачу о нахождении решения уравнения (1.5.3),удовлетворяющего условию (1.5.2) при XQ Є D(A).

Если для линейного уравнения с ограниченным оператором вопросы существования и единственности решения задачи Коши, непрерывной зависимости его от начальных данных всегда решаются положительно и поэтому основное внимание уделяется поведению решений при t — со, то для уравнений с неограниченным оператором перечисленные вопросы становятся центральными.

Определение 1.5.3. Говорят, что задача Коши поставлена корректно на отрезке [0,Т], если: 1) при любом XQ G D(A) существует ее единственное решение и 2) это решение непрерывно зависит от начальных данных в том смысле, что из х0}П - 0 {х0 п Є D(A)) для соответствующих решений xn(t) следует xn(t) - 0 при каждом t Є [о,т]. В силу постоянства оператора А из корректности задачи Коши на каком-либо отрезке [О, Т] следует ее корректность на всей полуоси [0, со) (см. [24], стр.274). Решение корректно поставленной задачи Коши можно записать в виде x(t) = U(t)x0, xQ Є D{A), (1.5.6) где U(t)- сильно непрерывная полугруппа ограниченных операторов. Оператор А может быть расширен до производящего оператора U (0) полугруппы U(t).

Определение 1.5.4. Корректно поставленная задача Коши называется равномерно корректной, если для ее решений из хп(0) — 0 следует, что хп -f 0 равномерно по t на каждом промежутке [О, Т].

Справедлива следующая теорема (см. [24], стр. 278). Теорема 1.5.1. Для того чтобы задача Коши (1.5.3), (1.5.2) была равномерно корректна необходимо и достаточно, чтобы оператор А был производящим оператором Со- полугруппы. Одним из простейших примеров равномерно корректной задачи Коши является задача Коши для уравнения теплопроводности: dv д v ді = дх = Х Є ДІ 1 Є [ )- (L5 7) Пространством Е здесь является пространство С[—со, со], состоящее из всех равномерно непрерывных и ограниченных функций на оси Ох, а соответствующая полугруппа имеет вид -і 00 2 -00 2у/тгї Таким образом, задача Коши (1.5.7) равномерно корректна, то есть при любой функции (р Є D(A) существует единственное решение v(t, х) уравнения теплопроводности, обладающее тем свойством, что lim sup \v(t,x) ip(x)\ = 0. +0іЄ(-оо,оо) При этом, если (рп(х) Є D(A) равномерно сходятся к р(х) Є D(A), то решения vn(t, х) — v(t, х) равномерно по х и t на всяком промежутке [0, Т] изменения t. В общем случае В.Феллер [23], используя теорию полугрупп, исследовал два параболических дифференциальных уравнения du(t,x) .d2u(t,x) .. sdu(t,x) dt = а{х) дх2 + W_fh + С(я:)и( Х) = ( ) д -r [a(y)v(t,y)]-b(x)v(t,y) + c(y)v{t,y) = L v, (1.5.9) dv(t,x) __ д dt ду (СО Г\ X, у, Г2 +0O, t 0).

В [23] В. при которых дифференциальные выражения Lu и L v в (1.5.8) и (1.5.9) являются производящими операторами полугрупп класса Со в пространствах 93[Г1)Г2] и [Г1)Г2]- Откуда, в частности, следует равномерно корректная разрешимость задачи Коши для соответствующих операторов L и L . Здесь справедливы следующие утверждения (см. [24], стр. 286). 1. Если задача Коши для уравнения (1.5.3) равномерно корректна, а оператор В ограничен, то для возмущенного уравнения (1.5.10) задача Коши также равномерно корректна. Феллером и в [3] Д.А.Вентцелем дано описание всех дополнительных граничных условий ,

Интегральные тождества

Везде в дальнейшем считаем Г\ — О, Г2 = со, / Є25 , В этом параграфе докажем теоремы о свойствах гладкости ограниченных решений уравнения (2.2.1) для х Є [0, со). Теорема 2.3.1. Если L Є V_, то уравнение Lu-\u = f (2.3.1) при любом Л 0 имееет однопараметрическое семейство решений и Є23, и для того, чтобы какое-либо из них удовлетворяло неравенствам ІМІ Y- (2-3-2) « 2_1 И/Ц, (2-3.3) необходимо и достаточно, чтобы для него м(0) . (2.3.4) Л Доказательство. Сначала пусть а Є23, b 6. В этом случае функция х Г г Т(к ) %2i W = J exp k(r-x) + J n( d dr 0 L xo K) ограничена только при Qi = 0, а функция Цідтііх) = 2ежр[—кх] ограничена при любом //2- Тогда, в силу леммы 2.2.3 интегральное уравнение -drdx— U[ lW = /e -«)!b[/ l№r)-A1«W а(г) о х [I «(О drdx-\ (2.3.5) а{г) -/ехр[ф-і)]7ехр[/ % +/і2ежр[-И] разрешимо в В при любом //2- Из (2.3.5) нетрудно видеть, что fi2 = и(0). Пусть справедливо (2.3.4), докажем (2.3.2) и (2.3.3). Оценим, используя (2.3.5): [Щк,г) - A]u(r) a{r) dr) a(r) dx-\ 00 Г X грґі \ «(i) \\u\\ J ехр[к(х - t)} J ехр /А## +ІІ/Ц/exp[fc(x - )]/exp [/ &« drdx+ +Щехр[-Ы] = Л + H/bW + е р[-А ]. Заметим, что 0 7i W + 72 W = 1 — ежр[—Н], тогда №\ \Whi(t) + И(1 - еЯ;р[-А ] - 7iW) + Ц ехр[-Щ = = ІНІ71Й + И(1-ті(0). (2.3.6) Если бы существовало такое to, что u(o) = suPfefo,oo) 1 (01 то из (2.3.6) следует, что И«Ц[1 - Ti( o)] [1 - 7і( о)], РОССИЙСКАЯ ГОСВДствгнЙАЯ что даст (2.3.2). Если же и = linv oo u(n), то, переходя к пределу в (2.3.6), также получаем (2.3.2). Для доказательства (2.3.3) умножим обе части тождества (2.3.5) на exp(kt) и продифференцируем. Получаем тождество di r -(0 Т( ,0 u\t) = ku{t) + J exp j ЩтР-dt 00 t «(0 jexp j [kT(k, r) - \}u{r) a{r) dr. a(r) dr— (2.3.7) Воспользовавшись (2.3.2), из (2.3.7) получаем u (i) fc« + HMO + /74(0 Ё + И17з(0 + 11/1174(0-Так как 0 7з + 74( ) &, то из последнего неравенства следует И )[ yll/ll Замечание 1. При доказательстве (2.3.3) мы не пользовались ограниченностью а(х),Ъ(х).

Теперь докажем теорему в общем случае. Так как L Є Т_, то Т(к, х) — ка{х) — Ь(х) 0 для всех к ко. Функция Т(к, х) неограничена по х при каждом к ко, так как в противном случае были бы ограничены а{х) и Ъ{х).

Действительно, если при некотором к\ ко Т(к\,х) ограничена, то ограничена и Т(ко,х), так как Т(ко,х) Т(к\,х), а, следовательно, и Т(к\, х) — Т(ко, х) = (к\ — ко)а(х). Отсюда следует ограниченность а(х), а вместе с тем и Ъ(х). Пусть одна из точек, где Т(к,х) = m, (га = 1,-2,...). Введем множества Ек,т — [х У Т(к, х) m,m= 1,2,...] и семейства функций ±т,\к х) — Т(к,х), если х Є Ек,т т, если XEk}m ,т ат(х) = ,т а(х), если х Є Ek r a(xm), если хєЕк,т ,т Ът(х) = ат(х) = b(x), если а; Є Ек,т b{xm), если хєЕк,т Нетрудно видеть, что функции ат(ж), 6т(ж) из пространства 03. Рассмотрим семейство уравнений Um[t) = t 00 Г X гр ( (t) = / ехр[к(х — t)] / ехр / —— О х _r ат (О # X (2.3.8) х [trM(t,r)-AK(r)-/(r)drfa + От (г) каждое из которых при фиксированном т и ц относится к уже рассмотренному типу и имеет единственное решение ит Є031 такое, что u(0) = /л причем ти - Л 2[ЛТт(Л)]-1 luJI Щ, (2.3.9) (2.3.10) КИ где Тт(к) = т{хф Тт{к,х). Учитывая, что при всех т Т(к) Tm(k) = Т(к), имеем 2[АТ(А)]-1 "mil Л (2.3.11) Из (2.3.10) и (2.3.11) следует, что семейство функций ип(х) равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. В силу теоремы Арцела, при т — со ит равномерно сходится к некоторой функции и Є23, причем И(0)=/ІИ М Переходя к пределу при т -» оо, в (2.3.8) получаем, что и(х) является решением интегрального уравнения (2.3.5) и значит, в силу замечания для него справедливо неравенство (2.3.3).

В силу эквивалентности уравнений (2.3.5) и (2.3.1), получаем доказательство теоремы. Теорема 2.3.2. Если выполнены условия теоремы 2.3.1, то при любом к 0 имеет место неравенство « 2А;Н + К.(Л)Хи. (2.3.12) Для доказательства достаточно в тождестве (2.3.7), пользуясь уравнением (2.3.1), заменить / на Lu — Хи. Тогда получаем тождество, справедливое для всех к кТ(к, г) а(г) (Lu)(r)dr. u (t) = ku{t) + Jexp J іу +/4/ T(kJ) t L Отсюда очевидным образом имеем неравенство u(r)dr+ (2.3.13) lT(k,0 i(0 T(fc,0 \u\t)\ = k\\u(t)\\ + к\\и\\ f expU dt; +Hl/e / kT{k,r) a{r) dr. u(r)dr+ (2.3.14) Из (2.3.14) следует (2.3.12).

Доказательство следующих двух теорем мы проведем одновременно. Теорема 2.3.3. Если L Є Т+ и 4 Є [0, хо] ( XQ Є (0, со) и фиксировано), то уравнение (2.3.1) имеет единственное решение и ЄШ1 и для него справедливы неравенства (2.3.2) и (2.3.3). Теорема 2.3.4. Пусть RT - область значений функции (V+{k)) l, тогда, если в условиях теоремы 2.3.3 4 Є [0, хо], то уравнение (2.3.1) имеет однопараметрическоен семейство решений и ЄЯ31 , причем для решений с начальными данными, удовлетворяющими условию

М(0)-А«(0) П/П, (2.3.15) справедливы оценки ІМІ (2.3.16) 211 ЛІ 11„. И fo О 1 7\ \\и —-—, [2.6.17) где а) А О, если 0 5 inf Rr\ б) Л ST-\8), если 5 є RT; Для доказательства теорем 2.3.3 и 2.3.4 воспользуемся тождеством со u(t) = / exp[A;(i - х)] J exp J -Л## X t о г(М) (f) x[tT(fc,r)-AMD-/(r))(fr(fa + а(г) которое получается из (2.2.5) при г\ = О, Г2 = со, в — 9ц, \і\ч = 0. В силу леммы 2.2.3 условие [їй = 0 является необходимым для разрешимости интегрального уравнения 2.2.5 в 05 при Г2 = со.

Эллиптический оператор с вырождением по одной переменной. Оценка первых производных решений

Вопросы общей теории уравнений в частных производных с переменными коэффициентами являются основными в случае, когда тип изучаемого уравнения меняется в рассматриваемой области. И этому направлению посвящены многочисленные работы.

Так, в известной работе М.В.Келдыша [10] впервые рассматривается задача Дирихле для уравнения второго порядка эллиптического типа, вырождающегося в уравнение параболического типа на части границы, являющейся характеристическим многообразием для этого уравнения.

Основополагающие исследования по изучению вырождающихся уравнений проведены Ф.Трикоми, В.Феллером, В.И.Смирновым, С.Г.Михли-ным, М.И.Вишиком и др.

Фундаментальные результаты в этом направлении получены воронежскими математиками, где основное место занимают работы В.П.Глушко и его учеников О.М.Смелянского, А.В.Глушака, Ю.Б.Савченко и др.

Развивая одно из главных направлений в теории уравнений с частными производными, такое, как сведение этих уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами, были применены эти методы и для изучения вырождающихся уравнений. Здесь весьма плодотворным явился переход к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве.

С этой точки зрения сингулярные дифференциальные уравнения исследовались во многих работах как в нашей стране, так и за рубежом. Так, работы В.П.Глушко посвящены изучению гладкости решений вырождающихся дифференциальных уравнений вида a(t)u (t) + B(t)u(t) = /( ), 0 t T, (0.1) с непрерывным при всех t Є [0,Т] оператором B(t), действующим в банаховом пространстве Е.

Различные результаты, полученные при изучении вырождающихся дифференциальных уравнений, содержатся в обзорной работе В.П.Глушко и Ю.Б.Савченко [8].

В используемой методике особое значение имеет коэрцитивная разрешимость соответствующих абстрактных задач, поскольку она дает необходимые и достаточные условия корректной разрешимости таких задач, а также позволяет исследовать нелинейные задачи и задачи с возмущением.

Исследованию этих вопросов посвящены работы С.Г.Крейна и его учеников, а также работы П.Е.Соболевского, В.П.Орлова, В.П.Глушко, О.М.Смелянского и др. В этих исследованиях важную роль играют спектральные свойства операторов, в частности, характер убывания нормы их резольвенты при больших значениях аргумента. Эти результаты позволяют при исследовании, например, уравнений параболического типа вида u {t) = Lu{t) + fit) (0.2) использовать хорошо развитый аппарат теории полугрупп, где основную роль играют позитивные, сильно позитивные операторы, а также произ водящие операторы сильно непрерывных полугрупп. Диссертация посвящена исследованию корректной разрешимости начально-краевых задач для уравнений параболического и эллиптического типов с вырождающимися коэффициентами. Работа состоит из введения и трех глав. Первая глава содержит необходимые сведения из теории уравнений с частными производными, а также абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Основные результаты содержатся во второй и третьей главах. Во второй главе с помощью аппарата теории полугрупп исследуется задача Коши для параболического уравнения вида du(t,x) , .d2u(t,x) ,. sdu(t,x) , . . ч r .. и(х,0) = д{х), (—со г\ х Г2 +оо). (0.4) Как известно, в связи с этим уравнением В.Феллером и А.Д.Вентцелем дано полно описание всех дополнительных (граничных) условий, совместно с которыми оператор, заданный дифференциальным выражением L из (0.3), является генератором полугруппы класса

Похожие диссертации на О гладкости решений эволюционных уравнений с вырождением

Качественные и спектральные свойства решений уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения и их примененияКарамова, Альфира Авкалевна

Разностные методы решения нелокальных краевых задач для уравнения параболического типа с вырождением Олисаев Эльбрус Георгиевич

О гладкости решений эллиптических и параболических уравнений вблизи нерегулярной граничной точки Мамедов Фарман Имран Оглы

О гладкости решений линейных и квазилинейных эллиптических уравнений 2-го порядка Курбанов Аладдин Алияр оглы

Гладкость решений краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюцииПинигина Нюргуяна Романовна

Гладкость и аппроксимативные свойства решений двучленных дифференциальных уравнений на бесконечном интервалеАманова, Тулеугуль Тулеубаевна

О разрешимости вариационной задачи Дирихле для некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений с вырождениемГаниев, Муродбек Шамсивиеч

Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождениемПопов, Владимир Алексеевич

Вариационная задача Дирихле для некоторых классов эллиптических уравнений с вырождениемКаримов Алишер Гашович

Краевые задачи в полупространстве для одного класса псевдодифференциальных уравнений с вырождениемСадчиков, Павел Валерьевич