Содержание к диссертации
Введение 3
ГЛАВА І. О РАЗРШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ТЕОРИИ АТМОСФЕРНОЙ КОНВЕКЦИИ 16
§ I. Нестационарная задача для плоского случая»
§ 2. Нестационарная задача в случае осесиммет рического движения 30
ГЛАВА 2. О НЕСТАЦИОНАРНЫХ КРАЕШХ ЗАДАЧАХ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ОКЕАНОЛОГИИ И КРАТКОСРОЧНОМ ПРОГНОЗЕ ПОГОДЫ 46
§ I. Разрешимость краевой задачи, возникающей
в океанологии 46
§ 2. Стабилизация нестационарного решения 65
§ 3. Одной краевой задачи, возникающей в краткосрочном локальном прогнозе погоды 67
Литература
Введение к работе
Задачи, связанные с изучением процессов, происходящих в атмосфере и океане, являются одним из важнейших разделов геофизики. При исследовании этих задач широко используются математические модели»на основе которых удается описать целый ряд процессов в физике взаимодействия океана и атмосферы.
Как правило, математические модели базируются на линейных и квазилинейных системах уравнений в частных производных. Особый интерес среди таких моделей представляют гидродинамические модели, описывающие атмосферные процессы. Отметим здесь основополагающие работы И.А.Кибеля [2l] и его учеников.
Аналитические методы,дающие явные представления решений этих задач, как правило, мало применимы, поэтому чаще всего используются приближенные решения, полученные различными способами (см. Г.И.Марчук [35-37] , В.В.Пененко [40] , В.П.Кочергин [25] ). Одна из первых работ,посвященных исследованию вопросов корректности математических моделей метеорологии и океанологии,была работа Г.В.Демидова, Г.И. Марчука [14] . В дальнейшем это направление развивалось в работах Белова Ю.Я. [2,3] , Бубнова М.А., Кажихова А.В. [9] , Кордзадзе А.А. [23] , Рапуты В.Ф. [45] , Сухоносова В.И. [50] и др.
В работе Г.В.Демидова и Г.И.Марчука [l4] изучалась краевая задача краткосрочного прогноза погоды при условии, что турбулентный обмен отсутствует. При этом по переменным X и и область определения решения предполагалась неограниченной. В этой работе доказано существование гладкого решения методом слабой аппроксимации в предположении, что начальные данные имеют обобщенные производные в смысле С.Л.Соболева до третьего порядка, суммируемые с квадратом.
Ю.Я.Беловым [3] для полуэволвдионной задачи динамики океана доказано существование обобщенного в слабом смысле решения.
М.А.Бубновым и А.В.Кажиховым [э] получена однозначная разрешимость для основной краевой задачи линейной теории океанической циркуляции.
В.Р.Рапутой [45] рассмотрена задача прогноза погоды на сфере, для исследования которой применялся несколько иной математический аппарат, чем в [14] .
В работах [3] , l4] , 45] теоремы существования для нестационарных нелинейных задач установлены в малом по времени.
А.А.Кордзадзе [23] исследовал единственность решения основных краевых задач динамики атмосферы и океана.
В настоящее время, несмотря на большое число исследований, посвященных изучению корректности краевых и начально-краевых задач термогидродинамики атмосферы и океана, целый ряд вопросов остается открытым. Это в первую очередь относится к пространственным нелинейным моделям.
Как известно, многие уравнения, встречающиеся в математической физике, относятся к так называемым неклассическим уравнениям, поэтому-изучение их представляет значительную трудность ввиду отсутствия общих методов иссле - 5 дования. К таким уравнениям относятся, например, линейные и нелинейные уравнения смешанного типа, уравнения составного типа высокого порядка и другие.
Систематическое изучение линейных задач для неклассических уравнений началось с известных работ Ф.Трикоми [53] и М.В.Келдыша [20]и продолжалось в работах А.В.Бицадзе[5], Г.Фикера [55] , О.А.Олейник, Е.В.Радкевича [38] , М.С.Са-лахитдинова [4б] , А.М.Джураева [іб] , Т.Д.Джураева [ 16] , С.А.Терсенова 52] , В.Н.Врагова [її - 13] , Б.А.Бубнова [в] , В.А.Брюханова [б] и других. Обширную библиографию работ в этом направлении можно найти в [4,5,38,46,52] .
К другому циклу исследований можно отнести работы, посвященные изучению нелинейных уравнений неклассического типа - это сравнительно новое направление. Отметим здесь работы Ю.А.Дубинского [l7], [l8j , Ж.Л.Лионса [зз] , В.Н.Врагова [II] , А.В,Кажихова [19] , Б.А.Бубнова [7] , А.И.Ко-жанова, Н.А.Ларькина, Н.Н.Яненко [22] , [Зі] ,[32j , А.Г. Подгаева [41] , С.Г.Пяткова [44] , А.Н.Терехова [5l] , В.В.Хаблова [5б] , Ш.Смагулова [47] и др.
Исследование уравнений Навье-Стокса было начато в работах Ж.Лере [62] , Е.Хопфа [61] . Различные аспекты теории уравнений Навье-Стокса изложены в монографии О.А.Ладыженской [27] .
Однако, до настоящего времени вопрос о том, имеет ли место однозначная разрешимость нв целом", то есть для произвольного конечного промежутка времени, при любых гладких данных задачи и любых размерах области, остается открытым. Е.Хопфом[61] доказано существование "в целом",по крайней мере,одного так называемого "слабого" решения трехмерной начально-краевой задачи, но единственность этого решения не доказана.
Нэшем [64] , В.А.Солонниковым [49] и Тани ["65] получены локальные теоремы разрешимости краевых задач для общей модели сжимаемой вязкой жидкости. А.В.Кажиковым [19] А,Тани [бб] и другими исследовано поведение решений "в целом" по времени только в случае одномерного движения,когда решение зависит лишь от одной пространственной декартовой координаты и от времени.
В работах П.СЛернякова [57] , Н.К.Коренева [24] исследуется разрешимость краевых задач для свободной конвекции в вязкой несжимаемой жидкости. Методы доказательств, используемые здесь, разработаны в [27] для уравнений гидродинамики несжимаемой вязкой жидкости.
В.В.Васильевым [ю] установлена однозначная разрешимость первой краевой задачи для системы уравнений конвекции.
Настоящая работа посвящена исследованию вопросов разрешимости, единственности и устойчивости для задач термогидродинамической теории атмосферной конвекции, динамики океана и теории взаимодействия пограничного слоя со свободной атмосферой.
Леммы, теоремы и определения занумерованы в диссертации двумя числами. Например, под теоремой 2.1 нужно понимать первую теорему в главе 2. Для формул использована тройная нумерация. Так, формула с номером (2.2.Ю) десятая формула параграфа 2 главы 2.
В заключение, пользуясь возможностью, автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н. В.Н.Врагову, к.ф.-м.н. П.Ю.Пушистову и к.ф.-м.н. Б.А.Бубнову за руководство и ценные советы при выполнении работы. Автор признателен также всем участникам семинара "Неклассические уравнения математической физики" под руководством профессора В.Н.Врагова за полезное обсуждение вопросов, затронутых в диссертации.
