Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию волнового уравнения
ихх{х,t) = иа{х,t) (xeT\J, t>0) (1)
с а-гладкими трансмиссии
J2 Ф, h)ut{x,t) = 0 (xej,t2 0), (2)
ЛєГ(г)
где Г - геометрический граф, J - множество внутренних вершин Г. Основная цель работы - получение конечного (явного, в замкнутой форме) описания решения указанного уравнения с заданными условиями трансмиссии во внутренних вершинах геометрического графа через и[х,0) и ut(x,0).
Уравнения на геометрических графах моделируют самые разные задачи естествознания: процессы в сетях волноводов, колебания упругих сеток, распространение электрических импульсов в нейроне и т.п. На сегодня достаточно полно изучены соответствующая спектральная задача Штурма-Лиувилля1. Для волнового уравнения аналоги формулы Даламбера получены лишь для некоторых классов четвёрок (Г, Т, В, I), где Г - геометрический граф, Т - условия трансмиссии, В - граничные условия, / - начальные условия (F. Ali-Mehmeti, 1994; В.Л. Прядиев, А.В. Боровских, А.В. Копытин, Ю.В. Покорный 1999-2003; С. Cattaneo и L. Fontana, 2003; Найдюк Ф.О., Прядиев В.Л., Ситник СМ., 2003-2005; Прядиев В. Л., Прядиева Е. В., 2004; Глотов Н.В., Прядиев В.Л., 2006). Диссертация посвящена получению и доказательству явных формул, выражающих классическое решение волнового уравнения на геометрическом графе через начальные условия при а-гладких условиях трансмиссии и однородных краевых условиях первого и второго родов (как по отдельности, так и вместе). При этом минимизируются требования к регулярности начальных данных. Рассматриваемый в диссертации класс четверок (Г, Г, В, І) в работах предшественников во всей полноте не рассматривался. В частности, условия трансмиссии гарантировали самосопряженность лапласиана на геометрическом графе, что в прежних работах часто по существу использовалось. Кроме того, диссертация посвящена получению нового типа представлений для решения системы (1)-(2) - в виде
'см., напр., Ю.В. Покорный и др.: Дифференциальные уравнения на геометрическом графе // ФИЗМАТЛИТ, 2004 и обзорную часть там же.
интеграла с ядром, не зависящим от начальных данных. Все вышесказанное означает, что тема диссертации актуальна и представляет научный интерес.
Цель работы. Основных целей две: 1) доказать явное представление классического решения волнового уравнения на геометрическом графе с а-гладкими условиями трансмиссии через начальные данные при однородных краевых условиях первого рода, второго рода, а также первого и второго родов, при минимальных требованиях па регулярность начальных данных, 2) для той же начально-краевой задачи, но при щ{х,0] = О, получить конечное представление ядра интегрального оператора, обращающего эту задачу относительно ихх[х, 0).
Методика исследований. В диссертации используются методы математической физики и дифференциальных уравнений на геометрических графах.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:
для классического решения волнового уравнения на геометрическом графе при а-гладких условиях трансмиссии и однородных краевых условиях первого и второго рода (в любом сочетании) получен аналог формулы Даламбера - при минимальных требованиях на регулярность начальных данных;
на основе аналога формулы Даламбера получено представление решения системы телеграфных уравнений на геометрическом графе в случае неискаженного сигнала;
для волнового уравнения на геометрическом графе при а-гладких условиях трансмиссии и однородных краевых условиях в одной граничной вершине первого рода, а в остальных - второго, получено конечное представление ядра интегрального оператора, обращающего эту начально-краевую задачу относительно ихх(х, 0) (при щ(х, 0) = 0), - представление через функцию Грина для индуцированного лапласиана;
для волнового уравнения па геометрическом графе-звезде с одной внутренней вершиной и тремя рёбрами при гладких условиях трансмиссии и краевых условиях только второго рода, получено конечное представление ядра интегрального оператора, обращающего начально-краевую задачу относительно ихх{х, 0) -представление через двупараметрическое семейство кусочно-линейных функций.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретичес-
кий характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике и в теории дифференциальных уравнений на геометрических графах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на: воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XVI" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2005 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтеиия-XVII" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2006 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XVIII" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2007 г., II Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования", г. Воронеж, 2007 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-ХІХ" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2008 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-ХХ"—Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2009 г., Российско-китайском симпозиуме по комплексному анализу, г. Белгород, 2009 г., а также на семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям (руководитель - профессор Солдатов А.П.) в Белгородском государственном университете, 2009 г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[11]. В совместных работах [1], [2], [5], [8] и [11] Прядиеву В.Л. принадлежат постановка задачи и идея доказательства, а автору диссертации - сами доказательства. Работа [11] напечатана в издании, соответствующему списку ВАК РФ.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Объём диссертации 93 стр. Библиография содержит 51 наименование.
