Введение к работе
Актуальность темы. Начально-краевые задачи для квазилинейных яифферрпшталт.пых уравнений с частными производными являются в настоящее время одним из интенсивно развивающихся направлений математики и ее приложепий.так как они описывают реальные физические процессы при больших скоростях,высоких давлениях и тсмпсратурах.Тсрмин "уравнепия переменного типа" появился в работах академика Н.Н.Янепко в связи с рассмотрением,в частности, уравнений параболического типа со сменой направления па-раболичности.Постановка краевых задач для указанных уравнений требует специального рассмотрения, они не вкладываются в общую теорию параболических уравнений.То же касается и некоторых классов вырождающихся уравнений, поскольку постановка краевых задач для них часто носит иной характер, чем в невырожденном слу-чае.Разрешимости краевых задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений со специальным вырождением,а также для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, посвящена диссертация.
Цель работы. Цель работы заключается в том, чтобы изучить особенности краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, и для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений, создать новые подходы к исследованию подобных задач.
Общая методика исследования. При решении поставленных задач используются методы исследования квазилинейных дифференциальных уравпепий как обыкновенных, так и с частными производными, созданные в теории монотонных операторов, теории релаксационных колебаний, теории уравнений с малым параметром при старшей производной.
Научная новизна. В диссертации впервые установлены следующие результаты:
1.Предложены и разработаны методы решения первой краевой задачи для обыкновенного дифференцального уравнения, не разре-
ішшпого относительно партой производной.
2.Доказаны теоремы о сушествованни решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений с нестрого монотонными (вырождающимися) коэффициентами.
Теоретическая и практическая значимость. В диссертации найдены условия, обеспечивающие существование трех в смысле вводимых определений типов решений краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно старшей производной, а также установлена структура каждого из трех типов решений; предложены также условия, обеспечивающие разрешимость квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического и параболического типов, когда старшие коэффициенты допускают существенное вырождение. В этом теоретическая значимость работы. Изученные в диссертации классы дифференциальных уравнений имеют своим источником математические модели конкретных физических процессов, детально изложенные, например, в трудах академика Н.Н.Янепко. Результаты диссертации могут быть использованы, в частности, в этом направлении.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава Тульского государственного университета, на Шестой научной межвузовской конференции ''Математическое моделирование и краевые задачи"/Самара - 1996 г./, а также на 1 Международной научно-практической конференции "Дифференциальные уравнения и Их применения"/Санкт-Петербург - 1996г./ Детально результаты неоднократно докладывались на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Г.И. Лаптева. В целом диссертация доложена на заседании кафедры высшей математики Тульского государственного университета и на семинаре по дифференциальным уравнениям Московского энергетического института под руководством проф. Ю .А. Дубинского.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы и занимает 116 страниц машинописного текста, включающего 9 рисунков. Библиография содержит 31 наименование.
