Введение к работе
Актуальность темы.
В последние годы аппарат дробного интегро-дифференцирования всё более интенсивно используется при построении математических моделей различных процессов в реальных средах. Например, существуют модели, описывающие процессы диффузии и распространения волн в средах с памятью или с фрактальной геометрией, модели деформации вязко-упругого материала и т. д. Уравнения с производными дробного порядка тесно связаны со стохастическими моделями. Дробное интегро-дифференцирование используется также для решения прикладных задач автоматического управления.
Тем не менее, методы аналитического решения дифференциальных уравнений с производными дробного порядка ещё недостаточно разработаны. Большинство существующих подходов позволяет получать аналитические решения лишь для определенного класса линейных уравнений и некоторых нелинейных уравнений с дробными производными. В простейших случаях решение удаётся построить методом последовательных приближений после сведения уравнения к интегральному. Для поиска решений линейных уравнений часто используются интегральные преобразования Лапласа и Мелли-на. Для нелинейных уравнений развиты методы построения приближений к решению, например, методы разложения Адомиана и гомотопического возмущения.
Одним из эффективных подходов к построению решений уравнений с производными целого порядка является использование методов группового анализа. Однако до сих пор эти методы не нашли применения в теории дробных дифференциальных уравнений. Известны лишь отдельные работы, использующие элементы группового анализа для исследования таких уравнений. Например, в работе Ю. Лучко и Р. Горенфло1 построена группа преобразований растяжения, оставляющая инвариантным линейное уравнение с частными производными дробного порядка, а также показана возможность использования этих преобразований для построения автомодельных решений.
В данной работе развивается инфинитезимальный подход к ИССЛедОВа-^и. Luchko, R. Gorenflo. Scale-invariant solutions of a partial differential equation of fractional order// Fractional Calculus and Applied Analysis. - 1998. - Vol. 1. - Issue 1. - P. 63-78.
нию симметрийных свойств уравнений с производными дробного порядка с одной независимой переменной. Решаются задачи классификации таких уравнений и иллюстрируется возможность применения симметрии для построения точных решений классов нелинейных уравнений с дробными производными. Для построения точных решений применяется также метод инвариантных подпространств, развитый в работах В. А. Галактионова и С. Р. Свирщевского.
Целью настоящей работы является распространение методов группового анализа дифференциальных уравнений на уравнения с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля по одной независимой переменной, классификация некоторых классов таких уравнений и систем, построение примеров новых точных решений нелинейных уравнений с производными дробного порядка.
Методы исследования. При решении поставленных задач использованы методы группового анализа дифференциальных уравнений, аппарат дробного интегро-дифференцирования, метод инвариантных подпространств для эволюционных уравнений.
Научная новизна.
-
Развит инфинитезимальный подход к исследованию симметрийных свойств уравнений с производными дробного порядка: построена формула продолжения инфинитезимального оператора группы преобразований на дробные производные и интегралы типа Римана-Лиувилля, а также предложен конструктивный алгоритм построения допускаемых операторов линейно-автономного типа для уравнений с такими производными.
-
Проведена классификация по допускаемым группам точечных преобразований, порождаемых линейно-автономными операторами, трёх классов уравнений с одной независимой переменной и производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля. На основе полученных симметрии построены классы точных решений рассмотренных нелинейных уравнений.
-
Исследованы симметрийные свойства систем двух уравнений с двумя неизвестными функциями одной переменной, содержащих производные дробного порядка; построена оптимальная система одномерных подалгебр бесконечномерной алгебры Ли операторов, порождающих группу эквивалентности рассмотренной системы уравнений, и полная оптимальная система для её конечномерной части размерности 6; найдены классы систем, допускающих данные подалгебры.
-
Предложена схема применения метода инвариантных подпространств для построения частных решений уравнений эволюционного типа с дробной производной по времени.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть применены для исследования различных уравнений с производными дробного порядка и построения классов точных решений таких уравнений.
Работа выполнялась при поддержке гранта правительства РФ M1.G34.31.0042 по постановлению №220 (2011-2013 г.) и НИР №1.3225.2011 в рамках гос. заказа УГАТУ (2012-2013 г.).
Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:
Уфимская международная математическая конференция «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика» памяти А.Ф. Леонтьева, г. Уфа, 2007;
International conference MOGRAN-11 «Lie Group Analysis in Education and Research», г. Карлскрона (Швеция), 2007;
Всероссийская молодёжная научная конференция «Мавлютовские чтения», г. Уфа (Россия), 2007;
5-я Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», г. Самара (Россия), 2008;
2nd Conference of Nonlinear Science and Complexity, г. Порто (Португалия), 2008;
International Workshop on New Trends in Science and Technology, г. Анкара (Турция), 2008;
3rd IFAC Workshop on Fractional Differentiation and its Applications (FDA 2008), г. Анкара (Турция), 2008;
Международная конференция «Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений (MOGRAN-13)», г. Уфа (Россия), 2009;
XI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), г. Кисловодск (Россия), 2010;
5th IFAC Symposium on Fractional Differentiation and its Applications (FDA 2012), г. Нанкин (Китай), 2012;
5-я Российская конференция с международным участием «Многофазные системы: теория и приложения», посвященная 20-летию со дня основания Института механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН, г. Уфа (Россия), 2012;
Международная конференция «Современный групповой анализ (MOGRAN-15)», г. Кемер (Турция), 2012;
Международная конференция «Современный групповой анализ (MOGRAN-16)», г. Уфа (Россия), 2013;
Семинар по интегрируемым системам, Институт математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, г. Уфа (Россия), 2013.
Достоверность полученных результатов и выводов обосновывается тем, что в работе использовались широко распространённые и общепризнанные методы группового анализа дифференциальных уравнений, а также известный и корректный математический аппарат теории дробного интегро-дифференцирования.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ [1]—[17]. Из них 9 в виде статей (в том числе 5 - в журналах из списка ВАК), 8 - в виде тезисов.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации составляет 118 страниц, в том числе 6 таблиц. Список литературы состоит из 60 наименований.
