Асимптотические методы построения решений квазилинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка Чан Тхи Ким Тьи 0

Данный автореферат диссертации должен поступить в библиотеки в ближайшее время
Уведомить о поступлении

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - 240 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Чан Тхи Ким Тьи 0. Асимптотические методы построения решений квазилинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка : ил РГБ ОД 61:85-1/2493

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Построение асимптотического решения квазилинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными параметрами 14

1. Асимптотическое решение автономного уравнения . 14

2. Асимптотическое решение неавтономного уравнения в нерезонансном случае 31

3. Резонансный случай 35

ГЛАВА II. Квазилинейные дифференциальные уравнения произвольного порядка с мвдленно мешющймися параметрами 51

1. Автономное уравнение 51

2. Неавтономное уравнение 65

ГЛАВА III. Квазилинейные дифференциальные уравнения третьего порядка с запаз.эдванием 80

1. Автономное уравнение 80

2. Неавтономное уравнение в нерезонансном случае . 85

3. Резонансный случай 89

Литература

Асимптотическое решение неавтономного уравнения в нерезонансном случае
Резонансный случай
Неавтономное уравнение
Неавтономное уравнение в нерезонансном случае

Введение к работе

В настоящее время в биологии, теории управляемых систем, радиотехнике и особенно в динамических упругих системах с учетом реальных свойств материала часто приходится иметь дело с такими колебательными процессами, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями высокого порядка.

Простым примером колебательной системы третьего порядка является тело с массой m , закрепленное на консольной балке, которая изготовлена из вязко-упругого материала типа іука-Максве-ла. Условная схема системы изображена на рис, I. Уравнения движения указанной системы имеют вид тх +сх + ^ (сс-н) = F > Ui-u) + кг. ^о ., где т - масса, у\ - коэффициент вязкости, К и с - жесткости, f= - внешняя сила. Смысл величин х и z показан на рис.1, инерция демпфера не учитывается.

Исключая переменную 2 , получим дифференциальное уравнение третьего порядка

С * _л2> г ^2. Л і ' if - ^l==-V і ^Л=8ї?г (0.1)

//////////'/////

Рис. I

В* биологии при изучении таких важных явлений, как дифферен-цировка ткани или изоляции видов, необходимо изучение бифуркации стационарной точки. В некоторых случаях требуется изучение окрестности сложных особых точек, которые тесно связаны с дифференциальным уравнением вида [7]

ОС +С0²Х ₌ ef(oc_tCj6S) (0.2)

Некоторые управляемые системы такке описываются дифференциальным уравнением третьего порядка [25] XtX₊ (J-X²)X + X =0 ; (0.3) в котором нелинейность обуславливается центральной восстанавливающей силой. Здесь периодические решения уравнения (0.3) представляются с помощью метода возмущений в виде гармонических функций.

Работы [II,12,13] посвящены исследованию дифференциальных уравнений типа (0.4) бс+ах + Ьх+х + (iffr)= cos cot_;

Нелинейная функция (*-) представляется в виде разложения по ультрасферическим полиномам, в котором удерживается линейный член. Здесь рассмотрена зависимость амплитуды от частоты о> вы нужденных колебаний [31,33] и устойчивость системы в случае /(*)= я* f34] .

В работе Осинского 3. и Бояджеева Г. [28] асимптотический метод, разработанный Митропольским Ю.А., применен для построения решений уравнения типа

Лс _+т<* _+аа^₊„,*мх=еАсфА^, г) , (0.5) где Т= t - медленно меняющееся время. Решение этого уравнения найдено в форме І.₌ |СОа ₊ А,а,а)+Е^г... .

4_=?W ₊ ac,_№W ₊ *... . _(o_₆₎

Мартынюк Д.И. и Форчук В.й. [ 9] рассмотрели периодические решения дифференциального уравнения и -го порядка с запаздыванием типа ^^effrxVMt-Vy-.M"'^,^-'*)^) , (0.7) где - малый параїлетр, функция -f периодическая по t с периодом яте и аналитическая по остальным переменным в области ..-;|x⁽"-'VL T » R , f* -Некоторые ПОЛОЖИТеЛЬНЫе ДОСТОЯННЫе, г#) = x(-t-t)

Авторы показали, что заменой переменных уравнение (0.7) можно привести к системе уравнений стандартного вида. Для исследования периодических решений такой системы можно использовать затем метод усреднения Боголюбова и Митропольокого, но при таком приведении решения уравнения (0.7) зависят от дробных степеней б и исследование периодических решений затрудняется. Поэтому желательно построить алгоритм, позволяющий находить периодические решения уравнения (0.7), содержащие только целые степени ё Изложенный в [3] алгоритм для обыкновенных дифференциальных уравнений п -го порядка помог достичь этой цели.

Периодические решения уравнения (0.7), содержащие только целые степени t , строятся на основе следующей теоремы.

Теорема 9 . Для любого положительного Ь < R существует B_i >о такое, что для каждой постоянной а , удовлетворяющей условию|а/<Ь»и каждого ЄЄІ-Е^Ві] существует единственная функция = Z ft>'(*,) , аналитическая по a. , е и удовлет- воряющая соотношению (0.8) где I - тождественный оператор, Р - оператор усреднения. Функцию ZW можно получить методом последовательных приближений по формуле

Если существует о<₂<, и аналитическая функция асе) такие, что /a()|z (0.10) то Z(-tj4() )t) является периодическим решением уравнения (0.7) и, обратно, если уравнение (0.7) имеет периодические решение

Исследование нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка можно найти также в некоторых других статьях, например, в [6,8,26,27,29,30,32] . В этих работах авторн иополь-зовали различные методы отыскания решений нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка в конкретных случаях.

Предлагаемая работа посвящена применению асимптотического метода, разработанного Крыловым - Боголюбовым - Митропольским [і,6,12,15,16] , к исследованию квазилинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными параметрами, с медленно меняющимися параметрами, и с запаздыванием. При этом основное внимание уделено построению семейства периодических решений указанных уравнений. Эти решения в ряде важных случаев обладают свойством сильной устойчивости, заключающимся в том, что любое решение при начальных значениях, близких к начальным значениям этих решений, стремится к последним при 8->о

Построение приближенных решений указанных уравнений с помощью асимптотического метода имеет ряд преимуществ. Во-первых, наряду с исследованием стационарных решений этот метод дает возможность изучать переходные процессы, близкие к стационарным, как в системах с постоянными параметрами, так и в системах с медленно изменяющимися параметрами ГIIД2] . Во-вторых, исследование устойчивости стационарных решений очень просто, так как в первом приближении оно приводит к изучению устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами.

Работа состоит из введения и трех глав.

Первая глава посвящена изложению асимптотического метода построения решений квазилинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными параметрами. В первом параграфе исследуется автономное уравнение вида (N) (N-0 - (И-І) х +о^ +...+o(_N_₁x₊o<_Na = |=(»,x_J...,a^l ,), (о.П) где x^l4=-~-JE , о( ,..., <х -вещественные постоянные, 8 - малый параметр, функция F имеет достаточное число производных по всем ее аргументам. С помощью асимптотического метода для уравнения (0.11) построено семейство частных двухпараметричес-ких периодических решений как в одночастотном режиме, когда характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней, так и в многочастотном режиме, когда характеристическое уравнение имеет не одну, а несколько пар чисто мнимых корней и нет внутренних резонансов. В случае линейной системы многочастотные решения при наличии нескольких пар чисто мнимых корней характеристического уравнения получаются на основании принципа суперпозиции как линейная комбинация одночастотных решений. В случае квазилинейной системы принцип суперпозиции не имеет места, и мы не можем из одночастотных решений получить многочастотные. В этом случае многочастотное решение необходимо искать непосредственно.

Во втором параграфе рассматривается неавтономное уравнение _{^«^і..^^***'*'-"'^--"**))} (0,12)

ЛЯЄТСЯ ПерИОДИЧеСКОЙ ПО ПеремеННЫМ 1 , . .. , &f С ПерИОДОМ 271 для нерезонансного случая, когда между корнями характеристического уравнения и частотами У; не существуют соотношения типа ^- + ^+^+- + ^^ = ) ^(0ЛЗ) ( т=^А,г_ґ--^ _} m , f>_M - целые числа).

В нерезонансном случае построение приближенных решений с помощью асимптотического метода аналогично автономному случаю. Отличие будет лишь в том, что приближенные решения содержат еще и б», , ...» єу *

В третьем параграфе исследуется неавтономное уравнение (0.12) в резонансном случае. Здесь рассматриваются как простой, так и комбинационный резонанси. При простом резонансе внешняя сила является одночастотной (У) и резонирует лишь с одной из собственных частот ( -& ): Jl=J^Y (0.14) где <] , небольшие целые числа. Комбинационный резонанс имеет место, когда выполняются равенства (0.13). Этот случай включает в себя овозможность внутренних резонансов вида (0.15) где fM-eonrt ( і =1,2,..., г ), функция _Р яв-

В первой главе также излагаются в сжатой форме необходимые сведения из теории устойчивости стационарных решений системы уравнений для амплитуд и фаз, которые используются при изучении конкретных задач.

Вторая глава посвящена исследованию дифференциальных уравнений произвольного порядка с медленно меняющимися параметрами, В первом параграфе рассматривается автономное уравнение типа

Д«|/^в₊..Л Ю*₊«ус)х . CFtt,*.*,..,**"! «)', ^(0Л6) где Твб-fc - медленное время.

Сначала изучается случай одночастотного решения этого уравнения, когда при некотором фиксированном значении -т характеристическое уравнение имеет пару простых чисто мнимых корней, а остальные корни имеют достаточно большую по величине отрицательную вещественную часть. Может случиться, что характеристическое уравнение не имеет чисто мнимых корней, но имеет корни с достаточно малой вещественной частью. Тогда в силу непрерывной зависимости корней уравнения от его коэффициентов мы можем изменить параметры уравнения (0.16) так, чтобы характеристическое уравнение имело чисто мнимые корни. Соответствующие поправочные члены относим к нелинейным членам уравнения (0.16).

В конце первого параграфа данной главы исследуется многочастотное решение уравнения (0.16), когда характеристическое уравнение имеет не одну, а несколько пар чисто мнимых корней, но при условии, что отсутствует внутренний резонанс.

Во втором параграфе рассматривается неавтономное дифференциальное уравнение с медленно меняющимися параметрами* Вначале исследуется одночастотное решение уравнения вида - II -

Л^(т)х⁽^+... ₊ «_н_(Т)х₊^(с)х = Р(т,х,х_;...^^ы"¹⁾₅0,) _; (0.17) для простого резонансного случая, когда частота s>(r) = ^ на-ходится в следущемм отношении с характеристическим корнем: ii(T) = -^vcc)₊6-(r)_J (0.18) где cj , р - небольшие целые числа. Второй параграф заканчивается исследованием многочастотных решений неавтономного дифференциального уравнения с медленно менящимися параметрами вида оЛ ч,Ю *^(ЛМ + + *_Н_\Ъ +X)* = F(t,x,K,..._; г^^_г..;б_г;)j (0.19) здесь правая часть содержит г угловых переменных e_i ,..., е_г Предполагается, что в рассматриваемом промежутке изменения % выполняются условия резонансов %т^^[г)+ "-^С^^^-^^Л^ ⁼⁰ ⁽⁰*²⁰> ( _т- і,г,...,? ) ^r^^e ^т » Ьт - небольшие целые числа, некоторые из них могут быть и нулями* Условия (0.20) включают в себя все возможные ре- зонансы.

Следует заметить, что построение высоких приближений решения по предложенноілу асимптотическому методу не представляет принципиальных затруднений. Однако в практике уже первых двух, а часто и одного первого или первого улучшенного приближения бывает вполне достаточно.

В третьей главе рассматривается квазилинейное дифференциальное уравнение третьего порядка с запаздыванием.

В первом параграфе дается способ построения приближенных решений для автономного уравнения вида № \d# ^z dt ⁵ ' di*- '* dt '³ * «**' " ** (0.21)

ГДЄ V . <*g , o<₃ , |5_(f , fa , |3₅ , Л - ПОСТОЯННЫе, - МЭЛЫЙ параметр, при предположении, что харшстеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней Ту = ±iii и остальные корни имеют достаточно большую по величине отрицательную вещественную часть.

Во втором параграфе рассматривается неавтономное уравнение в нерезонансном случае, когда функцияр, стоящая в правой части уравнения (0.21), имеет вид р = е(дШ, <**«:) ,^d%^ ,gft-A) dacCt-Д) d²ocft-A) я . _}

Нерезонансность заключается в отсутствии соотношений типа ,рл₊^=о , cj , - целые числа.

Влияние внешнего возбуждения 0 в данном случае выражается в том, что решение уравнения будет содежать о - ІЗ -

В третьем параграфе асимптотические разложения строятся в резонансном случае, когда выполняется следующее соотношение

Л =±V+6" здесь ф , с\ - некоторые взаимно простые числа, определяющие вид резонанса, <г - расстройка частот. Устойчивость стационарных решений исследуется с помощью критерия Рауса-Гурвица.

В настоящей работе эффективность асимптотического метода для решения дифференциальных уравнений произвольного порядка демонстрируется на конкретных примерах, связанных с различными практическими задачами.

Как было отмечено в [ІД2] практическая применимость асимптотического метода определяется не свойствами сходимости указанных рядов при увеличении до бесконечности числа членов разложения, а их асимптотическими свойствами для m первых членов и ->о . Поэтому здесь мы не будем изучать проблему сходимости при w -» оо и условимся рассматривать представленные разложения как формальные, необходимые для построения астштотичеоких приближений.

Основные результаты настоящей работы опубликованы в статьях [17,18,21-24,35] .

Асимптотическое решение неавтономного уравнения в нерезонансном случае

В третьем параграфе исследуется неавтономное уравнение (0.12) в резонансном случае. Здесь рассматриваются как простой, так и комбинационный резонанси. При простом резонансе внешняя сила является одночастотной (У) и резонирует лишь с одной из собственных частот небольшие целые числа. Комбинационный резонанс имеет место, когда выполняются равенства (0.13). Этот случай включает в себя овозможность внутренних резонансов вида (где fM-eonrt ( і =1,2,..., г ), функция Р яв

Во втором параграфе рассматривается неавтономное дифференциальное уравнение с медленно меняющимися параметрами Вначале исследуется одночастотное решение уравнения вида для простого резонансного случая, когда частота s (r) = на-ходится в следущемм отношении с характеристическим корнем: где cj , р - небольшие целые числа. Второй параграф заканчивается исследованием многочастотных решений неавтономного дифференциального уравнения с медленно менящимися параметрами вида здесь правая часть содержит г угловых переменных ei ,..., ег Предполагается, что в рассматриваемом промежутке изменения % выполняются условия резонансов r e т » Ьт - небольшие целые числа, некоторые из них могут быть и нулями Условия (0.20) включают в себя все возможные ре зонансы.

Резонансный случай

Если все собственные значения матрицы имеют отрицательные вещественные части, то стационарное решение «о=К»-) ogo) системы Уравнений (І.4І) асимптотически устойчиво. Если хотя бы одно собственное значение матрицы ф имело положительную вещественную часть, то стационарное решение QQ неустойчиво. Для решения вопроса об устойчивости стационарного решения в критическом случае, когда матрица ф не имеет собственных значений с положительными вещественными частями, но имеет собственные значения с нулевыми вещественными частями, необходимо рассматривать уравнения возмущенного движения с учетом членов более высоких степеней.

На основе критерия устойчивости мы приходигл к выводу, что стационарные амплитуды (I.5I)j, (I.5I)2, (I.5I)3 - неустойчивы, они имеют тип седла, и что стационарная амплитуда (1.51) устойчива, она имеет тип фокуса [19] . Фазовый портрет имеет вид, показанный на рис. 2.

В отличие от предыдущего параграфа здесь между величиной У= и корнями характеристического уравнения (1.3) существует опре деленное соотношение. Рассмотрим сначала простейший случай, когда характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней =±іл , а его остальные корни имеют отрицательную вещественную часть с достаточно большими абсолютными значениями и резонансное соотношение имеет вид периодические функции с периодом 2ТГ по обеим угловым переменным и в , не содержат первых гармоник cos Ф , sw$ . Величины а и У -некоторые функции времени, которые мы должны определить из соответствующих дифференциальных уравнений. Так как разность фаз при резонансе может оказать существенное влияние на изменение амплитуды и частоты, то в отличие от ранее рассматривавшихся случаев будем представлять .—- и —— как функции не только а , но и Ф . Поэтому для определения о и у составляем следующую систему

Таким образом, нам нужно определить функции A; (a jty) , $(а,ц ) . Как и раньше, подставляем выражения (1.68), (1.70) в уравнение (1.66) с учетом

Рассмотрим квазилинейное "автономное" дифференциальное уравнение высокого порядка с медленно меняющимися параметрами вида где отсутствуют члены, зависящие явно от времени t , te [о,т] Т - конечное значение, - малый положительный параметр, T=t - медленное время, указывающее на то, что параметры уравнения (2.1) изменяются медленно, т.е. их производные по независимой переменной "t пропорциональны малому параметру Переходя к построению асимптотического приближенного решения уравнения (2.1), предположим, что для любых коэффициенты о (Х) ( і =1,2,..., N ) и функция Ffa / /-у їг) имеют достаточное число производных по всем их аргументам. Допустим также, что характеристическое уравнение имеет для некоторого постоянного значения] одну пару чисто мнимых корней, а остальные корни имеют отрицательную вещественную часть с достаточно большой абсолютной величиной. Более общий случай будет изучен позже.

Одновременно с уравнением (2.1) рассмотрим еще уравнение где параметр т рассматривается как постоянная величина и, следовательно, коэффициенты { ) - постоянные. Уравнение (2.3) мы получаем, положив в уравнении (2.1) В =0и считая С некоторым постоянным параметром. Уравнение (2.3) мы будем называть вырожденным уравнением, соответствующим уравнению (2.1). Уравнение (2.3) имеет семейство частных периодических решений, зависящих от двух параметров oc = acos p ; (2.4)

Наличие нелинейного возмущения ( Є 0), а также медленного изменения ряда параметров приводит к появлению в решении уравнения (2.1) ряда дополнительных явлений по сравнению с получаемыми по формуле (2.4). Мы будем искать решение уравнения (2.1) в виде разложения в котором являются периодическими функциями переменной р с периодом ETC , ограниченными для конечных значений а , а величины о, и р , как функции времени, определяются следующими дифференциальншли уравнениями

Переходим теперь к нахождению неизвестных функций UL(T;a,cp), A-CCjO) » B-(TjQ) . При этом требуем, чтобы в выражениях Ц(т,а,(р; отсутствовали первые гармоники cosf и s mcp Это требование, как известно [l,2] , обеспечивает однозначность функций

Неавтономное уравнение

Исследуем теперь квазилинейное неавтономное дифференциальное уравнение высокого порядка с медленно менявшимися параметрами типа функция, перио дическая по переменной с периодом Zii , которая может быть представлена в виде

Коэффициенты Fh являются полиномами Допустим, что коэффициенты Х;(т) уравнения (2.37), а также р (г х,..., xM,в) и тКт) имеют достаточное число производных по т . Предположим еще, что характеристическое уравнение (2.2) для некоторого значения Te[o»L] имеет одну пару чисто мнимых корней \= ± і ЛСГ) 9 а остальные корни имеют отрицательную вещественную часть с достаточно большой абсолютной величиной.

Мы будем рассматривать резонансный случай, когда существует следующее отношение между тХг) и п(х) : где \ и р - некоторые целые взаимно простые числа. Аналогично случаю неавтономного уравнения с постоянными коэффициентами мы будем искать частное двухпараметрическое решение уравнения (в виде асимптотического ряда являются периодическими функциями с периодом 27г относительно переменных в не содеркат первых гармоник cos$ , sw# . Величины а и V как фунудии времени определяются из уравнений

Для нахождения неизвестных функций ц-(і,о, Ф,&) , Af (Т,а,V) , В аіЧО подставляем выражения (2.40) в (2.37), згчитывая при этом формулу для х Предположим, что коэффициенты о .ф уравнения (2.53), а также тлеют достаточное число производных для всех т , принадлежащих интервалу CO,L] и что характеристическое уравнение (2.2) для некоторого постоянного значения TeCo,L3 имеет і пар чисто мнимых корней Л= ±LI2SCT) , s = а остальные корни имеют отрицательную вещественную часть с достаточно большой абсолютной величиной. Кроме того предположим, что существуют следующие соотношения между л5(г) и Vseo вида

Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка с запаздыванием изучены достаточно полно. Теория таких уравнений излагается во многих работах [4,5,10,13,14,20] . Однако до настоящего времени нелинейные уравнения более высокого порядка с запаздыванием рассмотрены только в некоторых особенных случаях, например, в работах [8,9] . В этой главе рассматриваются квазилинейные дифференциальные уравнения третьего порядка с запаздыванием, к исследованию которых приводят механические задачи с учетом наследственности материала, а также другие физические и биологические задачи.

Допустим, что характеристическое уравнение для уравнения (3.2) имеет пару чисто мнимых простых корней Л = ± і Л , а остальные корни имеют достаточно большую по величіше отрицательную вещественную часть/Легко проверить, что число _а удовлетворяет следующим уравнениям

В данном случае порождающее уравнение (3.2) имеет семейство частных периодических решений, зависящих от двух произвольных параметров: где a , v - постоянные.

Рассмотрим теперь следующую задачу. Построить асимптотические формулы для частного решения исходного дифференциального уравнения (3.1), которое при малых близко к решению (3.5) порождающего уравнения (3.2).

Мы будем искать указанное решение в виде Здесь p(t) = л + Ц , а функции Ц(а,ср) , иг(а,ср) ,... являются периодическими с периодом 271 по Ф . Величины а и f как функции времени должны быть определены из системы уравнений

Задача сводится к определению выражений для неизвестных функций и интегрированию системы уравнений (3.7). Для однозначного определения функций (3.8) требуем, чтобы в выражениях для ЦСад) , отсутствовали первые гармоники утла 9 : cos p si ncp . Подставляя в уравнение (3.1) выражение для функции xft) и ее производные, вычисленные с учетом уравнений (3.7), раскладывая затем обе части полученного равенства в степенной ряд по 6 и приравнивая коэффициенты, получим следующие уравнения

Неавтономное уравнение в нерезонансном случае

Для любого положительного Ь R существует Bi о такое, что для каждой постоянной а , удовлетворяющей условиюа и каждого существует единственная функция = Z ft ( ,) , аналитическая по a. , е и удовлет воряющая соотношению где I - тождественный оператор, Р - оператор усреднения. Функцию ZW можно получить методом последовательных приближений по формуле

Если существует о и аналитическая функция асе) такие, что является периодическим решением уравнения (0.7) и, обратно, если уравнение (0.7) имеет периодические решение выражением (0.10).

Работа состоит из введения и трех глав.

Первая глава посвящена изложению асимптотического метода построения решений квазилинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными параметрами. В первом параграфе исследуется автономное уравнение вида вещественные постоянные, 8 малый параметр, функция F имеет достаточное число производных по всем ее аргументам. С помощью асимптотического метода для уравнения (0.11) построено семейство частных двухпараметричес-ких периодических решений как в одночастотном режиме, когда характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней, так и в многочастотном режиме, когда характеристическое уравнение имеет не одну, а несколько пар чисто мнимых корней и нет внутренних резонансов. В случае линейной системы многочастотные решения при наличии нескольких пар чисто мнимых корней характеристического уравнения получаются на основании принципа суперпозиции как линейная комбинация одночастотных решений. В случае квазилинейной системы принцип суперпозиции не имеет места, и мы не можем из одночастотных решений получить многочастотные. В этом случае многочастотное решение необходимо искать непосредственно.

Асимптотические методы построения решений квазилинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка Чан Тхи Ким Тьи 0

Асимптотическое решение неавтономного уравнения в нерезонансном случае

Резонансный случай

Неавтономное уравнение

Неавтономное уравнение в нерезонансном случае

Похожие диссертации на Асимптотические методы построения решений квазилинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка