Введение к работе
Актуальность темы. Асимптотическая теория играет исключительно важную роль при решении широкого круга математических, физических и инженерно-физических задач, поскольку класс задач, допускающих решение в явном виде, довольно узок.
Для анализа волновых полей наиболее распространенным является метод геометрической оптики. Это простой и наглядный метод, имеющий свои аналоги для описания явлений различной физической природы, в настоящее время является одним из основных рабочих инструментов среди специалистов по асимптотическим методам.
Однако классический метод геометрической оптики не применим в случае экспоненциально малых рассеянных полей, хотя задачи отыскания асимптотик таких полей встречаются в различных областях физики и имеют важное значение. Такова, например, задача исследования тонкой структуры спектра оператора Шредингера и задача о просачивании через потенциальный барьер в квантовой механике, изучение решений задач дифракции в зоне глубокой тени и многие другие задачи.
Цель работы состоит в разработке метода построения асимптотик решений волновых уравнений, учитывающего как осцилляцию, так и экспоненциальное убывание (так называемых экспоненциальных асимптотик).
Методика исследования. Методологической основой данной работы является метод канонического оператора Маслова,1 теория дифферен-щальных уравнений на комплексно-аналитических многообразиях, развитая в работах Стернина и Шаталова,3 и возникшая в последнее время теория ресургентных функций Экаля.3
1 Маслов В. П. Асимптотические методы н теория возмущений. М.: Наука, 1988.
* Стерпши Б.Ю., Шаталов В. Б. Дифференциальные уравнения на хомплехсяо-шалитических многообразиях и кананнчесхий оператор Маслова. УМН, 1988,т.44, N I, с. 117-148
3Ecalle J. Lee fonctiona reaurgenta (3 tomes). Pari*: Publ.Math.Univenrite Paria-Sud,
Научная новизна работы. В диссертации
-
Разработан иетод получения экспоненциальных асимптотик на уровне главного (доминантного) члена.
-
Построены функциональные пространства, в которых данная асимптотика является корректной.
-
Продемонстрирован метод на примере задачи о прохождении электромагнитных волн через ионосферный слой.
Благодарности. Я признательна профессорам Стернину Б.Ю. и Шаталову В.Б. за постановку задачи и помощь при написании работы.
Публикации. Основные результаты работы отражены в 2 статьях.
Структура и обьем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий обьем работы составляет 58 страниц, в том числе 16 рисунков и список литературы из 61 наименования.
