Введение к работе
Актуальность темы. За последние 30 лет одним из наиболее мощных инструментов в исследовании нелинейных явлений стал метод обратной задачи, применимый к ряду фундаментальных уравнений математической физики. В 1967 году был открыт замечательный механизм, связывающий некоторые важные нелинейные уравнения со спектральной теорией вспомогательных линейных дифференциальных операторов и позволяющий эффективно строить многосо-литонные решения таких уравнений, описывающие взаимодействие конечного числа солитонов — уединенных волн вида и = и(х — ct) (работы Крускала, Гарднера, Миуры, Лакса, Захарова, Шабата и других). Начиная с пионерской работы СП. Новикова 1974 года, в рамках метода обратной задачи интенсивно развиваются методы построения решений нелинейных уравнений, широко использующие аппарат алгебраической геометрии и получившие название теории алгебро-геометрического или конечнозонного интегрирования. На основе развитой в этой теории общей схемы, сердцевиной которой является аппарат функций Бейкера - Ахиезера, в работах Новикова, Дубровина, Кричевера, Матвеева, Итса и других авторов построены периодические и квазипериодические решения ряда важных нелинейных уравнений в терминах тэта-функций (такие решения также называются конечнозонными), получены приложения к задачам физики, механики, гидродинамики.
Имеется ряд солитонных уравнений, для которых построение ко-нечнозонных решений методом функций Бейкера - Ахиезера связано с большими трудностями. В ряде случаев не удается точно построить экспоненциальный множитель в тэта-формуле для функции Бейкера - Ахиезера. Препятствия возникают и в случае, когда алгебраическая кривая, по которой строится решение, имеет двойные точки. К числу уравнений, для которых имеют место трудности указанных типов, относятся уравнение Г. Дима, возникающее в задачах гидродинамики и геометрии, уравнения WKI-серии, и уравнение Кричевера - Новикова, играющее важную роль в теории уравнения Кадомцева - Петвиашвили.
В связи со сказанным актуальной является задача поиска других подходов к построению конечнозонных решений.
Цель работы -— разработка метода построения конечнозонных решений солитонных уравнений, основанного на приведении этой задачи к задаче обращения Якоби на алгебраической кривой, и получение приложений к конкретным нелинейным уравнениям математической физики.
Методы исследования — применены аппараты алгебраической геометрии римановых поверхностей, примфункции Веиерштрасса и билинейных дифференциальных операторов Хироты.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие основные результаты.
Выведены тэта-формулы для сумм абелевых интегралов второго и третьего рода в теории задачи обращения Якоби.
Разработан метод построения конечнозонных решений (1+1)-уравнений, представимых в виде уравнения нулевой кривизны, основанный на приведении к задаче обращения Якоби. Метод проиллюстрирован на трех примерах: системе уравнений кирального поля, уравнениях Гарри Дима и Кричевера - Новикова.
Установлена связь формулы редукции тэта-функции двулистного накрытия эллиптической кривой и известного разделения переменных в уравнении Кадомцева - Петвиашвили, появляющегося в задаче деформации пар коммутирующих операторов ранга 2.
Построены формулы для функций Бейкера - Ахиезера некоторых алгебраических кривых в терминах примфункции Веиерштрасса.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы представляют собой дальнейшее развитие теории конечнозонного интегрирования солитонных уравнений, развитый в ней метод построения решений существенно дополняет известный метод функций Бейкера - Ахиезера. Полученные в работе тэта-формулы для конечнозонных решений конкретных уравнений могут быть использованы в задачах математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции ИНПРИМ-96 (Новосибирск) в 1996г., на 10-й Сибирской школе "Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика" в 1996г., на семинаре кафедры математического анализа ОмГУ в 2000г., на семинаре отдела "Условно-корректные задачи" ИМ СО РАН в 2000г.
Структура диссертации. Работа состоит из введения и трех глав (10 параграфов). Библиография 85 наименований.
