Содержание к диссертации
Введение
1 Обоснование постановки рассматриваемых задач 24
1.1 Основные понятия теории краевых задач на графах . 24
1.2 Сетеподобные струнно - стержневые системы. Общая модель 28
1.3 Описание первой канонической модели - "струнно - стержневого креста" 30
1.4 Описание второй канонической модели - "стержневого треугольника со струнами" 32
2 Начальный анализ краевых задач 34
2.1 Исследование общей однородной задачи 34
2.2 Принцип максимума 43
2.3 Построение функции Грина 44
3 Свойства функций Грина модельных задач 52
3.1 Непрерывность функции Грина для обеих моделей 52
3.2 Неотрицательность и оценки функции Грина для первой модели 72
3.3 Неотрицательность функции Грина для второй модели . 86
3.4 Положительность второго итерированного ядра для второй модели 97
3.5 Симметричность функций Грина 99
4 Спектральная задача 108
4.1 Спектральные свойства интегрального оператора с существенно положительным ядром 109
4.2 Спектральная задача для первой модели 115
4.3 Спектральная задача для второй модели 117
Литература 119
- Описание первой канонической модели - "струнно - стержневого креста"
- Описание второй канонической модели - "стержневого треугольника со струнами"
- Неотрицательность и оценки функции Грина для первой модели
- Спектральные свойства интегрального оператора с существенно положительным ядром
Введение к работе
Дифференциальные уравнения на геометрических графах (сетях) и стратифицированных множествах - один из относительно новых разделов теории дифференциальных уравнений. Такие задачи возникают в различных разделах естествознания, техники, а также при исследовании некоторых математических проблем.
Приведем постановки некоторых задач.
Сетки из струн [9, 10, 11]. Каждая струна может смещаться параллельно некоторой прямой, под действием нагрузки параллельной этой прямой. Движение и смещение описывается уравнениями второго порядка. В узлах сетки задаются условия непрерывности, баланса натяжений, на границе сетка может быть закреплена, что выражается условиями Дирихле.
Решетки из стержней [12, 13]. Поперечные смещения решетки из стержней описываются уравнениями четвертого порядка, в узлах сетки задаются условия сочленения стержней. Эти условия более разнообразны, чем для струн.
Гидросеть. Здесь на каждом ребре сети описывается движение жидкости с помощью уравнения Навье - Стокса, в узлах сети задаются условия непрерывности давлений, условия баланса расхода жидкости [14].
Электрическая сеть. Здесь на каждом ребре сети могут рассматриваться потенциалы, токи. В узлах сети задаются условия непрерывности потенциалов и баланса токов. Аналогичные модели используются для описания нейронных сетей [15, 16, 17].
Теплопроводность. Здесь на каждом ребре задаются уравнения теплопроводности, а в узлах формируются условия непрерывности температур и баланса тепловых потоков. Аналогичные модели используются при описании процессов диффузии [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25].
Состояние электронов в молекуле. Стационарная модель описы-
вается спектральной задачей на графе для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с условиями непрерывности и баланса потоков в узлах, а также условиями Неймана на границе [26, 27], здесь рассматривалась и дискретная модель [28, 29].
Оператор Лапласа на двумерной области заменяется на локально одномерный на сетке, аппроксимирующей эту область [30, 31, 32, 33]. Предельный переход в таких задачах при шаге сетки стремящемся к нулю и в моделях перфорированных областей [34] имеет общие черты.
Бифуркация в модели турбулентных течений в несжимаемой жидкости [35].
Нелинейные задачи [36, 37, 38].
Системы дифференциальных уравнений на графе [39].
Восстановление потенциала по известным спектрам в задаче Штурма - Лиувилля (обратная задача) [40].
Модели, в которых отдельные элементы имеют различные размерности и соответственно описываются уравнениями различного типа [41, 42, 43, 44, 45, 46, 75].
Для рассматриваемых систем изучаются как динамические задачи, описываемые уравнениями в частных производных, так и стационарные (статические), описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Применение метода Фурье, как и задача о собственных колебаниях, приводят к спектральным задачам на графах [9, 16, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 65] и др.
Помимо этого рассматривались задачи граничной управляемости [12, 36, 53, 68, 72, 81] и др.
Приведем обзор результатов непосредственно предшествующих данной работе.
По дифференциальным уравнениям второго порядка на сетях имеются сотни работ (см., например, [9, 10, 11, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53,
54, ЗО, 31, 32, 33, 37, 38, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 80]). Отметим только некоторых ученых и научные группы, которые занимались этими и подобными задачами: Ю.В. Покорный и участники его семинара в Воронеже, В.В. Жиков, B.C. Павлов, М.Д. Фаддеев, А.Н. Покровский, СП. Новиков, С.А. Назаров, группа Nicaise, von Below J., Lumer G. и др.
Основные продвижения сделаны для линейных уравнений второго порядка и задач Штурма -Лиувилля для этих уравнений. Воронежцами здесь изучены условия разрешимости широких классов краевых задач, установлены точные аналоги теорем сравнения Штурма, доказаны существование функции Грина и ее положительность, получены двусторонние оценки функции Грина, обеспечивающие щ - положительность соответствующего интегрального оператора. Использование результатов М.Г. Крейна, М. А. Красносельского и других авторов для положительных операторов позволило получить существование, положительность, простоту ведущего собственного значения, положительность соответствующей собственной функции и отсутствие у нее присоединенных функций.
В работах Ю.В. Покорного и его учеников [54, 60] построена теория неосцилляции для линейных уравнений второго порядка и получены оценки геометрической кратности собственных значений.
Гораздо менее изучены обыкновенные дифференциальные уравнения четвертого порядка на графе (см., например, [13, 69, 70, 71, 53, 72, 52, 73, 12, 74, 82]).
В этих работах рассматриваются различные системы стержней с условиями шарнирного и упруго - шарнирного закрепления. Несмотря на внешние малые различая с уравнениями второго порядка, такие модели оказываются трудными для анализа. Например, изучение асимптотики спектра в [53] сделано в предположении постоянства коэффициентов. Первые результаты для цепочки стержней [82] были также получены в предположении постоянства части коэффициентов. Имеются результаты в задачах граничного управления [12, 81], с помощью методов, котор-
ые фактически не используют особенности графа. В работах [13, 69, 70]
изучена разрешимость некоторых классов краевых задач, доказано сущ-
ествование положительной функции Грина и получены ее оценки.
До настоящего времени практически не исследованными являются разнопорядковые краевые задачи на графах, для которых на различных ребрах рассматриваются уравнения различных порядков. В этом направлении известны лишь результаты Ю.В. Покорного, К.П. Лазарева для растянутой цепочки из струн и стержней [82, 74] и Ю.В. Покорного, Е.Н. Провоторовой для пучка из одинаковых струн и одинаковых стержней [80, 83]. Здесь были получены осцилляционные свойства спектра.
Цель данной работы - изучение струнно - стержневой модели при
ш наличии в конфигурации цикла.
При изучении подобных задач обычно обсуждаются следующие проб
лемы: построение математической модели, изучение корректности (сущ
ествование, единственность решения, наличие удобного представления
решения, например, в интегральной форме, непрерывная зависимость
решения от параметров), изучение качественных свойств решений (на
пример, знакорегулярность), исследование функции Грина (гладкость,
знакорегулярность, симметричность), изучение свойств решений интег-
„ ральных неравенств, исследование кратности собственных значений и
свойств соответствующих собственных функций и т.д.
Диссертация посвящена изучению краевых задач для разнопорядковых дифференциальных уравнений на графе. В работе исследован вопрос о разрешимости задачи для общего графа, когда уравнения на разных ребрах графа имеют второй или четвертый порядок. Полигоном анализа качественных свойств служат две модели:
"струнно - стержневой крест" (две струны и два стержня, соединенных в одной вершине),
"стержневой треугольник со струнами" (треугольник, состоящий из стержней, растянутый за вершины струнами).
Эти модели выделены по следующим причинам:
* во - первых, они содержательны и нетривиальны, имеют ясную физи
ческую природу,
во - вторых, они достаточно просты для проведения исчерпывающего анализа принципиально новых ситуаций, для выявления новых свойств, не связанных с обилием ребер,
в - третьих, они несут главные особенности, порождающие проблемы в уравнениях на графах - а именно: сложные стыковки во внутренних вершинах и наличие циклов.
Основные результаты, полученные в работе:
- Установлена однозначная разрешимость краевой задачи для общей
* струнно - стержневой модели. Показано, что это свойство равносильно
выполнению принципа максимума для однородной задачи без условий
Дирихле.
Для каждой модели осуществлено построение функции Грина.
Изучены регулярные свойства функции Грина (в частности, непрерывность и гладкость).
Доказана симметричность функций Грина обеих моделей.
Установлена положительная обратимость обоих типов задач.
4 - Показана строгая положительность функции Грина первой модели
и получены ее двусторонние оценки.
Дано описание множества нулей и зон положительности функции Грина второй модели.
Показана строгая положительность второго итерированного ядра -функции Грина второй модели.
Установлена позитивная простота ведущего собственного значения, в соответствующих спектральных задачах обеих моделей.
Перейдем к описанию результатов диссертации, которая состоит из четырех глав.
1. В первой главе проводится описание общей модели и вывод краевой
*
задачи для нее.
Мы используем далее терминологию семинара Ю.В. Покорного (см. [13, 55]).
Считается заданным связный геометрический граф Г из К3, его ребра обозначаются через 7ь і — l>f> совокупность его внутренних вершин обозначается через J (Г), а граничных вершин через дГ. Обозначим объединение всех ребер - Я(Г). Тогда Г = Л(Г) U ./(Г). Для каждой о Є «/(Г) U дТ введем множество Г (а) состоящее из а и всех примыкающих к а ребер.
Топология на Г индуцирована из М3. Сужение функции и : Г —> R на множество ш обозначается иш[х).
На каждом ребре 7» считается введенной натуральная параметризация х = (pi(t). Производной функции и(х) на графе называется функция, определяемая как ^u((fi{t))- Аналогично определяются производные высших порядков и^(х) = $jxv>(ipi(t)). При формулировании условий согласования в вершине а будем использовать ориентацию "от вершины" о и записывать производные в виде и (а + 0).
Через Cn(R{T)) обозначим множество определенных на -Й(Г) функций, для которых и7. равномерно непрерывны на 7* вместе с производными до порядка п для каждого ребра 7г Є Д(Г). Аналогичный смысл имеет обозначение Сп(Гі) для какого-либо множества Гі, образованного одним или несколькими ребрами графа Г.
В п. 1.2 описана струнно-стержневая модель и для нее вариационным методом получена краевая задача.
Рассматривается механическая система, состоящая из г струн и стержней, положение равновесия которой совпадает с графом Г.
Отклонение и(-) : C(R(T)) —у R точек системы от положения равновесия определяется натяжением струн, изгибной жесткостью стержней и плотностью внешних сил.
Предполагается, что деформация стержней вызвана только лишь чис-
тым изгибом в главной изгибающей плоскости, т.е. считаем, что сдвигом, кручением и растяжением стержней можно пренебречь.
Введем обозначения Гі - все ребра, соответствующие стержням, а Г2 - ребра, соответствующие струнам.
Пусть функция р(х) описывает жесткость стержней в точках х Є Гі, a q{x) описывает силу натяжения струн в точках х Є Г2. Удобно считать, что функции р(х), q{x) заданы на всем графе так, что q{x) = 0 на Гі, р(х) = 0 на Г2, при этом inf {^(а:)} > 0, q(-) Є С1 (Г) и inf {р(х)} > О,
агЄГг хЄГі
р(-) Є С2(Г).
Функция /() Є C(R(T)) задает плотность внешней нагрузки, действующей на систему.
Будем предполагать, что отклонение и(-) принадлежит классу функ-ций г = {4)1 «() Є С(Я(Г)), «Гі(0 Є С\Гг), «г>(.) Є С2(Г2)}.
Минимизация потенциальной энергии системы приводит к задаче
(КГ - (««О' = /> (і)
«7(а + 0) - «Да + 0) = 0, 7. А* С Г(о), а Є ./(Г), (2)
(гу4)(а + 0) = 0, 7 С Гі П Г(а), а Є J(r) U 0Г, (3)
Y, ((РуИ?)'- ФуО (а + 0) = 0, а Є ./(Г), (4)
7СГ(о)
И(а + 0) = 0, а Є 0Г. (5)
Здесь (2) - это условия непрерывной стыковки во внутренних вершинах, (3) - условия шарнира, (4) - условия трансмиссии (баланса взаимодействий), (5) - аналог условий Дирихле.
Решением поставленной задачи называем функцию и(-) Є Т, удовлетворяющую уравнению (1) на R(T) и всем условиям (2) - (5).
Обозначим через L оператор, действующий на функции из класса Т по правилу
Lu = {pa")" - [qu')'. (6)
Тогда уравнение (1) запишется в виде Lu = f. Этот набор дифференциальных связей, вместе с условиями согласования и закрепления можно рассматривать как краевую задачу.
В п. 1.3 рассматривается модель "струнно - стержневой крест".
Здесь граф Г состоит из вершины а и четырех ребер 7г = (а, щ), і = ї~4. При этом дТ = {аь а2, а3, а4}, J(r) = {а}, 1\ = 71U 72, Г2 = 7з U 74-
Механическая система имеет форму креста. Она образована двумя стержнями и двумя струнами, соединенными в вершине о. Предполагается, что стержни 7i? 72 соединены шарниром в точке а, а струны совпадают с ребрами 7з» 74- Концы струн аз, а4 закреплены, концы стержней ai, a2 закреплены шарнирно.
Отклонение и(-) точек системы от положения равновесия удовлетворяет задаче (1)-(5).
Аналогично, в п. 1.4 рассматривается модель "стержневой треугольник со струнами".
Здесь Г - геометрический граф, состоящий из шести ребер 7i = (ai,a2), 72 = (02,аз), 7з = (аз,аі), 74 = (аі,а4), 75 = (02,05), 76 = (аз,аб) и трех вершин J (Г) = {аі,аг,аз}. При этом дГ = {а4,а5,аб}, Гі = 7i U 72 U 7з, Г2 = 74 U 75 U 7б-
Механическая система образована треугольником из шарнирно - сочлененных стержней, растянутым за вершины тремя струнами и имеет положение равновесия Г так, что стержни совпадают с 71, 72, 7з, & струны - 74, 75, 7б, причем концы струн закреплены в a4, as, (їв-
Отклонение и(-) точек системы от положения равновесия удовлетворяет задаче (1) - (5).
2. Во второй главе для рассматриваемых моделей изучается разрешимость однородных и неоднородных задач и строятся функции Грина,
доказывается, что разрешимость общей задачи эквивалентна принципу максимума.
Введем в классе Т функционалы * (к = 1, га), определяемые левыми частями формул (2) - (5), и задачу (1) - (5) запишем в виде:
ibu = f,fe С(Д(Г)) У к(и) = О, к = Т~га.
Мы называем задачу (7) невырожденной, если соответствующая однородная задача имеет только нулевое решение в классе Т.
Очевидно, что однозначная разрешимость задачи (7) эквивалентна невырожденности.
В п. 2.1 доказана невырожденность краевых задач для обеих моделей "струнно - стержневой крест" и "стержневой треугольник со струнами".
Здесь же вводится фундаментальная система решений Zj(x), j = 1, т однородного уравнения Lit = 0 на Г. Очевидно, что задача (7) невырождена тогда и только тогда, когда определитель Л = \tk(zj(0)1 Ф О, k,j = l,m.
Подграфом Го называем любое открытое связное подмножество Г.
Наиболее важными в этом пункте являются следующие утверждения.
Теорема 1 Задача (7) вырождена, если существует подграф Го графа Г такой, что
Го содержит только целые ребра графа Г,
Го состоит не менее чем из двух ребер,
ко всем вершинам а Є дТо примыкают в Го только ребра jj С Гі (на этих ребрах порядок уравнения равен четырем).
Теорема 2 Задача (7) невырождена, если любую вершину а Є «/(Г) можно соединить с дТ путем, состоящим только из целых ребер, принадлежащих Гг (на этих ребрах порядок уравнения равен двум).
Теорема 3 Следующие условия 1 и 2 эквивалентны.
1 Существует вершина а Є «/(Г), которую нельзя соединить с дГ путем, состоящим только из целых ребер, принадлежащих Гг-2 Существует подграф Го графа Г такой, что
Го содержит только целые ребра графа Г',
Го состоит не менее чем из двух ребер,
ко всем вершинам а Є дТц примыкают в Го только ребра 7j С Гі.
В п. 2.2 для задачи
(ри'У - (quj = О,
(8)
щ{а + 0) - и^{а + 0) = 0, 7, А* С Г(а), а Є ./(Г),
(P7«")(a + 0) = 0, а Є J (Г) U дГ, 7 С Гі П Г (а),
((Р7<)' - ь^г) (а+) = > « е ;(г)
7СГ(а)
(без условий на границе) обсуждается принцип максимума.
Будем говорить, что для задачи (8) выполнен принцип максимума,
если для любого решения и(-) этой задачи supw(-) и inf и(-) достигаются
г г
на дГ.
Теорема 4 Принцип максимума эквивалентен невырожденности задачи (7).
В п. 2.3, в частности, исследуется неоднородная задача Lu = f, /ЄС(Д(Г)),
4(w) = ak, ak Є R, k = 1, m, для которой справедливы утверждения.
Теорема 5 Невырожденная задача (9) имеет в классе Т единственное решение при любых правых частях.
Следствие 1. Невырожденная задача (7) имеет единственное решение в классе Т для любой f Є C(R(T)).
Следствие 2. Пусть любую вершину а Є J (Г) можно соединить с дТ путем, состоящим только из целых ребер, принадлежащих Гг. Тогда задача (9) имеет единственное решение в классе Т при любых правых частях а^, к = 1,га и f Є C(R(V)).
Следствие 3. Пусть не существует подградЬа Го графа Г такого, что
Го содержит только целые ребра графа Г,
Го состоит из не менее чем двух ребер,
ко всем вершинам а Є дТ$ примыкают в Го только ребра 7j С Гі (на этих ребрах порядок уравнения равен четырем).
Тогда задача (9) имеет единственное решение в классе Т при любых правых частях ctk к = 1,т и f Є C(R(T)).
Следствие 4. Пусть М - количество граничных вершин градЬа Г. Тогда множество решений невырожденной задачи (8) в классе Т имеет размерность М.
В частности, размерность пространства решений задачи (8) для модели "струнно - стержневой крест" равна четырем, а для модели "ст-рержневой треугольник со струнами" равна трем.
Для невырожденной задачи (7) установлено существование аналога функции Грина и получен ее явный вид.
Теорема 6 Для невырожденной задачи (7) существует функция G(x, s) на Г х Г такая, что решение задачи может быть записано в виде
и{х)= [G{x,s)f(s)ds. (10)
Мы называем далее G(x, s) функцией Грина.
Следствие 1. Функция Грина, определяемая по формуле
H(x,s) zi{x) z2(x) zm{x)
/і(Я(.,в))^і(гі)^(га) ti{zm)
G(x, a) = ^ 2(H{; a)) i2(zi) l2{z2) - 2{zm)
(И)
m(H(., a)) infa) m{z2) - m(zm)
H{x, s) =
{
Gk(x, a), x, s Є 7 X 73b, k = 1, r, О, в остальных случаях,
(12)
и Gk{x, s) - функции Грина двухточечных краевых задач на ребрах является равномерно непрерывной по совокупности переменных на каоюдом
И X7i, i,j = l,r.
Следовательно, для модельных задач функции Грина существуют и также обладают равномерной непрерывностью на каждом 7» х 7г
Рассмотрим задачу в классе Т
[pa")" - (quj = /, /() Є С(Д(Г)),
%Ly(a + 0)- и»(а + 0) = 0, j, [і С Г(а), а Є J(r),
(р7<)(а + 0) = 0, а Є ./(Г) U ЯГ, 7 С Га П Г(о), (13)
((^11^-^)(0 + 0) = 0, аЄ7(Г),
ТСГ(а)
аЄ0Г.
u(o + 0) = у?(а),
В этой задаче неоднородные условия на дГ заданы с помощью функции <р : дТ -+ Е.
Теорема 7 Решение невырожденной задачи (13) мооюет быть записано в виде
(х) = / G(x, s)f(s)ds + ^ <р(а)иа{х),
І аедГ
(14)
І 1, ї = о, где uJx) - это решение задачи (13) при f(x) = 0 и (р(х) = <
(^ О, х ф а.
Следствие 1. Решение невырожденной задачи (13) при f(x) = 0 на Г может быть записано в виде
и(х) - ^2 4>ia)ua(x)- (15)
3. В главе 3 изучаются регулярные свойства функции Грина модельных задач.
В п. 3.1 доказаны следующие факты о непрерывности, гладкости функций Грина.
Теорема 8 Функция Грина G(x,s) первой модели, определяемая формулой (11), обладает следующими свойствами:
G(x, s) равномерно непрерывна по совокупности переменных на ГхГ.
При фиксированном s . {a} U дГ
2.1 для всех х Є #(Г) существуют производные —g's', k = 1,2 равномерно непрерывные по совокупности переменных на каоюдом мно-
жестве 7і X 7j> і = lj 2, j = 1,4;
2.2 для всех х Є -R(r), x ф s существуют производные —^с* , А; = 3,4 равномерно непрерывные по совокупности переменных на каоюд-
ом множестве 7г х 7jj * 7^ І» * = lj 2, j = 1,4 и на треугольн-
иках, получаемых из 7г х 7t> г — 1)2 удалением diag (7* х 7г)> где diag(A х А) = {(х, s)\x Є A, s А, х = s};
2.3 для всех х Є Л(Г), a;^s существуют производные —gjF> А; = 1,2 равномерно непрерывные по совокупности переменных на каоюдом
множестве 7г х 7л * Ф Зі * = 3,4, j = 1,4 и иа треугольниках, полу-
чаемых из 7» х 7г, г = 3,4 удалением diag (7* х 7»);
2.4 і?слг/ s Є 7t» і = 1,2 с вершинами а\, а , ач, то
^Я* - М = ^7G(* + 0, в), І = 0, 2,
і (*> j>*. >) L -1 (*м<.. >) L=*
где производные вычислены при параметризации ребер в направлении от а к а\ и ач соответственно;
2.5 Если s Є 7і> г = 3,4 с вершинами аз, а , сц, то
G(s-0,s) = G(s + 0,s),
= -1,
Х=8-0
(
x=s+0
где производные вычислены при параметризации ребер в направлении от а к аз и а^ соответственно;
G(x, s) по х удовлетворяет уравнению Ьи = О при х ф s;
G(x, s) удовлетворяет условиям (2) - (5).
При фиксированном s Є дТ G(x, s) = О для всех ж Є Г.
При s = а, а Є «/(Г)
G(-, а) Є Г;
G(-,a) удовлетворяет однородному уравнению Lu = О;
G(-,a) удовлетворяет условиям (2), (S), (5);
G(-,a) удовлетворяет условиям (4), не содержащим вершину а, и условию, которое получается из (4) в вершине а заменой правой части на 1.
Теорема 9 Функция Грина G(x, s) второй модели, определяемая формулой (11), обладает следующими свойствами:
G(x, s) равномерно непрерывна по совокупности переменных на ГхГ.
При фиксированном s . «/(Г) U дГ
2.1 для всех х Є -R(r) существуют производные —&* , k = 1, 2 равномерно непрерывные по совокупности переменных на каждом мно-
жестве 7г х 7j) * = 1,3, j = 1,6;
2.2 для всех х Є -R(r), х ф s существуют производные —gffi , & = 3,4 равномерно непрерывные по совокупности переменных на каэюдом
множестве 7» х 7j» * Ф І, * = 1>3, j = 1,6 и на треугольниках, получаемых из 7t х Ті» « = 1,3 удалением diag (7* х 7»)/
длл всех ж Є -Й(Г), ж т^ s существуют производные
gff,g', А; = 1,2 равномерно непрерывные по совокупности переменных на каоюдом мноэюестве 7г х 7jj « 7^ І, г = 4,6, j = 1,6 и на треугольниках, получаемых из 7ї х 7», г = 4,6 удалением diag (7г х 7г)/#сли 5 Є 7г» г = 1,3 с вершинами а, Ь, то
G{s-0,s) = G(s + Q,s), -G(s-0,s) = ^G(s + 0,s),
^(-0.-) = ^ + 0,.),
s(pW^Gfee))
ж=в+0
(P(*)g(m)
ж=я-0
= 1,
где производные берутся в направлении от а к Ь;
2.5 .Если s Є 7г, г = 4,6 с вершинами а, 6, то
= -1,
x=s—0
G(e-0,s) = G(s + 0,s), (e(»)|G(x,.))L-(g(«)A0(,ie);
где производные берутся в направлении от а к Ь;
<2(ж, s) по а; удовлетворяет уравнению Ьи = О при х ф s;
G(x, s) удовлетворяет условиям (2) - (5).
При фиксированном s Є дТ G(x, s) — О длл всех а; Є Г.
Яри s = а Є J(r)
G{-, а) Є Г;
G(-,a) удовлетворяет однородному уравнению Ьи = 0;
G(-,a) удовлетворяет условиям (2), (3), (5);
G(-,a) удовлетворяет условиям (4), не содержащим вершину а, и условию, которое получается из (4) в вершине а заменой правой части на 1.
Справедливо также следующее утверждение.
Теорема 10 Непрерывная на Г х Г функция Грина задачи (9) единственна.
В п. 3.2 и 3.3 установлены различные условия неотрицательности и положительности решений модельных задач и их функций Грина, а также получены двухсторонние оценки функции Грина для первой модели.
Для решения и(х) задачи (7) и функции Грина G(x, s) в первой модели справедливы следующие утверждения.
Теорема 11 Пусть f[x) ^ 0 па Г. Если f(x) ф 0 на графе Г; то и(х) > О при х Є Г и и(х) = 0 при х Є дТ.
Следствие. Если / ^ 0 на Г, mo и(х) ^ О на Г.
Теорема 12
Если s Є Г, то G(x, s) > 0 при х Є Г и G{x, s) = О при х Є дТ.
Теорема 13 Пусть G(x, s) функция Грина задачи (7) и щ - решение этой задачи при f(x) = 1. Тогда щ(х) > О на Г и существуют непрерывные положительные суммируемые на Г функции a(s) и /3(s) такие, что при всех x,s Є Г выполнены неравенства
a(s)u0(x) < G(x, s) < /3(s)u0(x) (16)
Для решения и(х) задачи (7) и функции Грина G(x, s) во второй модели справедливы следующие утверждения.
Теорема 14 Пусть f{x) ^ 0 на Г.
1 Если f(x) ф. О на некотором 7j, j — 4,6 (т.е. для некоторой струны) и f{x) = 0 на всех остальных 7г> г = 1,6 при і ф з, то и(х) > О на всех ребрах, примыкающих к вершине а;_з и в самой вершине а^-з, а на остальных ребрах и в остальных вершинах и(х) = 0.
2 Если /(х)фО на некотором jj, j = 1,3 (т.е. для некоторого стержня) и f(x) = 0 на всех остальных 7і, і = 1, 6 при і ф j, то и(х) > О на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра "fj и в вершинах ребра jj, а на оставшемся ребре и в остальных вершинах и{х) = О.
3 Если f{x) = О на некотором "fj, j = 4,6 (т.е. для некоторой струны) и на всех 7», і = 1,3 (т.е. на всех стержнях), f(x) ф О на каждом из оставшихся двух реберні, тои(х) = О wyjUdTUfaj-a}, а на остальных ребрах и в остальных вершинах и{х) > О.
4 Если f[x) ф О на некотором "fj, j = 1,3 (т.е. на для некоторого стержня) и на одном из примыкающих к нему ребер 7і, г = 4,6 (т.е. на примыкающей струне) и f{x) = 0 на остальных ребрах, то и[х) > О на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра "fj, ив вершинах ребра jj, а на ребре, не примыкающем к ребру "fj и в остальных вершинах и[х) = О.
5 Если f(x) фО на некотором 7/, j = 1,3 (т.е. для некоторого стержня) и на каждом из двух ребер %, г = 4,6, примыкающих к вершинам ребра "fj (т.е. на двух примыкающих струнах), f(x) = О на остальных ребрах 7г, * = 1,6, то и(х) > О на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра "fj, ив вершинах ребра "fj, а на ребре не примыкающем к ребру "fj и в остальных вершинах и{х) = О.
6 Если f{x) ф О на каждом из не менее, чем двух ребер "fj и 7г, исключая рассмотренные случаи 3 — 5, и f(x) = О на всех остальных ребрах, то и(х) > О на Г.
Следствие. Если /() ^ О но Г, то it(-) ^ О на Г при этом, если /() > О на Г, то и(-) > О на Г.
Теорема 15 Пусть фиксирована точка s Є Г.
1 Если s Є 7j, З — 1,3, то G(x, s) > О на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра "fj, ив вершинах ребра "fj, G(x,s) = О на ребре не
примыкающем к вершинам ребра jj и в остальных вершинах.
2 Если s Є 7j> 3 — 476, то G(x, s) > О на всех ребрах примыкающих к вершине clj-z, и в вершине aj-з, G(x, s) = О на остальных ребрах и в остальных вершинах.
3 Если s = aj, j = 1,3, то G(x, s) > О на всех ребрах, примыкающих к вершине aj, и в вершине aj, G(x,s) — О на остальных ребрах и в остальных вершинах.
В п. 3.4 была установлена положительность второго итерированного ядра для модели "стержневой треугольник со струнами".
Теорема 16 Пусть G(x,s) - функция Грина задачи (1) - (5), тогда
второе итерированное ядро Gi(x, s) = J G(x, t)G(t, s)dt строго полож-
г ительно на Г х Г.
В п. 3.5 доказана симметричность функций Грина для моделей "струнно - стержневой крест" и "стержневой треугольник со струнами".
4. В четвертой главе были изучены свойства интегрального оператора, с существенно положительным ядром и положительным весом. Установлено, что этот интегральный оператор неотрицателен и вполне непрерывен в конусе неотрицательных функций. Для модели "струнно - стержневой крест" такой оператор, порожденный функцией Грина, является uo-положительным, что дает возможность применить методы развитые М.Г. Крейном и М.А. Красносельским для доказательства существования простого положительного ведущего собственного значения и строго положительной собственной функции. Для модели "стержневой треугольник со струнами" из результатов главы 3 следует, что такой же оператор не является гіо-положительным. Это потребовало модернизации известных методов. Здесь результаты, полученные в работах [76, 77, 78] для функций, заданных на отрезке, переносится на функции, заданные
на графе. Доказывается свойство расширения носителя неотрицательной на графе функции и с помощью этого свойства устанавливается геометрическая простота ведущего собственного значения интегрального оператора, положительной ведущей собственной функции и отсутствие у нее присоединенных функций.
Рассмотрим интегральный оператор
(Кри) (х) = f G(x, s)u(s)p(s)ds, (17)
с равномерно непрерывным на Г х Г ядром G(x,s) и непрерывным ограниченным весом р{х) > 0 при ж Є Г.
Лемма 1 Оператор (17) вполне непрерывен в пространстве С(Г) с нормой ||и|І/Гч = таххЄг \и{х)\
Будем называть ядро G(x, s) существенно положительным, если оно неотрицательно на Г х Г и положительно при всех х = s.
Лемма 2 Пусть оператор (17) имеет существенно положительное ядро. Тогда всякой неотрицательной и{-) Є С (Г) {и(х) ф 0) и каоюдой точке so Є supp и \ дТ функция (Kpu)(so) > 0, (т.е. при действии оператора Кр на неотрицательную функцию и(-) ее носитель расширяется, причем существенно).
Следствие. Равенство supp Кри = supp и возможно либо если supp и = 0 (т.е. и(-) = 0), либо если supp и = Г (и тогда (Ки)(-) > 0 на
г).
Теорема 17 Пусть оператор (17) имеет существенно положительное ядро. Тогда этот оператор имеет простое положительное ведущее собственное значение Л, строго большее абсолютной величины других собственных значений. Собственная функция и(х) оператора Кр, отвечающая Л, строго положительна на Г.
В п. 4.2, 4.3 рассмотрены спектральные задачи для моделей "струнно - стержневой крест" и "стержневой треугольник со струнами"
,^ = ^- (18)
k l^u = 0, к = 1,га,
где оператор L определен формулой (б), а функционалы 1^ определены условиями непрерывности, согласования и закрепления, р(х) > 0 непрерывная ограниченная на Г функция, Л - спектральный параметр.
Показано, что спектр этой задачи состоит из собственных значений конечной кратности.
Теорема 18 Задача (18) имеет простое полооюителъное собственное значение Ло меньшее по модулю всех остальных собственных значений. Этому собственному значению Ло соответствует собственная функция, не имеющая нулей в Г.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач" в 2002г., 2003г. и на Воронежской зимней математической школе 2003 г., на научных сессиях Воронежского госуниверситета в 2002 - 2003 гг., на семинарах Ю.В. Покорного.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. Из совместных работ [6, 8] в диссертацию включены результаты, полученные лично Белоглазовой Т.В. В работе [7] научным руководителям принадлежит постановка задачи, обоснование результатов проведено диссертантом в работах [1, 2, 3, 4, 5].
Автор выражает искреннюю благодарность научным руководителям Покорному Ю.В. и Лазареву К.П. за постановку задачи, постоянное внимание к работе, важные советы и замечания.
Описание первой канонической модели - "струнно - стержневого креста"
В этой главе приведены начальные понятия теории краевых задач на графе. Далее вариационным методом получена краевая задача для общей механической струнно-стержневой системы, в которой дифференциальное уравнение на ребрах графа имеет второй или четвертый порядок. Кроме этого, рассмотрены две конкретные системы "струнно - стержневой крест" и "стержневой треугольник, растянутый струнами". Эти модели служат полигоном анализа качественных свойств в следующих главах, поскольку они позволяют выявить принципиальные трудности в широком круге задач для разнопорядковых дифференциальных уравнений на графах и наметить пути их преодоления.
Геометрическим графом Г вК3 называется объединение непересекающихся интервалов 7t = (o2i-i,a2t)j г = l,r (называемых ребрами), и некоторой совокупности их концов. Множество этих концов обозначае тся через J (Г), каждая точка из J(T) называется внутренней вершиной графа Г. Концы интервалов 7І, не включенные в /(Г), называются граничными вершинами Г, их множество обозначим через дГ. Обозначим множество всех вершин графа Г через V(r), и объединение всех ребер -Д(Г). Тогда Г = Д(Г) U 7(Г).
Будем говорить, что вершины а2г-і и аг» примыкают к ребру 7г = (o2»-i,a2t), а ребро 7» примыкает к вершинам агі-і и а%. Для каждой вершины о Є J (Г) U дГ введем множество Г (а), состоящее из а и всех ребер, примыкающих к а. Топологией на Г будем считать индуцированную из Ж3 топологию, и изучать в дальнейшем лишь связные графы. Будем рассматривать вещественнозначные функции и : Г — R, сужение которых на ребро ji будем обозначать иъ(х). Для каждого ребра 7 можно ввести натуральную параметризацию по формуле х = pi{t), где (pt(t) - 02І-І + t(a2i - ом_і)//а,-, t Є (0,/) и Pi - длина ребра 7»- При выбранной параметризации ребра 7» функция u(ipi(t)) оказывается обычной функцией на промежутке из R. Иногда нам будет удобно рассматривать замкнутые ребра 7» = [агі-1, «2І] и считать его параметризацией х — Pi(t) при t Є [0, pi].
Производная функции на графе определяется следующим образом. Если для данной параметризации х = Pi(t) ребра jt при t Є [0,/] оказывается, что для функции и при всех і и t существует производная u((pi(t)), то будем говорить, что на Г определена производная и {х). При этом на ребре 7t и в вершинах из дТ имеем и {х) = #.u( pi(t)), если х = fi(t)j а в каждой вершине а б J (Г) имеем набор производных и ъ{а) для ребер 7», примыкающих к а. Аналогично определяются производные высших порядков и к\х) = jjxu( pi(t)). Заметим, что на каждом ребре можно ввести две натуральных параметризации с противоположной ориентацией, и, естественно, производные нечетного порядка зависят от ориентации ребра, а производные четного порядка - нет. При форм улировании условий согласования, содержащих производные нечетного порядка, нам удобнее пользоваться производными по направлению "от вершины", которые будем обозначать и \а + 0).
Через Cn(7t) обозначим множество, определенных на ребре 7 равномерно непрерывных в индуцированной из М3 топологии функций, для которых существуют равномерно непрерывные производные до порядка п. Легко видеть, что функцию и(-) Є Cn(7i) можно доопределить предельными значениями до функции из Сп(уї), за доопределенной функцией сохраним прежнее обозначение. Это замечание будет использоваться в дальнейшем при исследовании краевых задач на графе.
Будем писать / Є C(R(T)), если /() : R(T) — R и сужения /7і(-) Є С( І), і = 1,г. Во внутренних вершинах графа Г каждая из таких функций может иметь различные пределы вдоль различных ребер, примыкающих к одной вершине /7(о + 0) = lim fix). Если все пределы /7(а + 0) вдоль ребер j С Г (а) совпадают, то для них будем использовать обозначение /(о).
Описание второй канонической модели - "стержневого треугольника со струнами"
При каждом фиксированном s Є R(T) U дТ определим функции a(s) и /3(s) с помощью равенств Так как (х, s) непрерывна по х на Г, то функции a(s) и /3(s) определены корректно. Из проведенных выше рассуждений следует, что из формулы (3.2.7) можно применить для предельных значений s в вершине о вдоль ребра 7» = (о, а ). Таким образом, сужения функций a -(s) и /%(s) определены для s = а. В силу положительности g(x, s) на Г х І?(Г) имеем 5(s) 0 и Д(«) 0 при s Є Я(Г) и 5(s) = /3(s) = 0 при s Є дГ. Кроме того предельные значения с%(а) и /%(а) также положительны.
Докажем непрерывность функций a(s) и /?(s) на Д(Г). Пусть so Є Д(Г). Из непрерывности функции g(x,s) на множестве Г х Г за исключением может быть точек (x,s), х Є дГ, s Є V(r) следует ее равномерная непрерывность на множестве Г х U(so), где 15 (so) = {ss Є Г, \s — SQ\ т}} при достаточно малых 7] 0. Это означает, что для произвольного є 0 найдется такое S 0, что g(x", s) — є д(хе, so) д(х", s) + є, как только \s — so\ 6, \х — х"\ 6, х у х" Є Г, s Є U(so). Если взять х — х" = х, то получим g(x,s) — є g(x,so) g(x,s) + є при \s — so\ S сразу для всех а; Є Г. Переходя в последнем неравенстве к минимуму по х Є Г, получим неравенство a(s) — є 5(so) a(s) +є при \s — so 6. Следовательно, a(s) непрерывна на -Й(Г).
Аналогично, переходя к максимуму по я, доказывается непрерывность функции (3(s) на Я(Г). Проведенные при доказательстве непрерывности рассуждения можно повторить для множеств вида Г х (U(a) (1 и получить непрерывность сужения a (s) и /%(s) в точке а. Проверим справедливость неравенства (3.2.5). При х дГ это неравенство превращается в равенство. Если же х 0 #Г, то при всех s Є #(Г) и для предельных значений s в вершине а вдоль ребра 7г выполняются неравенства ct(s) g(x,s) = ц у fi(s)- Откуда следует неравенство (3.2.5). Покажем ограниченность функций a(s) и /3(s). Из неравенства (3.2.5) при х 0 дТ имеем a(s) ЯЛ ) Следовательно, (я) ограничена. Из равенства (3.2.6) следует, что функция uvv ограничена в окрестности точек вида (а , о») Є 9Г х дГ. Если удалить из множества Г х Г эти окрестности, то функция g(x, s) будет ограничена на оставшемся множестве. Следовательно, функция g(x,s) ограничена на множестве Г х Г. Тогда из второго равенства (3.2.7) следует ограниченность функции /3(s). Итак, функции a(s) и /3(s) измеримы и ограничены на Г, т.е. суммируемы. Если пределы Ai = lim аъ (s) (і = 1,4) различны, то сгладим функции a .(s) в окрестности точки о линейными функциями так, чтобы получилась непрерывная положительная на Г функция a(s) a(s). Если пределы Bi = lim ДуД5) (г = 1 4) различны, то аналогично построим непрерывную положительную на Г функция /3(s) P{s). Тогда неравенства (3.2.7) будут выполнены при всех х Є Г, 5 Є Г. Теорема доказана. В этом пункте изучены условия положительной обратимости краевой задачи для второй модели, доказана неотрицательность функции Грина и установлены ее зоны положительности. Теорема 3.3.1 Пусть в задаче (1.4-6), (l-4-V (L4-l) (1-4-2), (1-4-4), (1.4-5) f(x) }? 0 на Г. 1 Если f(x) ф 0 на некотором jj7 j = 4,6 (т.е. для некоторой струны) и f{x) = О на всех остальных 7i, г = 1,6 при і ф j, то и(х) О на всех ребрах, примыкающих к вершине а _з и в самой вершине а _з, а на остальных ребрах и в остальных вершинах и{х) = О. 2 Если f{x) ф О на некотором jj, j = 1,3 (т.е. для некоторого стержня) и fix) = О на всех остальных 7г г = 1,6 при і ф j, то и{х) О на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра jj и в вершинах ребра 7j, а на оставшемся ребре и в остальных вершинах и(х) = О. 3 Если fix) = О на некотором 7j, j = 4,6 (т.е. для некоторой струны) и на всех 7г = 1,3 (т.е. на всех стержнях), fix) ф О на каждом из оставшихся двух ребер 7ь то и(х) = О на jjUdTUfaj-z}, а на остальных ребрах и в остальных вершинах и(х) О. 4 Если /(ж) ф О на некотором jj, j = 1,3 (т.е. на для некоторого стержня) и на одном из примыкающих к нему ребер ji, г = 4,6 (т.е. на примыкающей струне) и f(x) = О на остальных ребрах, то и(х) О на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра jj, ив вершинах ребра 7j, л на ребре, не примыкающем к ребру 7/ и в остальных вершинах и(х) = О. 5 Если f(x) фО на некотором jj, j = 1,3 (т.е. для некоторого стержня) и на каждом из двух ребер 7І, і — 4, 6, примыкающих к вершинам ребра jj (т.е. на двух примыкающих струнах), f{x) = О на остальных ребрах 7г, г = 1,6, то и{х) О на всех ребрах, примыкающих к вершинам ребра 7j, и в вершинах ребра jj, а на ребре не примыкающем к ребру 7j и в остальных вершинах и(х) = О. 6 Если f{x) ф О на каждом из не менее, чем двух ребер jj и ji, исключая рассмотренные случаи 3 — 5, и f(x) = О на всех остальных ребрах, тои(х) О на Т. Доказательство. Докажем сначала утверждение 1. Пусть /74 О, /74 ф 0 и /7j = 0, г 4, г = 1, 6. (Остальные случаи рассматриваются аналогично.) Из условия шарнирного сочленения стержней имеем р7іг 7і(аі + 0) = р7ігі"Да2+0) = 0. По теореме Ролля существует точка хо Є (ai, аг) такая, что (ръгі7і) (жо) = 0. В силу уравнения (1.4.6) имеем (p7iw7i) == cons -Значит (р7іг4"х) = 0 на всем (01,02). Тогда р и = const и обращается в нуль на концах (ai, 02), т.е. Руї ті = 0 на (01,02). Тогда и ъ = const на (ai,02) и, следовательно, иъ(х) - линейная функция на (01,02). Аналогично доказывается, что и72(х) и и1з{х) - линейные функции на (а2,оз) и (оз,аі) соответственно. Далее выполнено /7б(-) = 0. Это означает, что (о гх У = 0, тогда ql5u = const. Из условия (1.4.5) баланса натяжений в точке а2 имеем {p7lu JfiY(a2 + 0) + {р и"2У{а2 + 0) = (ql5u 75)(a2 + 0). В силу доказанного выше, имеем {ръи"1) (а2 + 0) = (р72и"2) (а2 + 0) = 0, и, следовательно, (Яъи ъ)(а2 + 0) = 0. Тогда и ъ(х) = 0 на 75 и иъ(х) = const на (05, а2). А из условия закрепления концов струн следует и1ъ (as + 0) = 0, значит и1ъ(х) = 0 на всем (ОБ, ог). Аналогично доказывается, что и7в(х) = 0 на (об, оз).
Неотрицательность и оценки функции Грина для первой модели
Обратно. Пусть и Є С(Г) - ненулевое решение решение уравнения (4.2.3). Если бы fj, = О, то Кри(х) = f G(x, s)p(s)u(s)ds = 0. Отк г уда L0 = ри, и тогда и = 0. Следовательно, \і ф 0. Далее из (4.2.3)
Из свойств функции Грина (см. глава 3 п. г 3) следует, что функция и{х) принадлежит классу 7", для нее выполняются краевые условия и ри = L(pu). Таким образом, имеем Lu = ри при Л = или Lu = Хри. Лемма доказана. Теорема 4.2.1 Задача (4-2-1) имеет простое положительное собственное значение Ло меньшее по модулю всех остальных собственных значений. Этому собственному значению Ао соответствует собственная функция, положительная на Г. В пункте 3.2 главы 3 было показано, что G(x, s) 0 на Г х Г, следовательно, в силу определения 4.1.1 G(x, s) является сильно положительным ядром оператора. Для нашей задачи из (4.2.1) имеем р 0. Тогда можно применить теорему 4.1.1 и лемму 4.2.1, из которой следует справедливость утверждений теоремы 4.2.1. Теорема доказана. Замечание. Теорему 4-2.1 можно доказать применяя теоремы 11.1 (с. 84), 9.2 (с. 66), 9.4 (с. 68) [79]. Из этих теорем следует, что вполне непрерывный положительный оператор в пространстве с воспроизводящим конусом, имеющий положительный спектральный радиус и обладающий свойством щ-положительности, имеет простое положительное ведущее собственное значение, которому соответствует положительный собственный вектор. Для рассматриваемой модели эти условия выполнены. В частности, щ-положительность следует из неравенства (3.2.5). Теорема 4.2.2 Спектр задачи (4-2.1) состоит из не более, чем счетной последовательности положительных собственных значений Ajb, k = 0,1,2,.... На любом интервале (a, 6) Є R может содержаться только конечное число точек спектра, и каждому собственному значению отвечает конечное число собственных функций. Доказательство. В силу теоремы 4.1.2 и леммы 4.2.1 спектр задачи (4.2.1) состоит из не более, чем счетной последовательности собственных значений А&, к = 0,1,2,... конечной кратности. Из теоремы 2.1.4 следует, что Ajt ф 0. Докажем положительность собственных значений. Воспользуемся эквивалентностью задачи (4.2.1) и уравнения (4.2.2). Ядро интегрального оператора G(x,s)p(s) в уравнении (4.2.2), вообще говоря, не является симметричным. Поэтому проведем "симметризацию" уравнения (4.2.2). Уравнение (4.2.2) равносильно следующему уравнению г с симметричным положительным ядром Таким образом, заменяя v{x) = у/р(х)и(х) в уравнении (4.2.4), получим следующее уравнение v(x) = \fZ(x,s)v(s)ds. Рассмотрим послед г нее уравнение в пространстве (Г). Оператор Bv(x) = f Z(x,s)v(s)ds г является симметричным, положительно определенным в Ьг(Г). Следовательно, его спектр положителен. Тогда спектр исходной задачи также положителен. Теорема доказана. 4.3 Спектральная задача для второй модели Рассмотрим спектральную задачу (4.3.1) где оператор L и функционалы 1 определены формулами (2.1.1) и (2.1.10), р[х) 0 непрерывная ограниченная на Г функция, Л - спектральный параметр. Используя оператор (4.2.2), где G(x, s) функция Грина задачи (2.1.11), спектральную задачу (4.3.1) можно записать в эквивалентном виде (4.2.3) при /л = \. Для этой модели справедливы утверждения теорем 4.2.1 и 4.2.2. Отметим, что здесь не выполнено условие lio - положительности оператора Кр, поэтому доказательство указанное в замечании к теореме 4.2.1 не подходит. Аналогично, не выполнены другие достаточные условия из теоремы 11.1 [79].
Спектральные свойства интегрального оператора с существенно положительным ядром
Основные продвижения сделаны для линейных уравнений второго порядка и задач Штурма -Лиувилля для этих уравнений. Воронежцами здесь изучены условия разрешимости широких классов краевых задач, установлены точные аналоги теорем сравнения Штурма, доказаны существование функции Грина и ее положительность, получены двусторонние оценки функции Грина, обеспечивающие щ - положительность соответствующего интегрального оператора. Использование результатов М.Г. Крейна, М. А. Красносельского и других авторов для положительных операторов позволило получить существование, положительность, простоту ведущего собственного значения, положительность соответствующей собственной функции и отсутствие у нее присоединенных функций.
В работах Ю.В. Покорного и его учеников [54, 60] построена теория неосцилляции для линейных уравнений второго порядка и получены оценки геометрической кратности собственных значений.
Гораздо менее изучены обыкновенные дифференциальные уравнения четвертого порядка на графе (см., например, [13, 69, 70, 71, 53, 72, 52, 73, 12, 74, 82]). В этих работах рассматриваются различные системы стержней с условиями шарнирного и упруго - шарнирного закрепления. Несмотря на внешние малые различая с уравнениями второго порядка, такие модели оказываются трудными для анализа. Например, изучение асимптотики спектра в [53] сделано в предположении постоянства коэффициентов. Первые результаты для цепочки стержней [82] были также получены в предположении постоянства части коэффициентов. Имеются результаты в задачах граничного управления [12, 81], с помощью методов, которые фактически не используют особенности графа. В работах [13, 69, 70] изучена разрешимость некоторых классов краевых задач, доказано сущ ествование положительной функции Грина и получены ее оценки. До настоящего времени практически не исследованными являются разнопорядковые краевые задачи на графах, для которых на различных ребрах рассматриваются уравнения различных порядков. В этом направлении известны лишь результаты Ю.В. Покорного, К.П. Лазарева для растянутой цепочки из струн и стержней [82, 74] и Ю.В. Покорного, Е.Н. Провоторовой для пучка из одинаковых струн и одинаковых стержней [80, 83]. Здесь были получены осцилляционные свойства спектра. Цель данной работы - изучение струнно - стержневой модели при ш наличии в конфигурации цикла. При изучении подобных задач обычно обсуждаются следующие проб лемы: построение математической модели, изучение корректности (сущ ествование, единственность решения, наличие удобного представления решения, например, в интегральной форме, непрерывная зависимость решения от параметров), изучение качественных свойств решений (на пример, знакорегулярность), исследование функции Грина (гладкость, знакорегулярность, симметричность), изучение свойств решений интег „ ральных неравенств, исследование кратности собственных значений и свойств соответствующих собственных функций и т.д. Диссертация посвящена изучению краевых задач для разнопорядковых дифференциальных уравнений на графе. В работе исследован вопрос о разрешимости задачи для общего графа, когда уравнения на разных ребрах графа имеют второй или четвертый порядок. Полигоном анализа качественных свойств служат две модели: - "струнно - стержневой крест" (две струны и два стержня, соединенных в одной вершине), - "стержневой треугольник со струнами" (треугольник, состоящий из стержней, растянутый за вершины струнами). Эти модели выделены по следующим причинам: во - первых, они содержательны и нетривиальны, имеют ясную физи ческую природу, во - вторых, они достаточно просты для проведения исчерпывающего анализа принципиально новых ситуаций, для выявления новых свойств, не связанных с обилием ребер, в - третьих, они несут главные особенности, порождающие проблемы в уравнениях на графах - а именно: сложные стыковки во внутренних вершинах и наличие циклов. Основные результаты, полученные в работе: - Установлена однозначная разрешимость краевой задачи для общей струнно - стержневой модели. Показано, что это свойство равносильно выполнению принципа максимума для однородной задачи без условий Дирихле. - Для каждой модели осуществлено построение функции Грина. - Изучены регулярные свойства функции Грина (в частности, непрерывность и гладкость). - Доказана симметричность функций Грина обеих моделей. - Установлена положительная обратимость обоих типов задач. 4 - Показана строгая положительность функции Грина первой модели и получены ее двусторонние оценки. - Дано описание множества нулей и зон положительности функции Грина второй модели. - Показана строгая положительность второго итерированного ядра -функции Грина второй модели. - Установлена позитивная простота ведущего собственного значения, в соответствующих спектральных задачах обеих моделей.
Похожие диссертации на О положительной обратимости разнопорядковых задач на графах
