Введение к работе
Актуальность темы. Большой теоретический и практический интерес
представляет изучение спектральных задач, порожденных
дифференциальными уравнениями на графах. Это связано как с развитием самой спектральной теории дифференциальных уравнений на графах, так и с запросами многих естественно - научных дисциплин. Многие задачи линейной теории устойчивости неконсервативных упругих систем сводятся к исследованию дифференциальных уравнений второго порядка. При исследовании устойчивости решений этих уравнений в инженерной литературе часто применяется спектральный подход. Так, решения задачи являются устойчизыми, если все собственные значения этой задачи имеют отрицательные вещественные части15 . В связи с этим вопрос устойчшюсти решений дифференциальных уравнений тесно переплетается с вопросами о структуре спектра и о зависішости собственных значений от начальных данных.
Наиболее активно исследуемыми на сегодняшний день являются задачи определения собственных и присоединенных функций, разложение определенных классов функций в ряд по собственным и присоединенным функциям. Задачи подобного рода возішкают, в частности, для обоснования метода Фурье решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных на графах. Эти вопросы имеют и важное самостоятельное значение в спектральной теории дифференциальных операторов. В настоящее время вопрос о базисности и полноте корневых (собственных и присоединенных) функций достаточно развит. В частности, М.Г. Завгородним2* установлена спектральная полнота корневых функций краевой задачи, заданной на графе. При этом были рассмотрены вопросы
'' Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. // М.
Физматгиз. 196]; Крейн М. Г. Лекции по теории линейных
дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.// АН Укр. ССР. Киев. 1961. 2) Завгородний М. Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи
на графе. //ДАН .1994. Т.335. №3. С.281-283.
натичия и вида цепочек собственных и присоединенных функций. Однако, вопросы, касающиеся описания корневых цепочек, вопрос о кратности собственных функций и длины цепочек присоединенных функций на графе до сих пор не затрагивались.
Цель работы. Описание структуры спектра краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на графе. Изучение зависимости собственных значений от параметров, входящих условие гладкости. Получение оденок для геометрической кратности собственных значений, а также исследование вопроса об алгебраической кратности собственных значений и о существовании присоединенных функций
Методика исследования. В диссертации используются качественные методы классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, методы теории уравнений математической физики, методы теории функций комплексного переменного, а также методы теории ОДУ на графах (развитые, в основном, воронежскими математиками).
Научная новизна. В работе изучена структура спектра краевой задачи на графе при произвольных (не обязательно положительных) параметрах ОС і (#), входящих в условия согласования. Выделено множество вещественных точек спектра, которые не зависят от параметров» ( (а). Получены оценки геометрической кратности собственных значений, зависящие от параметров at(a). Приводятся свойства собственных значений, геометрическая кратность которых максимальна. Рассмотрен вопрос о кратности собственных функций и о существовании присоединенных функций краевой задачи на графе.
Все результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут найти применение в дальнейшем развитии спектральной теории краевых задач на графах и в исследовании задач, возникающих в теории упругости, теории устойчивости и др.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались: на весенней Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения V" (Воронеж, 1994 г.), на зимней Воронежской математической школе "Современные методы в теории краевых задач'' (Воронеж, 1996 г.), в школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1997 г.), а также на семинаре по качественной теории краевых задач (проф. Покорный Ю.В., НИИ математики ВГУ).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Она содержит 119 страниц, включая библиографический список из 48 наименований работ соотечественников и зарубежных авторов.
