Введение к работе
Классическая задача интегральной геометрии (томографии) — задача определения неизвестной функции, если известны ее интегралы по всем прямым — была сформулирована и решена И. Радоном в 1917 году. Интегральная геометрия тесно связана с обратными задачами для уравнений переноса, которые заключается в определении решения уравнения и какого-нибудь коэффициента или правой части уравнения из условий, составляющих прямую задачу и некоторого дополнительного условия. Исследования в этом направлении отражены в работах М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, Ю. Е. Аниконова, А. Л. Бухгейма, F. Natterer и др., в которых изучались вопросы единственности, (условной) устойчивости, получены формулы и алгоритмы решений различных постановок таких обратных задач. Задачи интегральной геометрии, эмиссионной томографии в частности, исследовались И. М. Гель-фандом, В. П. Паламодовым, В. А. Шарафутдиновым, Р. Г. Мухомето-вым, Н. Г. Преображенским, В. В. Пикаловым, А. Markoe, О. Tretiak, P. Kuchment, Н. Tuy, D. Finch и др..
В данной работе изучаются плоские задачи томографии (задача Радона и задача эмиссионной томографии в веерной постановке), которые интерпретируются как краевые задачи для бесконечномерного аналога эллиптических систем первого порядка с операторными коэффициентами следующего вида
и- - Аиг + /z(z)Bu = 0. (1)
Здесь u(z) -— функция комплексной переменной z со значениями в комплексном банаховом пространстве X, А и В — линейные операторы в X. По аналогии со скалярным случаем уравнение (1) будем называть обобщенным уравнением типа Бельтрами, а оператор В — возмущающим оператором.
Предлагаемый метод изучения задач томографии позволяет получать новые формулы обращения и создавать численные алгоритмы, учитывающие свойства среды и излучения. Повышенный интерес к таким задачам томографии связан с использованием методов компьютерной томографии в различных областях науки, техники и медицине.
Целью работы является изучение двумерных задач томографии и обратных задач для уравнения переноса на плоскости с помощью теории решений бесконечномерных аналогов уравнения Бельтрами (теория Л-аналитических функций).
Системы вида (1) возникают либо при применении к исходным задачам метода сферических гармоник [3] и в двумерном случае это соответствует разложению в обычные ряды Фурье, либо при разложении решения прямой задачи в ряд Тейлора [1]. В первом случае задача редуцируется к бесконечной системе дифференциальных уравнений, котор ую удается записать в компактном (операторном) виде (1), удобном для дальнейшего исследования. Исследования конечномерных систем эллиптического типа вида (1) проводились ранеее при различных ограничениях на матрицу А. Так A. Douglis рассматривал аналог теории аналитических функций для случая, когда матрица А — нильпотентна (теория гипер-аналитических функций). Позже Б. Боярский ввел понятие Q— голоморфного вектора, т.е. решения уравнения (1) в случае, когда матрица Q — А имеет квазидиагональиый вид и все ее собственные числа меньше единицы. В данной работе рассматривается случай, важный для приложений, когда спектральнай радиус оператора А в банаховом пространстве X равен 1. Это ограничение на оператор А приводит к использованию шкалы банаховых пространств. В работе используются методы теории функций комплексного переменного, функциональгого анализа, теории дифференциальных уравнений с частными производными.
В работе получены следующие результаты:
предложен новый подход к изучению обратных задач для уравнения переноса на плоскости, с помощью которого исходная задача редуцируется к граничной задаче для операторного уравнения типа Бельтрами;
сформулированы и доказаны основные теоремы теории Л-анали-тических функций;
получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Радона в классе гладких функций и формула обращения для пре-
образования Радона в веерной постановке;
- в задаче эмиссионной томографии получены два варианта формулы обращения: первая формула используется в случае, если коэффициент поглощения есть вещественная аналитическая функция, а вторая — когда коэффициент поглощения имеет конечную гладкость.
Работа носит теоретический характер. Полученные формулы обращения могут использоваться при численном решении задачи эмиссионной томографии. Методы, используемые в работе, могут применяться в дальнейшем при решении обратных задач для уравнения переноса на плоскости с учетом неизотрошюго рассеяния.
Результаты работы докладывались на следующих конференциях: 4-ый Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии (Ташкент, 1989 г.), Условно-корректные задачи математической физики и анализа (Новосибирск, 1992 г.), International Symposium on Computerized Tomography (Новосибирск, 1993 г.), Сибирская конференция по неклассическим уравнениям матфизики (Новосибирск, 1995 г.), Обратные задачи геофизики (Новосибирск, 1996 г.).
Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приводится в конце автореферата.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа оформлена в системе Т^Х с использованием макропакета AMS-ТцХ и занимает 79 страниц печатного текста.
