Введение к работе
Актуальность темы. Основной вопрос диссертации - условия однозначной разрешимости и сохранения знака функции Грина двухточечных задач для. уравнения с распределенным отклонением аргумента. Тематика работы непосредственно связана с известной проблемой С.А.Чаплыгина. Теорема Чаплыгина1 утверждает, что для решения х задачи Когаи x'(t) = f(t,x(t)\ х(а) = а, t є [а,/?],
из неравенств z'{t)> f[t,z{tfj, t є [а, 6], z(a)>a, следует неравенство x{t)
Первые работы, посвященные вопросу о распространении этого утверждения о дифференциальном неравенстве на другие классы уравнений, принадлежат Б.Н.Петрову, Дж.Вилкинсу, Б.Н.Бабкину, Р.Беллману. Так Б.Н.Петров показал, что без дополнительных предположений эта замечательная теорема не переносится даже на уравнения второго порядка. В связи с этим Н.Н.Лузин поставил проблему о выяснении условий применимости теоремы Чаплыгина для других классов дифференциальных уравнений.
В случае функционально-дифференциального уравнения вопрос об условиях справедливости аналога теоремы Чаплыгина сводится к условиям, гарантирующим знакоопределенность функции Грина. Условия знакоопределенности функций Грина отдельных классов краевых задач были установлены Н.В.Азбелевым, В.Я.Дерром, А.И.Домошницким, С.М.Лабовским, С.А.Паком, А.Л.Тептиным и другими. Отметим в этой тематике исследования грузинских
1. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.-Л.-.ГИТТЛ, 1950.
математиков под руководством И.Т.Кигурадзе.
Цель работы. Получение эффективных условий однозначной разрешимости и сохранения знака функции Грина двухточечных задач для уравнения с распределенным отклонением аргумента.
Основной метод исследования. Предлагаемые в диссертации исследования базируются на общей теории функционально-дифференциальных уравнений .
Научная новизна. Все результаты диссертации, а также некоторые методы исследования являются новыми.
Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Дано решение проблемы С.А.Чаплыгина-Н.Н.Лузина для линейного функционально-дифференциального уравнения с распределенным отклонением аргумента. Условия однозначной разрешимости и знакоопределенности функции Грина линейного функционально-дифференциального уравнения позволяют решать вопросы существования и единственности решения краевой задачи для квазилинейного функционально-дифференциального уравнения.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Уральских региональных конференциях по функционально-дифференциальным уравнениям (Уфа, 1989; Пермь, 1990), на Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование, управление и оптимизация" (Горький, 1990), на семинаре АН Киргизии (Фрунзе, 1990), на Пермском городском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора Н.В.Азбелева (Пермь, 1990-1997), на семинаре кафедры математического анализа Челябинского госуниверситета (Челябинск, 1997).
1. Азбелсв Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 278 с.
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 6 работ. Список работ приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Она содержит 97 страниц, включая библиографический список из 104 наименований.
