Введение к работе
Актуальность теми. В теории колебаний исключительно боль-вое теоретическое и практическое значение имеет изучение одномерных и многомерных периодических и почти периодических.колебаний. Самые разнообразные задачи механики, физики, биологии сводятся к исследованию периодических и почти периодических решений как обыкновенных дифференциальных уравноний, так и ур~ аэнений в частных производных.
Классическая теория линейных уравнений с периодичесхаии коэффициентами и общая теория нелинейных периодических уравнений была создана А.М.Лялуновым и А.Пуанкаре. Изучение.реальных явлений естествознания и техники и создание общей теории почти периодических функций П.Г.Болем, 3,Эсклангоноы,.Р.Воромг С.Бох-нером, Б.М.Левитаном и другими привело, к современным актуальным задачам теории почти периодических колебаний и их приложениям, основы которых были разработаны.в фундаментальных трудах Н.М. Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Штропояьсяого, A.M.СамоЛлекко я других.
За последнее время значительно возрос интерес к проблеме периодических и почти периодических по временной и-пространст-венным переменным решений дифференциальных уравнений параболического типа. Исследованию этой проблемы-посвящены:работы XА. Багирова, В.В.Жикова, Н.Н.Кочиной, Д.ХУмбетяаксва, Дх.Хейла,. И.И.Шиулева, М,А.%бина и др^.
В процессе развития теории нелинейных колебаний возникли простейшие "модельные" уравнения, когорыЗ в некотором смысле обладают свойством -универсальности, т.е.ч.иогут встречаться при реиании задач самой разнообразной физической природы. К 'числу таких уравнений, например, относятся извзсткыз уравнения Бор-герса, Ланжевека, Актера, Фитцхьв-Нагумо и их многомерные, ана-
доги. Эти уравнения получены при изучении различных задач в гидродинамике, теории движения элементарных частиц, в генетике . и биологии. Периодические и почти периодические по временной переменной решения начально-краевых задач для уравнения Бяргер-са изучались Н.Н.Кочиной, И.И.ЕЫулеаьш, В.В.Шелухиныы и др.. Уравнение Лакжевена рассматривалось в работах Г.Хакена. Уравнения Фишера и Фитцхью-Нагуко и их разновидности исследовались в работах Дж.Марри и Д.Хенри. Все эти уравнения в известной ыэре объединяются общей главкой дифференциальной частью в виде оператора теплопроводности и различаэтся характером входящих в
них Н8ЛИНЄЙН0СТЄЙ.
Из физических соображений ясно, что если изучается развитие процесса в ыоыент, достаточно удаленный от начального, то влияние начальных условий практически не сказывается в мозгент наблюдения. В этом случае ставится задача об отыскании решения уравнения, удовлетворяющего граничным условиям одного из -грех типов и определенного для всех >-оо . Такая задача без начальных условий исследовалась еще Фурье при определении температурных колебаний.почвы. Немало физических явлений проистекая? периодически С скорее всего почти периодически) как во.времени, так и в пространстве. Очевидно, вопрос о почти периодических- как во временной» так и по пространственным переменным решениях в полной ыере. может быть поставлен и решен в рамках вышеназванных уравнений с почти периодическим относительно тех же переменных внешним источником или с краевой задачей по одной кз пространственных переменных с почти периодически по Еееы остальным переменный граничньм условием. Почти периодические решения краевых задач для линейных параболических уравнений изучались в работах Д.У.Укбетаанова, им решен вопрос о существовании, единственности и устойчивости почти пердодичес-
кого решения краевых задач всех трех типов, установлен аналитический вид такого решения. Эти результаты распространены и' на случай систем параболических уравнений с матричными коэффициентами. Б данной диссертационной работе основным объектом исследований стали вышеприведенные нелинейные модельные уравнения в обобщенном виде, а именно, рассматривается многомерный случай, и крсие того, уравнения дополняются младшим и свободным членами, превращаясь тем самым в неоднородные нелинейные параболические уравнения. В связи с этим в работе употребляется термин "уравнение типа Еюргерса", "уравнение типа ЛанжеБена" и т.д., с различными краевыми задачами.
Цель работы. Исследование условий существования и единственности почти периодических решений первой и второй краевых задач для многомерных уравнений типа Фитцхью-Нагумо и типа Фишера с нелинейны» конвективным потоком, частными случаями которых являются соответственно уравнения типа Ланжевена и типа Бзэргерса.
Научная новизна. В диссертационной работе вопрос о почти периодических решениях краевых задач для параболических уравнений с нелинейностями специального вида ставится впервые и решается положительно в классе гладких ограниченных почти периодических функций. Кроме того, изучена краевая задача для уравнения типа Ланжевена с нелинейностью в граничном условии а почти периодическими входными данными. Для построения почти периодических решений изучаемых нелинейных задач в основном применен метод последовательных приближений.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит в основном теоретический характер. Результаты работы могут быть также полезны при решении ряда прикладных задач, приводящихся к изученным в работе нелинейным уравнениям.
- б-
На зашиту автор-выносит' следувіцие результаты:
доказаны теоремы о существовании и единственности почти периодических реаений первой и второй полупространственнкх краевых задач для уравнении типа Фитцхъю-Нагумо и типа Фихера, которые в частном случае переходят к уравнениям типа Ланжевена и типа Бсргерса соответственно;
доказано существование и единственность почти периодического решения краевой задачи для уравнения типа Ланжевена с нелинейным граничным условием;
получены в явном виде коэффициентные критерии, обеспечивамаие однозначную разрешимость рассматриваемых краевых задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Республиканской конференции, посвященной 100-летию первого профессора-казаха по математике А.А.Ермекова (Жезказ-5'ан, 1992), конференции, посвященной 70-летию профессора Т.И. Аманова (Алкаты, 1993);
- на научных семинарах: по.фрактальной геометрии акад. HAH РК
В.М.Амербаева, по уравнениям натематической физики членов-корр.
НАК РК Е.И.Кима и С.НіХарина, по теории функции и функциональ
ному анализу члена-корр. НАН РК Н.К.Блиева, по дифференциальным
уравнениям и функциональным пространствам члена-корр.'НАН РК
Д.У.Умбетаанова при Институте теоретической и прикладной мате
матики НАН ЕК, по уравнениям математической физики проф. СЕ.
Темирбулатова, по корректным задачам акад. ИА РК Ш.С.Смагулова
при КазНГУ им. Аль-Фараби.
Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть статей, перечень которых приложен в конце автореферата.
Структура и объем раорты..Диссертация изложена на 100 страницах машинописного текста,- состоит из введения, трех глав, разделенных на II параграфов и списка литературы.
