Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвяаека изучению задач оптимального управления в динамических системах с распределенном шраметрами, списываемых дифференциал ьньл<и уравнениями с частными производными.
Последние 15-20 дет интенсивно изучайте я задачи оптимального управления в системах, описываемых диффэренциалыаэли уравнениями с частными производными. В качества управляющих параметров в таких системах выступает:
-
неоднородіінв слагаете в дифференциальных операторахj
-
коэффициенты дифференциальных операторов?
-
граничные условия;
-
начальные условия;
-
пространственные и вреыендае области изменения аргументов иско.ялс функций,
Отметим, что как правило, в ситуациях 1-4 считается, что области изменения аргументов неизвестных функций состояния за^ фиксированы и не изменяются в течение всего процесса управления.
В диссертационной работе изучаются задачи управления систем иами, описываемыми уравнения:'И с частотами прсигзодкыми, в которых управляющие параметры входят в неоднородна' слагаете Д) или в коэффициенты дифференциального оператора (2), или в граненные условия (3), а также задачи управления формой области .().
Среди мнокества различных постановок задач оптимизации в случаях 1,2,3 выделяются задачи позиционного управления^ в kgtQt рых требуется построить решение на основании информации о текущей позиции системы в каздыА момент времени. При зто.>* под пози-? цией может пониматься, вообще говоря, объект более широкой природы, чем, например, состояние системы в данный момент времени.
Значительный вклад в становление и развитие теории позиционного управления внесли Л.С.Пснтрягин, Н.Н.Крзсовехий, К.С.Осипов» А.Б.Куржанский, Б.Н.Пше.чичный, А.М.Субботин, А.В.Крягоис-кий, А.Г.Ченцов, Д.А.Петросян, М.С.Никольский, А.вридман, Ж.-Д./ Лионе, А,Венсусан и многие другие.
Основным объектом исследования в теории позиционных дифференциальных игр является проблема сближения-уклонения, а одним из основных методов построения разрешающих стратегий -принцип экстремального прицеливания, предложенный Н.Н.Красовским.
Ка базе -этого принципа в последние года были построены новые катематкч'-окие модели, стнсскаиеся к теории некорректных задач. В работах і).С.Ссипова и А.В.Крязшмского были заложены основы теории .динамической регуляризации.
Исследование структурі задач позиционного управления в ликейккх динамических системах, описываемых уравнениями с частішали производными, показало, что при построении разрешающих стратегий важно правильно звыбрать подходящее функциональное пространство состояний и аналог правила экстремального прицеливания» позволяющие полупить нужные оценки менду траекториями
УПРЗЕДИБ!.! ОЙ СИСїека .
jEaKHw образом, для систем, описываемых нелинейными диффе-ренциамьнкии уравнениями в банахошх пространствах, актуальной является задача построений аналога принципа экстремального прицеливания и выбора подходящего функционального пространства состояний .
В более общей постановке возникает задача изучения абстрактніше динамических управляемых систем и построения для них аналога принципа экстремального прицеливания»
Stkm актуальным задачам яоевямена первая глава диссертационной работы.
Следующий круг вопросов, изучаемых в работе, связан с теорией управления формой "пространственной" области, в которой протекает процесс, описышем^ дифференциальными уравнениями с часгныкк производными (случай 5).
Приблекы управления формой области является ооьектоы мате
матических исследованиГі. последние 15-20 лет. В развитие этой
тематики большой вклад внесли ІК.-Л.Лионе» А.Фридыан. Я.Гаслин-
гер, П.йейгаанмяки, й.-Б.Золезио, Ю.С.Осипов, А.В.Баничук,
К.А.ЇІурье, В.Г.Литвинов и многие другие. * . '
В работах этих авторов предлагаются различные подходы к исследованию и.формализации задач управления формой области.
Отметим, что первые обшематеыатичеекке постановки задач оптимального управления формой области были сделаны в работах Ж4-Д.Дконса CI-2].
Обстоятельное исследование вопросов существования оптиыаль ных областей для эллиптических управляемых систем было проведено в работах Й.С.Осипова и А.ІІ.Суетова ГЗ-4І.
В монографии Й.Гаслингера и Р.Нейтаанмякн [5] рассматри-
ваются различные типы ашрекскмациошой задачи управлении формой области, приводящие к исследованию довольно сложных конечномерных задач нелинейного программирования,
В диссертационной работе предлагается использовать мепд штрафа по форме области для исследовали* задач управления формой области с параболических, эллиптических и гиперболичесних управляемых системах второго порядка с однородными граничными условиями Дирихле.
В последнее время, D основном благодаря работам А.Фридмана и его школы, значительно возрос интерес к математическим мсмел.тм задач со свободными граница).. Рад таких задач может быть исследован методами теории оптимального управления формой области.
Таким образом, практическая злзчимость обсуздаемого круга вопросов и трудности, сзяЕаннке. с математическими моделями,сти-муяируют развитие теории оптимального управлений формой области в системах с распределенными параметрами. Этим актуальным проблемам посвшены три главы диссертации.
Цель работы. Цель» диссерташонноН работы являєте.", разработка и обоснование облих мэтодоа исследования задач позиционного управления, опиравдихся на аналог принципа экстремального прицеливания в банаховых пространствах. Изучение гадчч оптимального управления формой области в системах с распреді ленккми ларачїет-раііи л применение подобных моделей к задачам со свободными границами.
Общая методика исследований. В основе развиваемые в работе методов исследования лежат результата теории позиционных дифференциальных игр, опирающиеся на обобщенный принцип экстремального прицеливания, теории сообаешшх решений краевых задач математической физики, современной теории оптимизации в функциональных пространствах и теории случайных процессов.
Научная ь'овизна. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми, Среди них отметай следулцис.
-
Предложено обобщение принципа экстремального прицеливания для нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.
-
Вкделен класс абстрактных динамических систем, непрерывных по управлявшим параметрам, для которых возможно построение аналога принципа экстремального прицеливания и стратегий, решающих абстрактную проблему сближения-укло-
- б -
некия.
З* їїрогі'дено систематическое исследование задач управления формой области специальным ;.,етодсм штрафа для уравнений параболического, эллиптического и гиперболического типа.
4. Впервые предложены оптимизационные модели задач со свободными грапииами, в которых роль управляющих параметров играет форма-пространственней области.
Теоретическая к практическая ценность работы. Полученные в .' работе результати вносят гг.?-а с теории позиционного управления динамическими систлмами с р^г:редеяенкыми параметрами. Предложенное обобщение- принципа экстремального прицеливания позволяет строить алгоритм:, "отсдеживаадиз" двикения динамических управляемых систем к ленащие в основе методов динамической регуляризации.
Зоназаїіьі возмоккости применения метода штрафа по форме области для решения задач оптимального управления формой области.
Исследован ряд классических задач (типа Стефана) со свободны). /раницакк, допусканих новые математические модели в виде задач оптимального управления форнс;ї области. На базе'Метода штрафа по qiop:«e области могут быть предложены новые алгоритмы численного моделирования задач со свободными границами.
Предлокенние ь работе иетодн исследования могут найти приложение в теоретических иесг. доваккях задач оптимального управления в сложных динамических системах, спискваеюж, например, вариацм-онними и кваэиваркациенными неравенствами. Зги методы и полученные r реботе.результаты кигут быть использованы при проведении теоретических исследований*в Уральском государственном университете, Институте катег/атики и механики УрО РАК и других научных учреждениях.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах.
-
Всесоюзная конференция "Динамическое управление", Свердловск, 1979. .
-
Лї Всесоюзная конференция "Качественная теория дифференциальных уравнений", Рига, 1989.
-
Нікола-семинар "Разрывные динамические системы", Киев, І98Р
-
Научная конференция 'Разрывные динамические системы", . йваново-Франковск, I9S0.
-
УІЇ Всесоюзная конференция "Управление в механических системах", Свердлове^ 1990.
6. Международная конференция "Задачи со сзобсдаьа,;» грапиали
в механике сплошной среда", Новосибирск, 1991.
7. Международная конференция "Некорректные задачи с клуне и
. технике", Москва, Ї99Ї.
-
Научная конференция "Разрывные динамические системы", Ужгород, 1991. . .,.
-
First WcrU Comjtvss о Кслйтаг ЛплЦ^ч , Ю/пра, HorlAx USA.A^H- «-26,4992..
-
3"^ I»\Aer*u>.to«At ІМЄКО SL^pcelu.m. on Ті^со DUujn^-tlcs, DmJen. , P^G ,5Є(ЛатЬ*гг- 2.3-2S , 1Q3C..
-
40^5. Conference, on prbSkn'is a»ii. ттиЛІюск u* mcCtU«.ma.-
Структура ь собьем диссертация» Диссертация состоит из Введения, списка обозначений, четырех глаз, двух Приложений,заключения и списка литературы. Объем составляет 215 страниц машинописного текста, 23 рисунка. Библиография включает 112 наименований работ отечественных и зарубежных математиков.
(ЙДЕРШИЕ РА5СИ
Во введении к диссертации приводится обосноьанке актуальности выбранной темы исследований и дается краткое изложение основных результатов.
