Введение к работе
Актуальность темы. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, основы которой были заложены в 60-е годы прошлого столетия в работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова и др., в настоящее время, является одним из интенсивно развивающихся научных направлений. Теория получила широкое развитие в исследованиях А.Г. Бутковского,
А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова, К.А. Лурье, В.И. Плотникова,
Ж.Л. Лионса, их учеников и последователей.
На практике встречаются множество задач прикладного характера, где действие функции внешнего воздействия сосредоточено в одной точке, которая может быть как фиксированной, так и подвижной.
В случаях, когда точка приложения внешних воздействий сосредоточена на границе появляется задача оптимизации с граничными управлениями. Примеры подобного рода задач для тепловых процессов приведены в монографиях А.Г. Бутковского
1) Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. – М.: Наука, 1965; 2) Методы управления системами с распределенными параметрами. – М:.Наука, 1975. В природе реальные процессы обычно протекают нелинейно. Поэтому многие задачи прикладного характера, в частности задачи оптимизации, по своей сущности являются нелинейными. Однако нелинейные задачи оптимизации из-за сложности их исследования и недостаточной разработанности методов их решения относятся к мало изученной области теории оптимального управления. В диссертации основное внимание уделено исследованию задачи нелинейной оптимизации, где граничное управление является нелинейной функцией от управляющих параметров, например, задача оптимального нагрева стержня при тепловом лучистом обмене на концах стержня, происходящего по закону Стефана-Больцмана, приводит к задаче с нелинейным граничным управлением.
Исследование разрешимости нелинейных задач оптимизации и разработка конструктивных методов их решения является одной из актуальных задач теории оптимального управления системами с распределенными параметрами.
Цель работы Исследовать разрешимость задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при нелинейных граничных управлениях в случае, когда
-
функция граничного воздействия (теплового потока) нелинейно зависит от скалярной функции управления;
-
функция граничного воздействия (теплового потока) нелинейно зависит от векторной функции управления;
и разработать алгоритм построения приближенного решения, доказать их сходимость к точному решению задачи нелинейной оптимизации по оптимальному управлению, оптимальному процессу и функционалу.
Методика исследования. В процессе исследования использованы методы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории интегральных уравнений, функционального анализа, а также метод решения нелинейных интегральных уравнений с дополнительным условием в виде неравенства, разработанный проф. А. Керимбековым.
Научная новизна работы. Впервые, на примере управления тепловыми процессами, происходящими в стержне конечной длины, разработан алгоритм построения приближенного решения нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов в случае,
1) когда функция граничного воздействия (теплового потока) нелинейно зависит от скалярной функции управления (управление с одного конца);
2) когда функций граничных воздействий (тепловых потоков) нелинейно зависят от векторной функции управления (векторное управление с двух концов).
Полученные результаты являются новыми в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, в частности
– установлено, что оптимальное управление определяется как решение нелинейного интегрального уравнения и удовлетворяет дополнительному условию в виде неравенства;
– найдено достаточное условие разрешимости задачи нелинейной оптимизации с нелинейным граничным управлением и результаты обобщены на векторный случай;
– разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации (как в случае скалярного, так и в случае векторного управлений) и доказана их сходимость к точному решению.
Основные положения, выносимые на защиту:
– найдены достаточные условия разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса, происходящих в стержне, в случае минимизации квадратичного функционала и управления с одного конца;
– найдены достаточные условия разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса, происходящих в стержне, в случае минимизации квадратичного функционала и векторного управления с двух концов;
– разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при нелинейных граничных скалярных и векторных управлений и доказана его сходимость;
– теоретические выводы подтверждены численными расчетами которые проводились на модельных задачах управления тепловыми процессами.
Теоретическая и практическая ценность. Разработанный алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации при нелинейных граничных управлений может быть использован на практике в прикладных задачах связанных с управлением тепловых процессов. Полученные теоретические выводы представляют интерес в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, ибо они могут быть использованы для развития методов исследования и при разработке конструктивных методов решения нелинейных задач оптимизации.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации были доложены на
Ежегодной конференции молодых ученых и студентов: «Современные техника и технологии в научных исследованиях» МНИЦГП научная станция РАН (Бишкек, 2009–2011)
международной научной конференции «Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике», посвященной 80-летию члена-корр. РАН Иманалиева М.И. (Бишкек, 2011)
научном семинаре «Оптимальное управление системами с распределенными параметрами» кафедры «Прикладная математика и информатика» Кыргызско-Российского Славянского Университета (научн. рук. д.ф.-м.н., проф. Керимбеков А.)
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения,
3 глав, заключения, списка литературы из 69 наименований и приложений. Общий объем работы содержит 105 страниц машинописного текста, 9 таблиц и 13 рисунков. Нумерация математических соотношений и формул производится по главам и параграфам в виде (a.b.c), где а – номер главы, b – номер параграфа в данной главе, c – номер формулы в данном параграфе.
