Введение к работе
Актуальность работы. Основы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами были заложены в 60-е годы прошлого столетия. Исследования в этом направлении впервые проводились в работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова. Далее теория получила широкое развитие в исследованиях А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова, К.А. Лурье, В.И.Плотникова, Ж.Л. Лионса, их учеников и последователей и в настоящее время, является одним из интенсивно развивающихся научных направлений.
При разработке методов решения, задач оптимизации систем с распределенными параметрами множество работ были посвящены исследованию линейно-квадратичных задач, где уравнение управляемого процесса содержит функцию управления линейно и минимизируется интегральный квадратичный функционал. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности управления и разработаны методы решения линейно-квадратичных задач.
На практике математическая модель многих прикладных задач приводит к необходимости решения нелинейных задач, где, например, уравнение управляющего процесса содержит функцию внешнего источника, нелинейно зависящую от функции управления, и минимизируется интегральный функционал того или иного вида. Нелинейные задачи оптимизации из-за сложности их исследования и недостаточной разработанности методов их решения относятся к мало изученной области теории оптимального управления. Поэтому исследование вопросов разрешимости нелинейных задач оптимизации и разработка конструктивных методов их решения является одной из актуальных задач теории оптимального управления системами с распределенными параметрами.
Цели и задачи работы. Исследовать вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при следующих условиях:
-
Уравнение управляемого процесса содержит переменный коэффициент, который в общем случае является, разрывной функцией по временной переменной;
-
Функция внешнего воздействия нелинейно зависит от функции управления;
-
Минимизируется интегральный функционал, который является либо квадратичным, либо кусочно-линейным относительно функции управления;
и разработать алгоритм построения приближенного решения, заданной точности, доказать его сходимость к точному решению задачи нелинейной оптимизации по оптимальному управлению, оптимальному процессу и функционалу.
Методы исследования. В процессе исследования использованы методы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории интегральных уравнений, функционального анализа, а также метод решения нелинейных интегральных уравнений с дополнительным условием в виде неравенства.
Научная новизна. Впервые разработан алгоритм построения
приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых
процессов в случае, когда уравнение управляемого процесса содержит
разрывный коэффициент и минимизируется кусочно-линейный (или
квадратичный) функционал. Полученные результаты являются новыми
в теории оптимального управления системами с
распределенными параметрами, в частности
установлено, что оптимальное управление определяется как знакоопределенное решение нелинейного интегрального уравнения с дополнительным условием в виде неравенства;
установлен класс функций f[t,u(t)~\, на котором задача
нелинейной оптимизации имеет решение.
- построено (n,k)-e приближенние решения задачи нелинейной
оптимизации в виде тройки (и*(0,^(/^),/[«*(0]) и доказана их
сходимость к точному решению по схеме:
Uk(t) ; >U (?) >U(t)
для оптимального управления,
Vk(t,х) —г >V (t,х) >V(t,х)
для оптимального процесса,
для функционала;
- получены неравенства, позволяющие оценить близость между
точным и приближенными решениями.
Основные положения, выносимые на защиту:
найдены достаточные условия, однозначной разрешимости нелинейного интегрального уравнения оптимального управления с дополнительным условием в виде неравенства, как в случае минимизации кусочно-линейного функционала, так и в случае минимизации квадратичного функционала;
установлено, что задача нелинейной оптимизации имеет решение лишь для определенного класса функций /Г?,м(Л~|
построено приближенное решение задачи нелинейной оптимизации и доказана его сходимость, получены ряд неравенств, позволяющих оценить допускаемую погрешность;
на модельных примерах управления тепловыми процессами дана численная реализация алгоритма построения приближенных решений, которая подтверждает достоверность теоретических выводов.
Теоретическая и практическая ценность работы.
Разработанный алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при наличии разрывного коэффициента в уравнении позволяет довести решение задачи до численных расчетов и пригоден для решения многих прикладных задач, связанных с управлением тепловыми процессами, в случаях минимизации интегрального кусочно-линейного и квадратичного функционалов.
Апробация работы. Материалы настоящей работы докладывались на:
П Международной научной конференции «Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике» (Бишкек, 2008);
Ш Международной науйной конференции «Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике» (Бишкек, 2010);
«Ежегодной конференции молодых ученых и студентов - Современные техника и технологии в научных исследованиях» (Бишкек, 2009-2010 гт);
научном семинаре кафедры «прикладная математика и информатика» Кьфгызско-Российского Славянского Университета (научн. рук. д.ф.-м.н., проф. Керимбеков А.);
научном семинаре кафедры «дифференциальные уравнения» Кыргызского Национального Университета.
Структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 74 наименований и
приложений. Общий объем работы содержит страниц
машинописного текста. Нумерация математических соотношений и формул производится по главам и параграфам в виде (а.Ь.с), где а -номер главы, b - номер параграфа в данной главе, с - номер формулы в данном параграфе.
