Введение к работе
Актуальность темы. В течение последних пятидесяти лет внимание
многих авторов, занимающихся асимптотическими методами теории
дифференциальных уравнений, привлекали дифференциальные уравнения,
содержащие малый параметр при производной. Этот интерес обусловлен
интенсивным развитием таких областей, как теория автоматического
регулирования, теория нелинейных колебаний, квантовая механика, гидродинамика, кинетика и др. Эти уравнения естественным образом возникают при моделировании и исследовании объектов различной природы, характерной особенностью которых является способность совершать одновременно быстрые и медленные движения, например, гироскопические и электромеханические системы.
Системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр при части производных, вида
dx г, . dy , .
— = f(x,y,t,s), s — = g(x,y,t,s),
dt dt
где є- малый параметр, относятся к классу сингулярно возмущенных систем.
Трудность построения асимптотического разложения решений таких уравнений и невозможность применения к ним обычной "классической" схемы разложения в степенной ряд по малому параметру связана с тем, что если формально положить значение параметра равным нулю, то порядок уравнения понижается и решение упрощенного таким образом уравнения не может удовлетворить всем дополнительным условиям, поставленным для исходного уравнения.
За последние десятилетия изучен довольно широкий круг задач, связанных с сингуляными возмущениями, и разработаны разнообразные методы решения этих задач. Одним из основных методов является метод пограничных функций, предложенный для линейных задач М.И. Вишиком и Л.А. Люстерником и для нелинейных задач А.Б. Васильевой.
Асимптотические методы исследования сингулярно возмущенных систем активно используются в теории оптимальных процессов. Эти методы применяются в теории автоматического управления для систем, динамика которых объективно складывается из разнотемповых движений. Следует заметить, что сингулярные возмущения могут также появиться и в однотемповых системах из-за специфики применяемых методов, например, метода штрафов при малом коэффициенте штрафа за управление ("дешевое" управление).
Обзором, охватывающим многочисленные направления использования теории сингулярных возмущений в задачах управления, является обзор А.Б. Васильевой и М.Г. Дмитриева (Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. Итоги науки и техники. Серия "Математический анализ"; М.: ВИНИТИ. 1982). Со времени опубликования этого обзора
появились новые идеи и результаты, которые отражены в обзоре М.Г. Дмитриева и Г.А. Куриной (Сингулярные возмущения в задачах управления. Автоматика и телемеханика. 2006. № 1).
Большинство статей и монографий по этой тематике имеют в своей основе тот или иной метод построения асимптотических разложений решений краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления. При этом широко используется как метод пограничных функций (А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов), так и методы разделения движений (В.В. Стрыгин, В.А. Соболев) и согласования асимптотических разложений (A.M. Ильин). Другой подход к построению асимптотики решения задач оптимального управления, называемый прямой схемой, состоит в непосредственной подстановке постулируемого асимптотического разложения решения в условие задачи и нахождении серии задач оптимального управления, решениями которых являются члены асимптотики. Впервые этот подход использовался для сингулярно возмущенных задач СВ. Белокопытовым и М.Г. Дмитриевым.
Однако в задачах с замкнутой областью значений управляющей функции применение этих методов построения асимптотики оптимального управления встречает ряд препятствий. Например, проблема с гладкостью. Для задач, содержащих ограничение на управление, исследования до конца 80-х годов носили преимущественно качественный характер. В основном исследовался предельный переход решения возмущенной задачи к решению вырожденной при стремлении малого параметра к нулю. Здесь следует указать работы P.V. Kokotovic и А.Н. Haddad, Т.Р. Гичева, А.Л. Дончева, M.D. Ardema.
Вопросы о наличии и местоположении дополнительных точек переключения оптимального управления исходной сингулярно возмущенной задачи оптимального быстродействия по отношению к вырожденной изучались в работе W.D. Collins (Singular perturbations of linear time-optimal control problems. Recent Mathematical Developments in Control; New York: Academic Press. 1973). Было установлено, что точки переключения оптимального управления в возмущенной задаче при достаточно малых значениях параметра делятся на три группы. К первой группе относятся точки, сосредоточенные вблизи начального момента. Множество таких точек может быть пустым. Второй группе принадлежат точки, близкие к соответствующим точкам переключения вырожденной задачи. Наконец, третья группа состоит из точек, сосредоточенных вблизи конечного момента (множество этих точек, вообще говоря, пустым быть не может, так как их появление обусловлено необходимостью исправить потерю граничных условий (если таковая произошла) при переходе к вырожденной задаче).
Метод построения асимптотических приближений к решениям широкого класса регулярно и сингулярно возмущенных задач оптимального управления, в которых уравнение состояния линейно по управлению, а на значения управляющей функции наложены ограничения типа замкнутых неравенств, впервые был разработан А.И. Калининым (см., например, Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем. Мн.:
"Экоперспектива". 2000). Этот метод позволяет получить в явном виде асимптотику точек переключения оптимального управления и построить для заданного натурального числа N асимптотически TV-субоптимальное управление. Мы используем далее понятие N - субоптимального управления из монографии А.И. Калинина.
Асимптотика решения задачи оптимального быстродействия в случае, когда вырожденная задача имеет решение с разрывным управлением, а у возмущенной задачи управление непрерывно, построена А.Р. Данилиным и A.M. Ильиным.
В диссертации О.В. Видилиной (Интегральные многообразия в задачах
оптимального быстродействия для сингулярно возмущенных
дифференциальных уравнений. Автореф. дис. на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Воронеж. 2007.) для построения асимптотики точек переключения оптимального управления в задаче оптимального быстродействия сначала производится декомпозиция уравнения состояния на уравнения с быстрыми и медленными переменными. Затем, постулируя структуру оптимального управления, выписываются соотношения для отыскания асимптотики точек переключения оптимального управления. В этой работе фактически идет речь о построении асимптотики точек переключения допустимых управлений.
В последние двадцать лет возрос интерес к задачам управления с не разрешенным относительно производной уравнением состояния. Системы, описываемые уравнением такого вида, можно встретить в экономике (уравнение межотраслевого баланса, модель Леонтьева), в теории электронных схем и в радиофизике. Задачи управления с не разрешенным относительно производной уравнением состояния наряду с самостоятельным интересом представляют также интерес и в теории сингулярно возмущенных задач, так как при пренебрежении малыми параметрами дифференциальный порядок модели понижается и возникает вопрос о существовании оптимального управления в такой вырожденной задаче, а также вопрос о корректности пренебрежения в смысле близости решений возмущенной и невозмущенной задач. Если даже решение вырожденной задачи не существует, то интерес представляет построение асимптотического разложения по малому параметру решения возмущенной задачи.
Наиболее полно изученными являются сингулярно возмущенные задачи управления, приводящиеся к уравнениям с оператором вида Ал-єВ при производной, где оператор А вырожден, а А + єВ обратим при достаточно малых єфО. Если Ал-єВфdiag{I,єі), то такие задачи будем называть матрично сингулярно возмущенными. Ранее асимптотическое разложение решений матрично сингулярно возмущенных задач оптимального управления строилось только для задач без ограничений на значения управляющих функций.
Цель работы. Основная цель настоящей диссертации - изучение структуры точек переключения оптимального управления для линейной матрично сингулярно возмущенной задачи оптимального быстродействия и построение асимптотических разложений точек переключения оптимального управления для линейной матрично сингулярно возмущенной задачи оптимального быстродействия и для одной линейной матрично сингулярно возмущенной задачи терминального управления при наличии ограничений на значения управляющей функции типа замкнутых неравенств.
Методика исследований. При изучении структуры точек переключения оптимального управления для матрично сингулярно возмущенной задачи оптимального быстродействия используется идея W.D. Collins о разбиении множества точек переключения на три класса. Предварительно исходное уравнение состояния приводится к системе, в которой выделены быстрые и медленные переменные, затем производится переход к каноническому представлению системы.
При построении асимптотических разложений решений применяется идея метода, предложенного А.И. Калининым, согласно которому асимптотика точек переключения оптимального управления возмущенной задачи строится на основе точек переключения двух невозмущенных (базовых) задач меньшей размерности.
Поскольку в диссертации исследуются системы с нестандартным вхождением малого параметра, то непосредственно использовать результаты работ W.D. Collins и А.И. Калинина не представляется возможным.
В работе используются основные факты теории оптимального управления (принцип максимума Л.С. Понтрягина, теорема о числе переключений и т. п.), классические факты линейной алгебры и теории дифференциальных уравнений.
Научная новизна. В работе изучена структура точек переключения оптимального управления для нового класса сингулярно возмущеных задач, а именно, для матрично сингулярно возмущенных линейных задач оптимального быстродействия. Построена асимптотика точек переключения оптимального управления для матрично сингулярно возмущенной линейной задачи оптимального быстродействия и для одной матрично сингулярно возмущенной задачи терминального управления. Предлагаемый в диссертации алгоритм построения асимптотики проще, чем алгоритм А.И. Калинина для стандартных сингулярно возмущенных задач, поскольку предварительно производится разделение движений в уравнении состояния.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты выясняют асимптотическую структуру оптимального управления для нового класса задач: линейных матрично сингулярно возмущенных задач оптимального быстродействия и терминального управления. При построении асимптотических разложений отсутствуют проблемы с вычислительной неустойчивостью, так как вычислительные процедуры алгоритмов не содержат интегрирования жестких систем. Приведенные алгоритмы построения
асимптотических разложений точек переключения могут быть использованы для практических задач.
Апробация работы. Основные результаты докладывались на заседаниях межвузовского научного семинара (руководители проф. В.Г. Задорожний и проф. Г.А. Курина, ВГУ, 2003-2006), на ежегодных научных конференциях в Воронежской государственной лесотехнической академии (2002-2007), на Весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIII" (Воронеж, 2002), на Международном семинаре "Физико-математическое моделирование систем" (Воронеж, 2004, 2005, 2006), на IV Международном семинаре "Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах" (Воронеж, 2005), на Крымской осенней математической школе - симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ - 2007).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 печатных работах [1] - [8]. Работа [8] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 19 параграфов, 22 рисунка, и списка литературы. Объем диссертации 138 страниц. Библиографический список содержит 81 наименование.
