Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ
2. Полугруппы exp{-zF(t#)} 22
3. Операторы KCW и K^VO 29
4. Оператор Ц (t,t) 33
5, Линейное уравнение 40
б. Квазилинейное уравнение 45
7. Дополнительные оценки гладкости . 50
8. Оператор в шкале пространств 59
ГЛАВА II. ПРИНЦИП УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ
9. Принцип усреднения для линейного однородного уравнения 65
10. Принцип усреднения и устойчивость . 78
11. Принцип усреднения для квазилинейного уравнения 84
12. Принцип усреднения и нелокальная раз
решимость квазилинейного уравнения 96
ГЛАВА III. ПРИНЦИП УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ КОШИ
13. Резольвента дифференциального оператора 99
14. Дифференциальные операторы в шкале Гёльдера 101
15. Коммутанты дифференциальных операторов 104
16. Задача Коши для параболических уравнений 115
ЛИТЕРАТУРА 122
- Полугруппы exp{-zF(t#)}
- Принцип усреднения для линейного однородного уравнения
- Резольвента дифференциального оператора
Полугруппы exp{-zF(t#)}
Систематическое исследование принципа усреднения на временной оси для параболических уравнений, содержащих большой множитель при X в коэффициентах при старших производных, было проведено в работах [16,17J /см. также ів]/. В них разработана тео рия абстрактных уравнений такого вида, названных в [іб] уравнениями с переменным главным членом. В приложении к линейным параболическим уравнениям произвольного порядка 2 Ш дивергентного вида эта теория позволила установить слабую сходимость в L 2 /точнее в Mj /-норме производных решений iLrtjOC) по X до порядка ПХ к соответствующим производным решения усреднённого уравнения. Эта теория позволила исследовать также квазилинейные параболические уравнения второго порядка дивергентного вида и установить сходимость в G -норме решений этих уравнений к решениям усреднённых уравнений.
В последние годы интерес математиков привлекают задачи многомерного усреднения. Исследуются уравнения, коэффициенты которых содержат большие множители не только у fc , но и у X . Принцип усреднения и более общее понятие I -сходимость для линейных эллиптических и параболических уравнений произвольного порядка 2пъ дивергентного вида исследованы в работах [і9,20,2і]. В этих работах имеется также подробная библиография предшествующих работ по ft -сходимости и принципу усреднения.
Принцип усреднения для линейного однородного уравнения
Из локальной теоремы II.I для задачи /II/ и соответствующего утверждения для задачи /15/ вытекает, что они не могут иметь более одного решения, и что они локально разрешимы. Затем применяются теоремы II.3 и 12.2, устанавливающие нелокальную разрешимость задачи /II/ при больших СО . Одновременно теорема II.3 позволяет получить оценки /16/. Такова схема доказательства теоремы 4.
Резольвента дифференциального оператора
В 15 устанавливаются оценки коммутантов одних дифференциальных операторов с резольвентами других /леммы 3,4,5, с.108, 109,113/. На этих оценках основан метод "коммутант". Результаты 13- 15 позволяют применить теорию глав I и II, что и делается в завершающем 16. Сначала рассмотрена задача Коши для линейного однородного уравнения. Доказано существование оператора сдвига в предположении непрерывности коэффициентов по и гёльдеровости по X /теорема I, с.116/. Установлен принцип усреднения с оценками скорости сходимости /теорема 2, с.118/. Получена оценка скорости сходимости производных по X функции coC"t,0C) до порядка 2пг включительно. Показано, что условия абстрактных теорем можно выразить в терминах коэффициентов /лемма I, с.116/. Далее исследуется /теорема 3, с.118/ связь между устойчивостью по Ляпунову нулевых решений усреднённой и неусреднённой задач Коши. Заключительный результат /теорема 4, с.120/ относится к задаче Коши для квазилинейных параболических уравнений общего вида. Установлено, что при больших СО неусреднённая задача Коши нелокально разрешима, если этот факт справедлив для усреднённой задачи Коши. Получены оценки близости решений и их производных по X вплоть до порядка 2 п\ .
