Введение к работе
Актуальность темы. В диссертационной работе исследуется задача о периодических по времени решениях для некоторых классов дифференциальных уравнений, содержащих быстро осциллирующие слагаемые, амплитуды которых пропорциональны определенным положительным степеням высокой частоты осцилляции.
Полученные результаты относятся как к обыкновенным дифференциальным уравнениям1, так и к дифференциальным уравнениям в частных производных: параболическим уравнениям и обобщенным системам Навье-Стокса (см. систему (10) ниже). Для указанных уравнений при естественных предположениях обоснован метод усреднения, исследованы вопросы устойчивости и неустойчивости (по Ляпунову) периодических по времени решений, а также обоснованы эффективные алгоритмы построения их полных асимптотических разложений. Для некоторых видов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами разработаны с обоснованием эффективные алгоритмы исследования их устойчивости и неустойчивости в критическом случае.
Интерес к уравнениям, содержащим быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами, связан с тем, что ряд известных задач естествознания, в которых обнаружены важные физические эффекты, связанные с высокочастотными вибрациями, описывается дифференциальными уравнениями с указанной спецификой.
Фундамент классической теории метода усреднения построен, в основном, Н.Н. Боголюбовым и Н.М. Крыловым. Их результаты получили дальнейшее развитие в работах целого ряда исследователей. Многие такие результаты современной теории усреднения содержатся в известных монографиях Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского 1974г.; Ю.А. Митропольского 1971г.; В.М. Волосова и Б.И. Моргунова 1971г.; А.И. Филатова 1971г.; Я.А. Сандерса (J.A. Sanders) и Ф. Верхюльста (F. Verhulst) 1985г.; В.Ф. Журавлева и Д.М. Климова 1988г.; И.Б. Симоненко 1989г. Отдельно отметим, что важные результаты по параболическим уравнениям получены С.Д. Эйдельманом, Р.З. Хасьмин-
^^Имеются в виду векторные обыкновенные дифференциальные уравнения, т.е. системы скалярных уравнений
ским, И.Б. Симоненко, В.В. Жиковым, В.Б. Левенштамом и рядом других авторов. Устойчивость и неустойчивость линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами в критическом случае изучали И.З. Штокало, Ю.С. Ко лесов, В.В. Майоров и другие. Укажем еще, что различные дифференциальные уравнения с большими высокочастотными слагаемыми изучались с использованием идей теории метода усреднения в работах Н.Н. Боголюбова, П.Л. Капицы, В.Н. Челомея, В.М. Волосова, И.Б. Симоненко, СМ. Зеньковской, В.И. Юдовича, В.Б. Левенштама и других авторов. Ниже о некоторых результатах, наиболее близких к нашим, будет сказано подробнее.
Исследования, представленные в диссертации, поддерживались научной программой "Университеты России", грант № УР.04.01.029, и Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 06-01-00287-а.
Цели работы.
1. Для задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциаль
ных уравнений первого порядка с быстро осциллирующими слагаемыми, про
порциональными корню квадратному из частоты осцилляции, а также для
задачи о периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных
уравнений с быстрыми и медленными переменными:
а) обосновать метод усреднения;
б) исследовать вопросы устойчивости и неустойчивости (по Ляпунову)
решений;
в) обосновать базирующийся на методе двухмасштабных разложений
алгоритм построения полных асимптотик решений.
2. Разработать с обоснованием алгоритмы типа Штокало-Колесова иссле
дования устойчивости и неустойчивости в критическом случае для трех клас
сов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:
а) для уравнений первого порядка с быстро осциллирующими слагае
мыми, пропорциональными корню квадратному из частоты осцилляции;
б) для систем с быстрыми и медленными переменными;
в) для уравнений n-го порядка, содержащих высокочастотные слага-
емые, пропорциональные натуральной степени р ^ -^ частоты.
3. Обосновать метод усреднения для задачи о периодических решениях аб-
страктных параболических уравнений с быстро осциллирующими слагаемыми, среди которых имеются пропорциональные частоте, но в этом случае не зависящие от неизвестной вектор-функции; исследовать вопросы устойчивости и неустойчивости решений. В качестве приложения полученного результата для параболических уравнений и обобщенных систем Навье-Стокса обосновать метод усреднения и базирующиеся на методе двухмасштабных разложений и методе пограничного слоя алгоритмы построения полных асимптотик периодических по времени решений.
Методы исследования. В диссертационной работе, в основном, используются следующие методы: классические методы теории усреднения; методы теории полугрупп и дробных степеней неограниченных операторов, а также ряд других методов функционального анализа; метод двухмасштабных разложений; методика Штокало—Колесова исследования вопросов устойчивости решений линейных уравнений в критических случаях (см. [Колесов Ю.С., Майоров В.В., Дифференц. уравн., 1974]); метод пограничного слоя Вишика-Люстерника.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем.
1. Для задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциаль
ных уравнений первого порядка с быстро осциллирующими слагаемыми, про
порциональными корню квадратному из частоты осцилляции, а также для
задачи о периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных
уравнений с быстрыми и медленными переменными:
а) обоснован метод усреднения;
б) доказана устойчивость или неустойчивость (по Ляпунову) решений
в зависимости от расположения спектра соответствующего линеаризованного
оператора;
в) обоснован базирующийся на методе двухмасштабных разложений
алгоритм построения полных асимптотик решений.
2. Разработаны с обоснованием алгоритмы типа Штокало-Колесова ис
следования устойчивости и неустойчивости в критическом случае для трех
классов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:
а) для уравнений первого порядка с быстро осциллирующими слагае-
мыми, пропорциональными корню квадратному из частоты осцилляции;
б) для систем с быстрыми и медленными переменными;
в) для уравнений n-го порядка, содержащих высокочастотные слага-
емые, пропорциональные натуральной степени р ^ -^ частоты.
3. Обоснован метод усреднения для задачи о периодических решениях абстрактных параболических уравнений с быстро осциллирующими слагаемыми, среди которых имеются пропорциональные частоте, но в этом случае не зависящие от неизвестной вектор-функции. Доказана устойчивость или неустойчивость решений в зависимости от спектра соответствующего линеаризованного оператора. В качестве приложения полученного результата для параболических уравнений и обобщенных систем Навье-Стокса обоснован метод усреднения и базирующиеся на методе двухмасштабных разложений и методе пограничного слоя алгоритмы построения полных асимптотик периодических по времени решений.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты можно использовать при качественном изучении дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, в том числе, в теории устойчивости, а также при исследовании математических моделей, описываемых такими уравнениями. Они могут также применяться при приближенном решении этих задач, как правило, в сочетании с численными методами.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, п. Абрау-Дюрсо, на двух студенческих научных конференциях, проходивших на механико-математическом факультете Ростовского госуниверситета (ныне факультет математики, механики и компьютерных наук Южного Федерального университета), на двух семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики Южного Федерального университета, а также на семинаре кафедры алгебры и дискретной математики Южного федерального университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 6]. Работы [1, 6] выполнены совместно с научным руководителем. В них В.Б. Левенштаму принадлежит постановка задач, выбор методик ис-
следований и общее руководство работой. Г.Л. Хатламаджияну принадлежит реализация методик.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 67 наименований и трех приложений. Объем работы - 138 страниц машинописного текста и три приложения общим объемом 29 страниц машинописного текста.
