Введение к работе
Актуальность темы. В диссертационной работе теория метода усреднения, которую связывают с именами Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского, развита для квазилинейных параболических начально-краевых задач с нестационарной (то есть зависящей от пространственных и временной переменных) главной частью.
Классическая теория метода усреднения, построенная, в основном, Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым, получила дальнейшее развитие в трудах многочисленных исследователей. Отметим монографии Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского 1974 г., Ю. А. Митропольского 1971 г., В. М. Волосова, Б. И. Моргунова 1971 г., В. Ф. Журавлева, Д. М. Климова 1988 г., И. Б. Симоненко 1989 г., В. Б. Левенштама 2008 г. В этих монографиях имеются обширные библиографические списки.
Отметим теперь работы, наиболее близкие к диссертации.
В работе И. Б. Симоненко [Матем.сб., 1970]1 метод усреднения обоснован для абстрактных параболических уравнений в банаховых пространствах с линейной, вообще говоря, неограниченной стационарной главной частью, порождающей аналитическую полугруппу, и подчиненной (в определенном смысле) ей быстро осциллирующей нелинейностью. В исследовании И. Б. Симоненко [Матем.сб., 1972]1 указанные результаты перенесены на широкие классы полулинейных параболических уравнений с не зависящими от времени старшими коэффициентами и с краевыми условиями в ограниченных пространственных областях. Эти работы стимулируют обоснование метода усреднения для абстрактных параболических уравнений с нестационарной главной частью и для квазилинейных параболических уравнений с зависящими от
1 См. также монографию И. Б. Симоненко "Метод усреднения в теории нелинейных уравнений параболического типа с приложениями к задачам гидродинамической устойчивости". Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1989.
пространственных и временной (и только от пространственных) переменных старшими коэффициентами.
В работах В. Б. Левенштама [Дифференц. уравн, 2003, Изв. вузов. Ма-тем., 2004] разработан и обоснован эффективный алгоритм построения полных асимптотик решений для полулинейных параболических начально-краевых задач со стационарной главной частью. Естественно распространить эти результаты на квазилинейные параболические начально-краевые задачи с нестационарной главной частью.
Отметим также, что абстрактным параболическим уравнениям с нестационарной главной частью без связи с методом усреднения посвящена важная работа П. Е. Соболевского [Труды Моск. матем. об-ва, 1961].
Упомянем еще о работах В. В. Жикова [Докл. АН СССР, 1975; Изв. АН СССР. Сер. матем., 1976] и В. Б. Левенштама [Изв. РАН. Сер. мат., 1992; Сиб. мат. журн., 2000] по теории метода усреднения для параболических уравнений с быстро осциллирующей по времени главной частью. В. В. Жиков рассмотрел задачи на всей временной оси t є R (а не с начальным условием) с довольно жесткими (по сравнению с требованиями диссертации, где главная часть зависит от t, но не от cot, со » 1) условиями на нелинейность, а В. Б. Ле-венштам — задачи во всем пространстве х є ROT. Отметим, что требования на нелинейность в диссертации имеют тот же характер, что и у И. Б. Симоненко [Матем.сб., 1972].
Исследования, представленные в диссертации, поддерживались научной программой "Университеты России" (грант № УР.04.01.029 - руководитель В. Б. Левенштам).
Цели работы.
I. 1. Обосновать метод усреднения для абстрактных параболических уравнений с линейной нестационарной главной частью и подчиненной (в определенном смысле) ей быстро осциллирующей нелинейностью в случае задачи
Коши.
Применив результаты пункта 1, обосновать метод усреднения для полулинейных параболических уравнений второго порядка в случае первой начально-краевой задачи.
Применив результаты пункта 1, обосновать метод усреднения для начально-краевых задач для полулинейных параболических уравнений произвольного порядка.
П. 1. Обосновать метод усреднения для абстрактных параболических уравнений с нелинейной главной частью и подчиненной ей быстро осциллирующей нелинейностью в случае задачи Коши.
2. Применив результаты пункта 1, обосновать метод усреднения для начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка.
III. 1. Построить и обосновать полную асимптотику решения первой параболической квазилинейной (в частности, полулинейной) начально-краевой задачи произвольного порядка. Главная часть указанной задачи зависит от пространственных и временной переменных и содержит быстро осциллирующие по времени младшие члены.
Методы исследования. В диссертационной работе, в основном, используются следующие известные методы: методы теории линейных абстрактных параболических уравнений с нестационарной главной частью, включая методы теории полугрупп и дробных степеней неограниченных операторов; ряд других методов функционального анализа; классические методы теории усреднения; метод пограничного слоя Вишика-Люстерника.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:
I. 1. Обоснован метод усреднения для абстрактных параболических уравнений с линейной нестационарной главной частью и подчиненной (в опреде-
ленном смысле) ей быстро осциллирующей нелинейностью в случае задачи Коши.
2. Обоснован метод усреднения для полулинейных параболических начально-краевых задач произвольного порядка; в частности, 2-го порядка в случае первой начально-краевой задачи.
П. 1. Обоснован метод усреднения для абстрактных параболических уравнений с нелинейной главной частью и подчиненной (в определенном смысле) ей быстро осциллирующей нелинейностью в случае задачи Коши.
2. Обоснован метод усреднения для начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка.
III. 1. Построена и обоснована полная асимптотика решения первой параболической квазилинейной (в частности, полулинейной) начально-краевой задачи произвольного порядка. Главная часть указанной задачи зависит от пространственных и временной переменных и содержит быстро осциллирующие по времени младшие члены.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании математических моделей, представленных рассмотренными в диссертации задачами. Они могут применяться, в частности, для приближенного решения таких задач, как правило, в сочетании с численными методами.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 11-й Международной научной конференции "Математические модели физических процессов" в городе Таганроге в 2005 году; на Крымской Осенней Математической Школе-Симпозиуме в 2010 году; на научных семинарах факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ: кафедры алгебры и дискретной математики в 2005 и в 2010 годах; кафедры вычислительной математики и математической физики в 2011 году.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах
[1] - [10]. Работы [1] - [4] выполнены совместно с научным руководителем. В них В. Б. Левенштаму принадлежит постановка задач, выбор методик исследования и общее руководство работой. В. Ю. Александрову принадлежит реализация предложенных методик. Работа [3] опубликована в журнале, входящем в список журналов ВАК. Кроме того, работы [1] и [2] опубликованы в специальных (посвященных юбилеям профессоров Л. М. Зубова и И. Б. Симоненко соответственно) рецензированных выпусках журнала "Известия вузов Северо-Кавказского региона", входящего в список журналов ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 37 наименований. Общий объем работы — 125 страниц машинописного текста.
