Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Аппроксимативные свойства и предельный переход в переменных соболевских пространствах 19
1.1. Сходимость в переменном пространстве l}{Yl,d/uh) 19
1.2. Аппроксимативные свойства для структур на плоскости 29
1.3. Аппроксимативные свойства для структур в пространстве 37
1.4. Предельный переход в переменных соболевских пространствах 39
1.5. Компактность в пространстве 2(П, djuh) для структур на плоскости и в пространстве 45
ГЛАВА 2. Усреднение задач с двумя малыми параметрами методом двухмасштабной сходимости 50
2.1. Метод двухмасштабной сходимости 50
2.2. Усреднение задач с двумя малыми параметрами 60
2.3. Усреднение задач для среды с двойной пористостью 66
ГЛАВА 3. Принцип компактности в пространстве l}{q.,d^h) и поведение спектра оператора при усреднении 76
3.1. Принцип компактности в переменном пространстве L2(Q.,dju*) 76
3.2. Поведение спектра оператора при усреднении 86
Литература 93
- Аппроксимативные свойства для структур на плоскости
- Компактность в пространстве 2(П, djuh) для структур на плоскости и в пространстве
- Усреднение задач с двумя малыми параметрами
- Поведение спектра оператора при усреднении
Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации рассматривается усреднение задач на периодических тонких структурах методом двухмасштабной сходимости. Такая проблема возникает при исследовании разнообразных физических процессов в микронеоднородных средах.
Тонкая 1-периодическая структура Fh характеризуется толщиной h>0 и при /2 —»0 переходит в некоторую предельную структуру F с "нулевой толщиной". Гомотетическое сжатие Fsh =sFh, где h{e) —> 0 при —»0, дает є -периодическую тонкую структуру с толщиной єк(є). Тонкие структуры удобно описывать как носители борелевых мер: на тонкой структуре Fh имеется периодическая мера juh, которая при h^>0 слабо сходится к мере р, задающей предельную структуру F. Обычно мера juh абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, dph = ph(x)dx. Задачи усреднения на тонкой структуре Feh связаны с мерой dphs = ph{s~xx)dx и их решения принадлежат "переменному" Соболевскому пространству H^(Q,dju^), где О. -ограниченная липшицева область.
Теории усреднения посвящена огромная литература и несколько монографий (см. [2], [13], [27], [36]). Если djuh =dju = dx есть мера Лебега, имеет место классическое усреднение (метод асимптотических разложений Н.С. Бахвалова, метод компенсированной компактности и др.). Случай, когда d/uh - d/л = pdx, где р - характеристическая функция некоторого периодического открытого множества, соответствует усреднению в перфорированных областях Q.C\FE. В этой теории используются различные методы, в том числе известный метод продолжения, а также альтернативная техника /?-связности, причем последняя годится в случае произвольной р-связной меры.
В теории усреднения широкое распространение получила интересная концепция двухмасштабного предела, выдвинутая G. Nguetseng [80] и разви- тая в работах G. Allaire [68] применительно к мере Лебега. Усреднению задач методом двухмасштабной сходимости посвящены работы G. Allaire, A. Dam-lamian, U. Hornung [69], M. Neuss-Radu [82] и других авторов. В.В. Жиков ввел понятие двухмасштабной сходимости, связанной с произвольной периодической мерой /л [9], а также с переменной мерой juh [8], объединив тем самым метод двухмасштабной сходимости со своей техникой р-связности. Предельная мера /л должна быть /?-связной, в то время как связь между ju и juh осуществляется через так называемые аппроксимативные условия.
Задачи усреднения на тонкой сетке (модельном примере тонкой структуры) впервые рассмотрены Н.С. Бахваловым и Г.П. Панасенко [2]. Они показали, что для скалярных задач результат усреднения не зависит от того, как толщина h{s) стремится к нулю при є —> 0. В.В. Жиков заметил, что для задач теории упругости это не так ("масштабный эффект") и дал классификацию тонких структур в зависимости от соотношения между є и к{є). Исследованию масштабного эффекта для задач теории упругости посвящены работы В.В. Жикова и СЕ. Пастуховой [14]-[16], СЕ. Пастуховой [29]-[31].
Аппроксимативные свойства составляют основу техники усреднения. Для каждой конкретной тонкой структуры такие свойства приходится доказывать отдельно. Для теории упругости аппроксимативные свойства для тонких сеток и тонкой ящичной структуры доказаны СЕ. Пастуховой. Вопросы, связанные с аппроксимативными свойствами, рассмотрены также в работе G.A. Chechkin, V.V. Jikov, D. Lukkassen, A.L. Piatnitski [75].
Математические вопросы, относящиеся к тонким структурам, привлекают в настоящее время многих исследователей. Сюда относятся: свойства соболевского пространства, отвечающего борелевской мере, тангенциальный градиент и проблема релаксации; тесно связанная с аппроксимативными свойствами проблема предельного перехода в переменном соболевском пространстве;
3) равномерные неравенства типа Пуанкаре и Корна.
Эти проблемы изучаются в работах С.А. Назарова [79], G. Buttazzo [74], Bouchitte, P. Seppecher [72] , О. Cioranescu [81], I. Fragala, C. Mantegazza [77] и других авторов.
Много работ математиков и механиков было посвящено усреднению в так называемых моделях "double porosity", когда пространство R^ разбито на две непересекающиеся периодические части, причем коэффициент проницаемости равен 1 в одной из них и б-2 в другой (Т. Arbogast, J. Douglas, U. Hornung [70], Г.В. Сандраков [34], [35], B.B. Жиков [9] и др.). Для приложений интересен также и тот случай, когда жесткая фаза (где коэффициент проницаемости равен 1) представляет собой тонкую структуру.
Важное место в теории усреднения занимают спектральные задачи. В монографии О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна, А.С. Шамаева [27] изучено поведение спектра при усреднении в перфорированных областях, когда исходные операторы действуют по существу в переменном гильбертовом пространстве. Аналогичные вопросы широко обсуждаются в настоящее время и для случая усреднения на тонких структурах.
Цель работы. Доказательство аппроксимативных свойств для тонких структур. Исследование связи между аппроксимативными свойствами и предельным переходом в переменном Соболевском пространстве. Усреднение задач с двумя малыми параметрами, в том числе и для среды с двойной пористостью, методом двухмасштабной сходимости. Исследование вопроса компактности в пространстве L2 (Q, dju^) и поведения спектра оператора с двумя малыми параметрами при усреднении.
Общая методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории функционального анализа и теории меры.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.
Аппроксимативные свойства для структур на плоскости
Проверим выполнение аппроксимативных свойств для естественных мер на сингулярных и тонких сетках. Пусть F - периодическая сингулярная сетка (рис.1), Fh - соответствующая F периодическая тонкая сетка (рис.3). Рассмотрим одну ячейку перио-личности - квадрат П = [-1/2, 1/2) , который состоит из т стержней сетки F. Например, для сеток на рисунке 1, т = 4, 6 и 8 соответственно. Обозначим стержни сетки F через /, (z = l,2,...,m), а /z-стержни сетки Fh (полосы толщиной 2И), симметричные относительно /; - через l\ (г = 1,2,...,т). Пусть дана периодическая функция Ъ є L (П, dju). Продолжим ее определенным образом на носитель меры //. Именно, берем один бесконечно то стороны, по формуле Остроградского-Гаусса, Из последнего равенства следует (1.2.1). Лемма доказана. Для построения вектора bh є Vsol(J\,dfih) решим вспомогательную задачу в некоторой окрестности Qh каждого узла сетки (узел - точка пересечения стержней). Определим окрестность Qh как объединение круга радиуса h с центром в начале координат и т полос Pih, у которых ширина - 2h, длина 4h, а средняя линия лежит на /,. Обозначим через Г{ (і = 1,2,...,т) внешние торцы полос Pf и пусть Г = dQh. Рассмотрим следующую задачу Неймана [15] Без ограничения общности можно считать, что \zhdx = 0. Тогда из Qh неравенства для следа скалярной функции откуда Ji Qh Vz 2dx ch2 и оценка (1.2.3) доказана. Теперь на Fh вектор bh eVsol(Yl,djuh) строится следующим образом: 1) на Fh \ Qh полагается bh =bh; 2) на Qh полагается bh = Vzh, где zh - решение задачи (1.2.2). Ясно, что построенный вектор bh слабо сходится к данному вектору b є и из оценки (1.2.3) получаем сильную сходимость bh - fc в L2(Yl,djuh). Теперь проверим свойство (і) для тонких сеток. Легко видеть, что в пространстве L2(YI,dju)/R плотны функции из СрЄГ (П), равные нулю в окрестности узлов. Пусть а - такая функция. Неравенство Пуанкаре для сетки F есть следствие связности F, поэтому функция а допускает представление a = divb, ЬєЬ (Yl,dju) . Вне области Qh полагаем a =ah, b = bh. В области Qh вектор b соленоидален и его можно продолжить указанным выше образом. Аппроксимативное нкий стержень /, и продолжаем функцию Ъ как постоянную в поперечном направлении на / , причем вне /,А полагаем её равной нулю. После этого берем сумму такого рода продолжений по всем трем h -стержням. Результат обозначаем символом bh и называем естественным продолжением функции Ъ. При этом естественное продолжение периодично и принадлежит 1?(П, dMh) яЬИ Ь в І2(П, djuh). Для проверки аппроксимативного свойства (и) выясним вид соленоидальных векторов на сетке F. Обозначим через Яг единичные векторы, выходящие из точки пересечения стержней и направленные вдоль /; (/ = 1,2,...,т).
Лемма 1.2.1. Пусть b — соленоидалъный вектор на сетке F, Ъ eVsoi(Yl,djU). Тогда на стержнях вектор Ъ равен ,А,, ..., ЬтХт, причем выполняется равенство Доказательство. В равенстве (1.1.3) в качестве функции ф возьмем последовательность из (1.1.1). Тогда получим: b ±Г(0). Но для сетки ДО) это все векторы из L (YI,dju), которые на каждом стержне ортогональны t этому стержцю. Поэтому вектор b на каждом / направлен вдоль It (/ = 1,2,...,га). Далее, из (1.1.3) следует, что Ъ соленоидален на 1{ и постоянен, то есть равен ЬД. (г = 1,2,..., яг). С другой стороны, по формуле Остроградского-Гаусса, Из последнего равенства следует (1.2.1). Лемма доказана. Для построения вектора bh є Vsol(J\,dfih) решим вспомогательную задачу в некоторой окрестности Qh каждого узла сетки (узел - точка пересечения стержней). Определим окрестность Qh как объединение круга радиуса h с центром в начале координат и т полос Pih, у которых ширина - 2h, длина 4h, а средняя линия лежит на /,. Обозначим через Г{ (і = 1,2,...,т) внешние торцы полос Pf и пусть Г = dQh. Рассмотрим следующую задачу Неймана [15] Без ограничения общности можно считать, что \zhdx = 0. Тогда из Qh неравенства для следа скалярной функции откуда Ji Qh Vz 2dx ch2 и оценка (1.2.3) доказана. Теперь на Fh вектор bh eVsol(Yl,djuh) строится следующим образом: 1) на Fh \ Qh полагается bh =bh; 2) на Qh полагается bh = Vzh, где zh - решение задачи (1.2.2). Ясно, что построенный вектор bh слабо сходится к данному вектору b є и из оценки (1.2.3) получаем сильную сходимость bh - fc в L2(Yl,djuh). Теперь проверим свойство (і) для тонких сеток. Легко видеть, что в пространстве L2(YI,dju)/R плотны функции из СрЄГ (П), равные нулю в окрестности узлов. Пусть а - такая функция. Неравенство Пуанкаре для сетки F есть следствие связности F, поэтому функция а допускает представление a = divb, ЬєЬ (Yl,dju) . Вне области Qh полагаем a =ah, b = bh. В области Qh вектор b соленоидален и его можно продолжить указанным выше образом. Аппроксимативное свойство (і) доказано. Перейдем к проверке аппроксимативных свойств для составных структур. Запишем естественные меры /л и juh на составных структурах в виде: dju = —dx + —djux, djuh =—dx + —d/j , где //, и //f - естественные меры соответственно на F и Fh. Сначала проверим аппроксимативное свойство (іі). Для этого выясним вид соленоидальных векторов на П. Пусть у( - введенные координаты на /, (i = 1,2,...,w), nt - внешняя нормаль к области, заключенной между стержнями /(. и //+1, z = l,2,...,ra-l, (для / = т 1М = /,) (рис.6).
Компактность в пространстве 2(П, djuh) для структур на плоскости и в пространстве
Для модельных тонких структур, рассмотренных ранее, докажем следующую теорему компактности. Теорема 1.5.1. Пусть ии -последовательность из H](TI,d/j ) такая, что и , Vw ограничены в L2(Tl,dju ). Тогда (с точностью до выделения подпоследовательности) Доказательство. Так как по условию теоремы последовательность uh ограничена в L (U,djuh), то без ограничения общности можно считать, что uh(x) и{х) в L2(Yl,d/uh). Кроме того, для модельных тонких структур выполнены условия теоремы 1.4.1, поэтому и(х) є Нх (П, dp). Сначала рассмотрим на ячейке периодичности один горизонтальный стержень /. Введем "среднюю" функцию где Qh - объединение круга радиуса h с центром в начале координат и т по у лос, у которых ширина -2h, длина - 4/г, а средняя линия лежит на стержнях (рис.5). Так как из оценок вида (1.5.2) для каждого стержня видно, что J lim \(unydju"=0, /i-»0 h\2 j h Qh то сильная сходимость uh — w в L2(Tl,djuh) теперь следует из результатов для одного стержня. Рассмотрим теперь ячейку периодичности с горизонтальной гранью В. Введем "среднюю" функцию Несложные вычисления показывают, что последовательность uh ограни-чена в Н (В), а значит, компактна в L (В). Возьмем функцию P CQ (В). Тогда следует, что первое слагаемое в (1.5.5) сильно сходится к нулю, то из интегрального тождества (1.5.5) получаем сильную сходимость и1 —»и в L2(Yl,djuh) для последовательность uh ограничена в L (U,djuh), то без ограничения общности можно считать, что uh(x) и{х) в L2(Yl,d/uh). Кроме того, для модельных тонких структур выполнены условия теоремы 1.4.1, поэтому и(х) є Нх (П, dp). Сначала рассмотрим на ячейке периодичности один горизонтальный стержень /. Введем "среднюю" функцию где Qh - объединение к последовательность uh ограничена в L (U,djuh), то без ограничения общности можно считать, что uh(x) и{х) в L2(Yl,d/uh). Кроме того, для модельных тонких структур выполнены условия теоремы 1.4.1, поэтому и(х) є Нх (П, dp). Сначала рассмотрим на ячейке периодичности один горизонтальный стержень /. Введем "среднюю" функцию где Qh - объединение круга радиуса h с центром в начале координат и т по у лос, у которых ширина -2h, длина - 4/г, а средняя линия лежит на стержнях (рис.5). Так как из оценок вида (1.5.2) для каждого стержня видно, что J lim \(unydju"=0, /i-»0 h\2 j h Qh то сильная сходимость uh — w в L2(Tl,djuh) теперь следует из результатов для одного стержня. Рассмотрим теперь ячейку периодичности с горизонтальной гранью В. Введем "среднюю" функцию Несложные вычисления показывают, что последовательность uh ограни-чена в Н (В), а значит, компактна в L (В). Возьмем функцию P CQ (В). Тогда следует, что первое слагаемое в (1.5.5) сильно сходится к нулю, то из интегрального тождества (1.5.5) получаем сильную сходимость и1 —»и в L2(Yl,djuh) для системы горизонтальных граней. Отсюда, в частности, по лемме 1.1.2 имеем где Qh - объединение прямоугольных параллелепипедов, лежащих в пересечении h -граней. Так как из оценок вида (1.5.4) для каждой грани вытекает, что то сильная сходимость uh — u в L2(H,djUh) теперь следует из результатов для одной грани. Остается доказать сильную сходимость и1 — и для составных структур на плоскости и в пространстве.
Имеем: где //f - естественная мера на тонкой сетке или тонкой ящичной структуре. Так как uh —»w0 в L2per(U,dx) и uh —»и, в l}{Yl,djii ), то /( ) — и{х) в l}(Yl,djUh), где w(V) равна м0(х) на I1\F и м,(х) на F (F - сингулярная сетка или сингулярная ящичная структура). Теорема полностью доказана. руга радиуса h с центром в начале координат и т по у лос, у которых ширина -2h, длина - 4/г, а средняя линия лежит на стержнях (рис.5). Так как из оценок вида (1.5.2) для каждого стержня видно, что J lim \(unydju"=0, /i-»0 h\2 j h Qh то сильная сходимость uh — w в L2(Tl,djuh) теперь следует из результатов для одного стержня. Рассмотрим теперь ячейку периодичности с горизонтальной гранью В. Введем "среднюю" функцию Несложные вычисления показывают, что последовательность uh ограни-чена в Н (В), а значит, компактна в L (В). Возьмем функцию P CQ (В). Тогда следует, что первое слагаемое в (1.5.5) сильно сходится к нулю, то из интегрального тождества (1.5.5) получаем сильную сходимость и1 —»и в L2(Yl,djuh) для системы горизонтальных граней. Отсюда, в частности, по лемме 1.1.2 имеем где Qh - объединение прямоугольных параллелепипедов, лежащих в пересечении h -граней. Так как из оценок вида (1.5.4) для каждой грани вытекает, что то сильная сходимость uh — u в L2(H,djUh) теперь следует из результатов для одной грани. Остается доказать сильную сходимость и1 — и для составных структур на плоскости и в пространстве. Имеем: где //f - естественная мера на тонкой сетке или тонкой ящичной структуре. Так как uh —»w0 в L2per(U,dx) и uh —»и, в l}{Yl,djii ), то /( ) — и{х) в l}(Yl,djUh), где w(V) равна м0(х) на I1\F и м,(х) на F (F - сингулярная сетка или сингулярная ящичная структура). Теорема полностью доказана.
системы горизонтальных граней. Отсюда, в частности, по лемме 1.1.2 имеем где Qh - объединение прямоугольных параллелепипедов, лежащих в пересечении h -граней. Так как из оценок вида (1.5.4) для каждой грани вытекает, что то сильная сходимость uh — u в L2(H,djUh) теперь следует из результатов для одной грани. Остается доказать сильную сходимость и1 — и для составных структур на плоскости и в пространстве. Имеем: где //f - естественная мера на тонкой сетке или тонкой ящичной структуре. Так как uh —»w0 в L2per(U,dx) и uh —»и, в l}{Yl,djii ), то /( ) — и{х) в l}(Yl,djUh), где w(V) равна м0(х) на I1\F и м,(х) на F (F - сингулярная сетка или сингулярная ящичная структура). Теорема полностью доказана.
Усреднение задач с двумя малыми параметрами
Рассмотрим применение метода двухмасштабной сходимости к усреднению двух задач с двумя малыми параметрами. Пусть дана задача Дирихле для линейного эллиптического уравнения с двумя малыми параметрами: где fh (х) - f(x) в L2(Q,dju), Ah(y) = {a (y)} - периодическая борелева матрица, удовлетворяющая условию (1.4.7) и Ah — А в I?(H, d/uh). По определению иЕh e#o(Q, dju) есть решение задачи (2.2.1), если выполнено интегральное тождество Существование и единственность решения задачи (2.2.1) как пары ueh, Wu h следуют из теоремы Рисса [9]. Для задачи (2.2.1) введем усредненную задачу иєН\(0), -div(AhomVu) + u = f, (2.2.3) где Ahom - усредненная матрица, определяемая формулой (1.1.5). При этом функция и є Hl(Q) есть решение усредненной задачи (2.2.3), если выполнено интегральное тождество Справедлива следующая теорема. Теорема 2.2.1. Пусть мера ju невырождена, uEh(x) —решения задач Дирихле (2.2.1) и выполнены ослабленное аппроксимативное свойство (і) и аппроксимативное свойство (и). Тогда при є — О где функция и(х) есть решение усредненной зад метода двухмасштабной сходимости к усреднению двух задач с двумя малыми параметрами. Пусть дана задача Дирихле для линейного эллиптического уравнения с двумя малыми параметрами: где fh (х) - f(x) в L2(Q,dju), Ah(y) = {a (y)} - периодическая борелева матрица, удовлетворяющая условию (1.4.7) и Ah — А в I?(H, d/uh). По определению иЕh e#o(Q, dju) есть решение задачи (2.2.1), если выполнено интегральное тождество Существование и единственность решения задачи (2.2.1) как пары ueh, Wu h следуют из теоремы Рисса [9]. Для задачи (2.2.1) введем усредненную задачу иєН\(0), -div(AhomVu) + u = f, (2.2.3) где Ahom - усредненная матрица, определяемая формулой (1.1.5). При этом функция и є Hl(Q) есть решение усредненной задачи (2.2.3), если выполнено интегральное тождество Справедлива следующая теорема. Теорема 2.2.1. Пусть мера ju невырождена, uEh(x) —решения задач Дирихле (2.2.1) и выполнены ослабленное аппроксимативное свойство (і) и аппроксимативное свойство (и). Тогда при є — О где функция и(х) есть решение усредненной задачи (2.2.3), а вектор v(x, ) -решение периодической задачи (2.1.6) для = Vu(x). Доказательство. Из интегрального тождества (2.2.2) следует, что uh, Vush ограничены в Z?(Q, dju). Без потери общности считаем, что имеет место (2.1.2), (2.1.3). Взяв в тождестве (2.2.2) пробную функцию получим Все слагаемые, кроме первого, сходятся к нулю при є - 0. Тогда сходится к нулю и первое, то есть выполнено условие (2.1.8). Из леммы 2.1.2 о сходимости потоков следует, что имеет место слабая сходимость (2.1.9) и вектор v(x, ) из (2.1.3) есть решение периодической задачи (2.1.6) для = Vw(x). Кроме того, так как uh u , fe Л —» /, то переход к пределу в тождестве (2.2.2) приводит к тождеству (2.2.4). Далее, из тождества (2.2.2) имеем
Поскольку слабая сходимость иє h(x) — и{х) уже доказана, то С другой стороны, взяв в тождестве (2.2.4) пробную функцию (р = и, получим энергетическое равенство свойства полунепрерывности (2.1.1) следуют равенства: Из (2.1.2) и (2.2.7) получаем сильную сходимость (2.2.5), а из (2.1.3), (2.2.8) и свойства (vi) двухмасштабной сходимости следует сильная двухмасштабная сходимость (2.2.6). Теорема полностью доказана. В области Q рассмотрим нелинейную задачу Дирихле где geC(Q), лагранжиан /() - выпуклый по GRN , подчинен условию (1.1.6) и условию /(0) = 0. Из общих теорем выпуклого анализа следует, что задача (2.2.7) имеет v единственное решение в пространстве Hl(Q,d/2s). Для задачи (2.2.9) введем усредненную задачу где f m - усредненный лагранжиан, определяемый формулой (1.1.7) и докажем следующую теорему усреднения. Теорема 2.2.2. Пусть мера /л невырождена, иЄІг{х) -решение задачи (2.2.9), и{х) - решение усредненной задачи (2.2.10). Тогда, если выполнены ослабленное аппроксимативное свойство (і) и аппроксимативное свойство (И), то при є - 0 имеют место 1) сходимость энергий: 2) сходимость решений: Доказательство. Проверим сначала, что Пусть u h- решение ачи (2.2.3), а вектор v(x, ) -решение периодической задачи (2.1.6) для = Vu(x). Доказательство. Из интегрального тождества (2.2.2) следует, что uh, Vush ограничены в Z?(Q, dju). Без потери общности считаем, что имеет место (2.1.2), (2.1.3). Взяв в тождестве (2.2.2) пробную функцию получим Все слагаемые, кроме первого, сходятся к нулю при є - 0. Тогда сходится к нулю и первое, то есть выполнено условие (2.1.8). Из леммы 2.1.2 о сходимости потоков следует, что имеет место слабая сходимость (2.1.9) и вектор v(x, ) из (2.1.3) есть решение периодической задачи (2.1.6) для = Vw(x). Кроме того, так как uh u , fe Л —» /, то переход к пределу в тождестве (2.2.2) приводит к тождеству (2.2.4). Далее, из тождества (2.2.2) имеем Поскольку слабая сходимость иє h(x) — и{х) уже доказана, то С другой стороны, взяв в тождестве (2.2.4) пробную функцию (р = и, получим энергетическое равенство свойства полунепрерывности (2.1.1) следуют равенства: Из (2.1.2) и (2.2.7) получаем сильную сходимость (2.2.5), а из (2.1.3), (2.2.8) и свойства (vi) двухмасштабной сходимости следует сильная двухмасштабная сходимость (2.2.6). Теорема полностью доказана. В области Q рассмотрим нелинейную задачу Дирихле где geC(Q), лагранжиан /() - выпуклый по GRN , подчинен условию (1.1.6) и условию /(0) = 0. Из общих теорем выпуклого анализа следует, что задача (2.2.7) имеет v единственное решение в пространстве Hl(Q,d/2s). Для задачи (2.2.9) введем усредненную задачу где f m - усредненный лагранжиан, определяемый формулой (1.1.7) и докажем следующую теорему усреднения. Теорема 2.2.2. Пусть мера /л невырождена, иЄІг{х) -решение задачи (2.2.9), и{х) - решение усредненной задачи (2.2.10). Тогда, если выполнены ослабленное аппроксимативное свойство (і) и аппроксимативное свойство (И), то при є - 0 имеют место 1) сходимость энергий: 2) сходимость решений: Доказательство. Проверим сначала, что Пусть u h- решение задачи (2.2.9), то есть
Поведение спектра оператора при усреднении
Актуальность темы. В диссертации рассматривается усреднение задач на периодических тонких структурах методом двухмасштабной сходимости. Такая проблема возникает при исследовании разнообразных физических процессов в микронеоднородных средах. Тонкая 1-периодическая структура Fh характеризуется толщиной h 0 и при /2 —»0 переходит в некоторую предельную структуру F с "нулевой толщиной". Гомотетическое сжатие Fsh =sFh, где h{e) — 0 при —»0, дает є -периодическую тонкую структуру с толщиной єк(є). Тонкие структуры удобно описывать как носители борелевых мер: на тонкой структуре Fh имеется периодическая мера juh, которая при h 0 слабо сходится к мере р, задающей предельную структуру F. Обычно мера juh абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, dph = ph(x)dx. Задачи усреднения на тонкой структуре Feh связаны с мерой dphs = ph{s xx)dx и их решения принадлежат "переменному" Соболевскому пространству H (Q,dju ), где О. -ограниченная липшицева область. Теории усреднения посвящена огромная литература и несколько монографий (см. [2], [13], [27], [36]). Если djuh =dju = dx есть мера Лебега, имеет место классическое усреднение (метод асимптотических разложений Н.С. Бахвалова, метод компенсированной компактности и др.). Случай, когда d/uh - d/л = pdx, где р - характеристическая функция некоторого периодического открытого множества, соответствует усреднению в перфорированных областях Q.C\FE. В этой теории используются различные методы, в том числе известный метод продолжения, а также альтернативная техника /?-связности, причем последняя годится в случае произвольной р-связной меры. В теории усреднения широкое распространение получила интересная концепция двухмасштабного предела, выдвинутая G. Nguetseng [80] и разви тая в работах G. Allaire [68] применительно к мере Лебега. Усреднению задач методом двухмасштабной сходимости посвящены работы G. Allaire, A. Dam-lamian, U. Hornung [69], M. Neuss-Radu [82] и других авторов. В.В. Жиков ввел понятие двухмасштабной сходимости, связанной с произвольной периодической мерой /л [9], а также с переменной мерой juh [8], объединив тем самым метод двухмасштабной сходимости со своей техникой р-связности. Предельная мера /л должна быть /?-связной, в то время как связь между ju и juh осуществляется через так называемые аппроксимативные условия. Задачи усреднения на тонкой сетке (модельном примере тонкой структуры) впервые рассмотрены Н.С. Бахваловым и Г.П. Панасенко [2]. Они показали, что для скалярных задач результат усреднения не зависит от того, как толщина h{s) стремится к нулю при є — 0. В.В. Жиков заметил, что для задач теории упругости это не так ("масштабный эффект") и дал классификацию тонких структур в зависимости от соотношения между є и к{є). Исследованию масштабного эффекта для задач теории упругости посвящены работы В.В. Жикова и СЕ. Пастуховой [14]-[16], СЕ. Пастуховой [29]-[31].
Аппроксимативные свойства составляют основу техники усреднения. Для каждой конкретной тонкой структуры такие свойства приходится доказывать отдельно. Для теории упругости аппроксимативные свойства для тонких сеток и тонкой ящичной структуры доказаны СЕ. Пастуховой. Вопросы, связанные с аппроксимативными свойствами, рассмотрены также в работе G.A. Chechkin, V.V. Jikov, D. Lukkassen, A.L. Piatnitski [75]. Математические вопросы, относящиеся к тонким структурам, привлекают в настоящее время многих исследователей. Сюда относятся: 1) свойства соболевского пространства, отвечающего борелевской мере, тангенциальный градиент и проблема релаксации; 2) тесно связанная с аппроксимативными свойствами проблема предельного перехода в переменном соболевском пространстве; 3) равномерные неравенства типа Пуанкаре и Корна. Эти проблемы изучаются в работах С.А. Назарова [79], G. Buttazzo [74], Bouchitte, P. Seppecher [72] , О. Cioranescu [81], I. Fragala, C. Mantegazza [77] и других авторов. Много работ математиков и механиков было посвящено усреднению в так называемых моделях "double porosity", когда пространство R разбито на две непересекающиеся периодические части, причем коэффициент проницаемости равен 1 в одной из них и б-2 в другой (Т. Arbogast, J. Douglas, U. Hornung [70], Г.В. Сандраков [34], [35], B.B. Жиков [9] и др.). Для приложений интересен также и тот случай, когда жесткая фаза (где коэффициент проницаемости равен 1) представляет собой тонкую структуру. Важное место в теории усреднения занимают спектральные задачи. В монографии О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна, А.С. Шамаева [27] изучено поведение спектра при усреднении в перфорированных областях, когда исходные операторы действуют по существу в переменном гильбертовом пространстве. Аналогичные вопросы широко обсуждаются в настоящее время и для случая усреднения на тонких структурах. Цель работы. Доказательство аппроксимативных свойств для тонких структур. Исследование связи между аппроксимативными свойствами и предельным переходом в переменном Соболевском пространстве. Усреднение задач с двумя малыми параметрами, в том числе и для среды с двойной пористостью, методом двухмасштабной сходимости. Исследование вопроса компактности в пространстве L2 (Q, dju ) и поведения спектра оператора с двумя малыми параметрами при усреднении. Общая методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории функционального анализа и теории меры.
