Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Существование «в малом» по времени и единственность решений краевых задач для уравнений одномерного вязкого газа 18
1.1. Постановка задач 18
1.2, Теоремы существования решения задач «в малом» но времени , 21
1.3. Теоремы единственности 29
Глава 2. Априорные оценки и разрешимость «в целом» но времени в пространствах Соболева 33
2.1. Краевая задача с однородными граничными условиями для скорости 33
2.2. Задача истечения газа из области 58
2.3. Задача протекания газа через область 76
Глава 3. Существование «в целом» по времени задач для системы уравнений Навье-Стокса в пространствах Гёльдера 82
3.1. Глобальная разрешимость краевой задачи с однородными граничными условиями для скорости 82
3.2. Глобальная разрешимость задачи истечения газа из области 95
3.3. Глобальная разрешимость задачи протекания газа через область 98
Библиографический список 101
- Теоремы существования решения задач «в малом» но времени
- Краевая задача с однородными граничными условиями для скорости
- Глобальная разрешимость краевой задачи с однородными граничными условиями для скорости
Введение к работе
Актуальность темы. В работе рассматриваются начально-краевые задачи для полной системы уравнений движения вязкого газа, или системы уравнений Навье-Стокса.
Изучение вопросов единственности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса началось с работ Д. Граффи и Дж. Серри-на (1953, 1959 гг.). Первые результаты по разрешимости для уравнений Навье-Стокса получили Дж. Нэш, Н. Итая, А.И. Вольперт и СИ. Худяев. Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования и единственности установлены В.А. Солонниковым и А. Тани.
Первый результат по однозначной разрешимости «в целом» по времени и по данным был установлен в 1968 г. Я.И. Канелем в случае задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа. Для модели Бюргерса разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая и А. Тани.
В 1976 г. А.В. Кажихов впервые получил результат о глобальной разрешимости для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. В дальнейшем цикл работ А.В. Кажихова, В.В. Шелухина позволил построить довольно полную теорию по глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа.
Данные исследования легли в основу монографии С.Н. Антонцева, А.В. Кажихова, В.Н. Монахова, в которой изложены результаты о существовании «в целом» и единственности регулярных обобщенных решений начально-краевых задач для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа при начальных данных из W^f (fi). В работах А.А. Амосова и А.А. Злотника получено существование «в целом» (слабых) обобщенных решений указанных задач при начальных данных из Lq(Q).
Проблеме глобальной разрешимости задач протекания для систем уравнений одномерного движения вязкого газа (баротропного или теплопроводного) посвящены работы С.Я. Белова, В.А. Вайганта, К.О. Ка-зёнкина.
В работах И.А. Калиева, А.В. Кажихова исследованы вопросы од-
нозначной разрешимости задачи со свободной границей, моделирующей процесс фазового перехода между вязким газом и твердым телом. При этом возникает вспомогательная задача, описывающая движение вязкого теплопроводного газа в "криволинейной области, доказывается единственность "и существование ее локального решения.
Как правило, область, в которой доказывается существование решения
«в целом» по времени, является либо полосой {{x,t)\ — СО < X < сю, 0 <
t < Т}, либо цилиндром {{x,t)\ а < х < b, 0 < і < Т}, где а, Ь, Т ~
заданные постоянные. г.
В нашем исследовании для полной системы уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа устанавливается однозначная глобальная разрешимость начально-краевых задач в. нецилиндрических убывающих по времени областях Пт* = {{xtt)\ О < х < s(t), 0 < t < Т}, где х = s(t) - заданная гладкая невозрастающая функция.
Целью работы является: 1) доказательство существования решений начально-краевых задач для системы
-^=. ' . >>
{ди ди\ д2и д-р _ " ,п'
р{т+и1Гх) -"йї-й- р = т' (2)
(дв дв\ 320 ґди\2 ди
«в малом» по времени; 2) доказательство существования и единственности глобального обобщенного и классического решений начально-краевых задач в нецилиндрических областях.
Методы исследования. При доказательстве существования локального классического решения основных начально-краевых задач применяется теорема Тихонова-Шаудера. Единственность решения устанавливается интегральными методами. Доказательство существования глобального решения поставленных задач в классах Соболева и Гёльдера основывается на получении априорных оценок. Основными инструментами
получения априорных оценок являются принцип максимума и метод до-множения уравнения на линейные комбинации неизвестных функций и последующего интегрирования по частям. Научная новизна.
1. Исследованы задачи для системы (1) - (3) с условиями «прили
пания», истечения и протекания газа через границы области. Доказано
существование классических решений в «малом» по времени начально-
краевых задач, описывающих движение вязкого теплопроводного газа в
криволинейных областях.
-
Доказана единственность решений поставленных задач для системы (1) - (3) в нецилиндрических областях.
-
Установлены глобальные априорные оценки в пространствах Соболева и доказано существование глобального обобщенного решения перечисленных начально-краевых задач в области Qj\
-
Показано существование глобального решения задач для системы (1) - (3) в нецилиндрических областях в пространствах Гёльдера.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории краевых задач для систем уравнений.
Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа (научные руководители - профессора К,Б. Сабитов, Ф.Х. Мукминов, И.А. Калиев, 2003 - 2006 гг.), кафедры прикладной математики и механики (научный руководитель - профессор В.Ш. Шагапов, 2006 г.), кафедры теоретической физики (научный руководитель - профессор А.И. Филиппов, 2006 г.) Стерлитамакской государственной педагогической академии, на научном семинаре Института механики УНЦ РАН (научные руководители - профессора СВ. Хабиров, Р.С. Сакс, г. Уфа, 2006 г.), а также на следующих научных конференциях: «Студенческая наука - в действии» (г. Стерлитамак, 2003 г.), «Современные проблемы физики и математики» (г. Стерлитамак, 2004 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и ин-
форматики» (г. Нальчик, 2004 г.), «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (г. Новосибирск, 2005 г.), «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2005 г.), «Региональная школа-конференция молодых ученых» (г. Стерлитамак, 2006 г.), «Tikhonov and Contemporary Mathematics» (г. Москва, 2006 г.), «Современные проблемы дифференциальных уравнений, теории операторов и космических технологий» (Казахстан, г. Алматы, 2006 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, список которых приведен в конце автореферата. В работах [2], [4], [6], [9] - [11] постановка задач и идея доказательства принадлежат научному руководителю И.А. Калиеву.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 110 страниц. Библиография - 70 наименований.
Теоремы существования решения задач «в малом» но времени
Первый результат по однозначной разрешимости «в целом» по времени и по данным был установлен в 1968 г. Я,И. Канелем [28] в случае задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа (р = Яр1). Для модели Бюргерса (р = const) разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая [44]. [45] и А. Тани [59].
В 1976 г. А.В. Кажихов [21] впервые получил результат о глобальной разрешимости для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа, В дальнейшем цикл работ А.В. Кажихова [22] - [26], [49], В,В. Шелухина [26], [35] - [37], [49] позволил построить довольно полную теорию по глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа.
Данные исследования легли в основу монографии [7, гл. 2], в которой изложены результаты о существовании «в целом» и единственности регулярных обобщенных решений начально-краевых задач для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа при начальных данных из W [Щ Теорема об устойчивости таких решений в сильной норме содержится в работе А.А, Амосова [1].
В работах А.А. Амосова и А.А. Злотника получено существование «в целом» (слабых) обобщенных решений указанных задал при начальных данных из ДДП) с некоторыми q [3], [4]. При несколько более жестких условиях на начальные данные в [3] установлена единственность и устойчивость обобщенных решений. Более ранний результат об устойчивости имеется в работе М, Паду-лы [54].
Краевая задача с однородными граничными условиями для скорости
Обобщенным решением задач GQ - G i называется совокупность функций (р, и, 0). ЫА) Є ЫПт)-. Р Є Ь„(0,Г; ((ММ)), pt Є І2(ОД, удовлетворяющих уравнениям (1.1) - (1,3) почти всюду в Пу и принимающих заданные начальные и граничные значения в смысле следов функций из указанных классов,
В главе 1 доказана теорема существования локального классического решения задачи Go- Существование обобщенного решения поставленных задам GQ - G2 «в малом» по времени строится как предел уже существующих гладких решений. Доказательство «в целом» но времени связано с получением априорных оценок, постоянные в которых зависят только от начальных и граничных данных задачи и величины интервала времени 7\ но не зависят от промежутка существования локального решения.
Из доказанной теоремы 1.1 следует, что p(x,t) 0, в(х,) 0. Предварительно установим следующие вспомогательные утверждения и априорные оценки, справедливые для задачи GQ.
Глобальная разрешимость краевой задачи с однородными граничными условиями для скорости
После того, как получены оценки лемм 2.7 - 2.9 и 2.14 из главы 2, дальнейшие рассуждения проводятся по такой схеме. Из уравнения неразрывности для р{х}1) гладкость плотности поднимается и, значит, улучшаются оценки для u(x.t) и 6{x,t). Затем, уравнения (1.2) и (1.3) для скорости и температуры рассматриваются как строго параболические относительно и(х, t) и в(х, і). и для них выводятся соответствующие априорные оценки. Если необходимо, этот процесс повторяется.
Для задачи G0, поставленной в 1.1, устанавливается теорема существования и единственности глобального классического решения задачи Go в пространствах Гёльдера.
Условимся, как и прежде, одну и ту же букву С использовать для обозначения разных постоянных, зависящих от начальных, граничных данных задач и Г.
