Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Сингулярно возмущенные уравнения и краевые задачи издавна привлекают внимание широкого круга специалистов в области дифференциальных уравнений и математической физики. Наиболее эффективными в исследовании такого рода задач являются асимптотические методы, развитые в работах Н.Н.Боголюбова и П.А.Иитропольского, А.Н.Тихонова и А.Б.Васильевой. Л.С.Понтрягина, Е.Ф.Мищенко и Н.Х.Розова. О.А.Олейкик, М.И.Вишика и Л.А.Люстерника, О.А.Ладыженской, В.П.Маслова, В.Ы.Бабича, B.C. Булдырева, A.U.Ильина, М.В.Федорюка, В.Г.Мазьи, С.А.Назарова и Б.А.Пламеневского и др.
Одними из наиболее обсуждаемых в последнее время задач являются краевые задачи для эллиптических уравнений в. сингулярно возмущенных областях. Типичными задачами, относящимися к этому классу, являются краевые задачи в областях с малыми отверстиям или со сменой типа граничного условие на малой части границы, задачи во внешности тонкого тела или, наобооот, в оОластях с узкими отростками и каналами связи, краевые задачи в перфорированных областях и т.п.
Старейшей из подобного типа задач является задача рассеяния на резонаторе Гельмгольца, изучение которой восходит к работам Рэлея. Дальнейшее развитие эта тематика получила в работах А.А Арсеньева, 1я.Т. Била, СВ. Петраса, Е. Санчес Паленсии, Н. Фернандеса, П.Д. Хислопа и А. Мартинеца. Б.С. Павлова и Ы.Д. Фаддеева и других.
Однако, для классического резонатора Гельмгольца (: идеально тонкими стенками и граничнь." л условиями Неймана на них) строгие математические результаты до последнего времени отсутствовали. Также оставался открытым вопрос (в той числе и для резонаторов СО стоиками конечной, толщины) о точной асимптотики решений соответствующих краевых задач. С другой стороны, сравнительно
- 4 -недавние результаты U.UI. Бирмана и Ы.З. Соломлка по проблемам входящих ребер в краевых задачах для системы уравнений Максвелла открывает возможность исследования полного электромагнитного аналога классического резонатора Гельмгольца. Все эти вопросы и являются предметом исследования настоящей диссертации.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1'. Изучить вопросы разрешимости краевых задач, соответствующих классическому резонатору Гельмгольца и его аналогам.
2) Рассмотреть возможность аналитического продолжения
решений указанных краевых задач по спектральному параметру на вес
комплексную плоскость С.
-
Исследовать представление решений возмущенных краевых задач в окрестности собственной частоты закрытого резонатора.
-
Построить полные асимптотики по малому параметру (размеру отверстия резонатора) полюсов аналитического продолжения решения, имеющих малые мнимые части.
-
Получить главные члены асимптотик решений возмущенных краевых задач в окрестности собственных частот ' закрытого резонатора.
ЦЕ ОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Исследования, проводимые в диссертации, основаны на использовании результатов теории эллиптических псевдодифференциальных операторов, функционального анализа и метода согласования асимптотических разложений.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми для сингулярно возмущенных краевых заі.дч типа резонатора Гельмгольца и его аналогов.
НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Научная и практическая ценность работы определяется широкой применимостыа теоретических результатов''при исследовании рассеяния на объектах ; тушечного типа. Разработанные в диссертации методи даст возможность изучать поведение решений краевых задач для большого
- 5 -класса сингулярно возмущенных областей.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на совместных заседаниях Московского математического общества и семинара им. И.Г. Петровского (1991,1993,1994) на семинарах В-.М. Бабича, О.Л. Ладыженской и М.Ш. Бирмана в ПОКИ РАН, Б.Р. Вайнберга в МГУ, Института математики УНЦ РАН, Башкирского госуниверситета и др.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в
работах [Ц-І27] .
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Список литературы содержит 132 наименований. . Объем диссертации - 257 с.
