Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Бигармоническое неравенство во внешности шара 21
1.1. Описание метода пробных функций 22
1.2. Задачи с бигармоническим оператором во внешности шара с краевыми условиями первого типа 25
1.3. Задачи с бигармоническим оператором во внешности шара с краевыми условиями второго типа 49
1.4. Сингулярные полулинейные бигармонические неравенства в шаре 58
Глава 2. Полулинейные краевые задачи высокого порядка 65
2.1. Модельная задача 65
2.2. Неравенства с общей правой частью 78
2.3. Системы неравенств 82
Глава 3. Эволюционные задачи высокого порядка 88
3.1. Вспомогательные результаты 88
3.2. Эволюционные краевые задачи высокого порядка во внешности шара 91
Список литературы 99
- Задачи с бигармоническим оператором во внешности шара с краевыми условиями первого типа
- Сингулярные полулинейные бигармонические неравенства в шаре
- Неравенства с общей правой частью
- Эволюционные краевые задачи высокого порядка во внешности шара
Введение к работе
Общая характеристика работы
В настоящее время большой интерес вызывают задачи, связанные с исследованием отсутствия нетривиальных глобальных решений нелинейных дифференциальных уравнений и неравенств. Данная тема разрабатывается, в частности, группами под руководством чл.-корр. РАН СИ. Похожаева (Математический институт им. В.А. Стек-лова РАН), проф. В.А. Кондратьева (Московский государственный университет). Ряд прикладных аспектов исследуется коллективом ученых, возглавляемого одним из крупнейших британских специалистов в области прикладной и вычислительной математики проф. Крисом Баддом (Chris Budd), University of Bath.
В диссертации установлены следующие результаты:
1. Метод пробных функций разработан применительно к изучению краевых задач во внешности шара.
2. Методом пробных функций найдены необходимые условия существования глобальных решений для нелинейных краевых задач во внешности шара.
3. Изучена зависимость критических показателей краевой задачи от условий на границе области. При этом рассмотрены различные варианты краевых условий.
Во всех основных теоремах приведены примеры, демонстрирующие неулучшаемость полученных условий существования решений.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5].
В целом результаты диссертационной работы докладывались на семинаре кафедры математического моделирования МЭИ под руководством проф. А.А. Амосова и Ю.А. Дубинского, на семинаре математического института В.А. Стеклова под руководством проф. СИ. По-хожаева и В.А. Кондратьева, на научном семинаре кафедры высшей математики РГСУ, отдельные части диссертации доложены на международных конференциях: "Современные проблемы математики, механики и информатики" в ТулГУ, Тула, 2002; "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", памяти И.Г.Петровского, МГУ, Москва, 2007; а также на всероссийских конференциях: "Современные проблемы математики, механики и информатики", ТулГУ, Тула, в 2001 и в 2002 годах; на ежегодных математических чтениях "Математические методы и приложения", Руза, в 2005 и 2006 годах; "Математическое моделирование социальных процессов и современные образовательные технологии" в рамках VII Международного социального конгресса, Москва, РГСУ, 2007.
Здесь А — оператор Лапласа: А = 5Zi=i §Ц? Часто рассматриваются положительные решения данной задачи, что, в частности, диктуется и реальным физическим смыслом (например, температура и(х, t) всегда больше абсолютного нуля). Классический результат (Фужита [6], 1966 г.), положивший начало всей теории отсутствия решений уравнений с частными производными, формулируется так.
В классической теории дифференциальных уравнений с частными производными принято различать три основных типа — эллиптические, параболические и гиперболические задачи. Приведенное выше неравенство (0.2) относится к параболическому типу. Та же терминология сохранилась и используется для неравенств.
Все три приведенных выше результата доказывались разными методами. Тем не менее можно заметить некоторую общность данных результатов в плане структуры критических показателей: они получаются друг из друга, если просто добавлять единичку к числителю и знаменателю. Данный факт не является случайным, и, по-видимому, впервые это было отмечено в работах СИ. Похожаева с соавторами [16, 17]. Там же был предложен достаточно универсальный метод, позволяющий в едином ключе получить результаты об отсутствии глобальных решений для всех трех типов дифференциальных неравенств. Этот метод и многие результаты на его основе детально изложены в монографии Э. Митидиери и СИ. Похожаева [11]. Монография уже стала классической. Её развитие можно найти в новых работах указанных авторов [18, 19, 20, 21, 22, 23].
Задачи с бигармоническим оператором во внешности шара с краевыми условиями первого типа
Ряд прикладных аспектов исследуется коллективом ученых, возглавляемого одним из крупнейших британских специалистов в области прикладной и вычислительной математики проф. Крисом Баддом (Chris Budd), University of Bath. В диссертации установлены следующие результаты: 1. Метод пробных функций разработан применительно к изучению краевых задач во внешности шара. 2. Методом пробных функций найдены необходимые условия существования глобальных решений для нелинейных краевых задач во внешности шара. 3. Изучена зависимость критических показателей краевой задачи от условий на границе области. При этом рассмотрены различные варианты краевых условий. Во всех основных теоремах приведены примеры, демонстрирую 4 щие неулучшаемость полученных условий существования решений. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5]. В целом результаты диссертационной работы докладывались на семинаре кафедры математического моделирования МЭИ под руководством проф. А.А. Амосова и Ю.А. Дубинского, на семинаре математического института В.А. Стеклова под руководством проф. СИ. По-хожаева и В.А. Кондратьева, на научном семинаре кафедры высшей математики РГСУ, отдельные части диссертации доложены на международных конференциях: "Современные проблемы математики, механики и информатики" в ТулГУ, Тула, 2002; "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", памяти И.Г.Петровского, МГУ, Москва, 2007; а также на всероссийских конференциях: "Современные проблемы математики, механики и информатики", ТулГУ, Тула, в 2001 и в 2002 годах; на ежегодных математических чтениях "Математические методы и приложения", Руза, в 2005 и 2006 годах; "Математическое моделирование социальных процессов и современные образовательные технологии" в рамках VII Международного социального конгресса, Москва, РГСУ, 2007.
Тематика диссертации очень актуальна, ей посвящено множество работ. Исторически одной из первых была изучена задача Коши для параболического уравнения в пространстве M.N х (0, оо), N 3, ди _ . . . — -&и = и\ ut=0 = щ(х) 0. (0.1) Здесь А — оператор Лапласа: А = 5Zi=i Ц? Часто рассматриваются положительные решения данной задачи, что, в частности, диктуется и реальным физическим смыслом (например, температура и(х, t) всегда больше абсолютного нуля). Классический результат (Фужита [6], 1966 г.), положивший начало всей теории отсутствия решений уравнений с частными производными, формулируется так. Предложение 0.1. 1) Если 1 q 1-f jj, то задача (0.1) не имеет глобального положительного решения (то есть решения, определенного на Шм х (0, со)) ни при каких начальных данных. 2) Если q 1 + -р, то глобальные решения существуют. Позже Хаякава [7] для N — 1, 2 показал, что при q — 1 + - глобальные решения также отсутствуют. Для старших размерностей N этот факт был установлен в [8, 9]. Таким образом, появляется так называемый критический показатель нелинейности, разделяющий области значения степени q, в которых задача имеет или не имеет глобального решения. Отметим, что оказалось также возможным исследовать более общий объект, чем уравнение, а именно — неравенство du — -Au u\ u\t=Q = щ(х) 0. (0.2) Для задачи (0.2) предложение 0.1 также остается справедливым, т.е. мы сталкиваемся с довольно неожиданным фактом: задача для более общего объекта — неравенства — имеет тот же ответ, что и задача для менее общего объекта — уравнения. В классической теории дифференциальных уравнений с частными производными принято различать три основных типа — эллиптические, параболические и гиперболические задачи. Приведенное выше неравенство (0.2) относится к параболическому типу. Та же терминология сохранилась и используется для неравенств. Для эллиптического неравенства -Au uq (0.3) Бидо-Верон [10] доказала отсутствие глобального решения при q j . Данный результат является точным, т.е. для q jf требуемым решением служит функция ф) = (1 + Ы ь-в {0А) при малых е 0. Задачи, более общие, чем (0.3), рассмотрены в книге [11] и в статьях [12, 13, 14]. Наконец, для гиперболической задачи д2и ди Аи uq а? —- at _, =UlW (0-5) отметим результат Като [15] об отсутствии глобального решения при q зх Необходимо подчеркнуть, однако, что Като доказал свое утверждение при некоторых дополнительных условиях, при которых полученный критический показатель не является неулучшаемым.
Все три приведенных выше результата доказывались разными методами. Тем не менее можно заметить некоторую общность данных результатов в плане структуры критических показателей: они получаются друг из друга, если просто добавлять единичку к числителю и знаменателю. Данный факт не является случайным, и, по-видимому, впервые это было отмечено в работах СИ. Похожаева с соавторами [16, 17]. Там же был предложен достаточно универсальный метод, позволяющий в едином ключе получить результаты об отсутствии глобальных решений для всех трех типов дифференциальных неравенств. Этот метод и многие результаты на его основе детально изложены в монографии Э. Митидиери и СИ. Похожаева [11]. Монография уже стала классической. Её развитие можно найти в новых работах указанных авторов [18, 19, 20, 21, 22, 23].
Сингулярные полулинейные бигармонические неравенства в шаре
Основной интерес представляло изучение зависимости критических показателей от условий на границе области. Для иллюстрации изучаемых в диссертации проблем обратимся к обыкновенным дифференциальным уравнениям и рассмотрим следующую простую задачу: пусть в каждый момент времени известна скорость точки, движущейся вдоль прямой линии, и пусть она равна /(). Будем считать также, что известна начальная координата щ в начальный момент времени t = 0. Закон движения точки, т.е. её координата u(t), определяется задачей Коти u (i) = /( ), и{0) = щ. Решение решение данной задачи имеет вид t u(t)=uQ+ J fir) dr. (0.6) о Предположим, что скорость непрерывна, тогда формула (0.6) даёт нам непрерывно дифференцируемое решение, определенное при любых сколь угодно больших значениях времени t. Аналогичная задача u (t)=u(t), и(0)=щ, (0.7) когда тело разгоняется пропорционально пройденному расстоянию, также очевидно имеет явное решение, определенное для всех t. Решения, определенные для всех t 0, называются глобальными. Теперь обратимся к внешне, казалось бы, не намного отличающемуся случаю задачи (0.7): u {t) = u2{t), и(0) = щ 0. (0.8) Проинтегрировав это уравнение, находим решение в явном виде u(t) = -j-L. (0.9)
Данная функция при любых сколь угодно малых начальных данных имеет вертикальную асимптоту при (конечном) значении Q = 1/щ, т.е. решение всегда имеет бесконечный разрыв. Таким образом, можно сформулировать
Предложение 0.2. При любых положительных начальных данных задача (0.8) яе имеет глобального решения, определенного для всех значений t 0. С математической точки зрения исследование такого рода дифференциальных уравнений опирается на теорему Пеано, которая устанавливает существование решения задачи на некотором малом участке [to, to+e), и так называемую "теорему о продолжении решения", которая дает условия, при которых решение можно продолжать неограниченно по t — оо. В случае задачи (0.8) решение нельзя продолжить после определенного момента, оно устремляется к бесконечности, иными словами, происходит "взрыв" решения. В зарубежной литературе часто применяют английское словосочетание "blow-up". В задаче (0.8) локальное (т.е. существующее при t to = 1/щ) решение есть всегда (при любых положительных начальных данных щ). В общей постановке, когда мы не знаем явного вида решения, естественно возникает вопрос о максимальном времени существования этого локального решения, т.е. об оценках для to. С физической точки зрения полученный результат означает, что какую бы малую начальную скорость не имело тело, мы можем разогнать его до бесконечной скорости за конечное время (что, очевидно, нереально), если сообщать ему скорость, пропорциональную квадрату расстояния.
Диссертация состоит из введения и трёх глав. В диссертации основное внимание уделено неравенствам вида (-А)ти{х) \х\а \и{х)\" (0.10) во внешности заданного шара с некоторым натуральным т и без предположения о знаке решения. Также рассматриваются соответствующие эволюционные задачи и системы. Постановка таких общих задач не позволяет использовать стандартные подходы (например, усреднение по сфере [24]), поэтому здесь применяется разработанный Митидиери и Похожаевым [11, 25] (см. также [26, 27, 28]) метод пробных функций. Отличительной особенностью данного метода является точность получаемых нелинейных характеристик, обеспечивающих отсутствие нетривиальных решений, и простота доказательства отсутствия таких решений в предельном случае. Кроме того, можно рассматривать довольно широкие классы нелинейных задач в различных областях (например, в конусах [29, 30]).
В диссертации установлено, что критические степени для задачи (0.10) существенно зависят от предписанных краевых условий, в частности, могут меняться вместе с краевыми условиями. Подобный факт не был отмечен ранее в научной литературе.
Основное внимание уделено дифференциальным неравенствам с нелинейностями степенного вида. Также важной особенностью исследуемых задач является то, что не накладывается никаких условий на поведение возможных решений в бесконечности.
Определение 0.2. Пусть ограниченная область О является подмножеством B R и Q D {R \х\ Ro}. Локальным решением краевой задачи (0.11), (0.12) называется функция и(х) 6 Lqoc(Q.), для которой выполнено неравенство (0.14) для любой неотрицательной финит ной на бесконечности функции р(х) б C(BR) такой, что р\дв =0, Д(/?ав = 0 и р = 0 для х Я0.
Неравенства с общей правой частью
Доказательства проводятся с помощью метода пробных функций так, что не приходится делать никаких предположений ни о радиальности, ни о знаке возможных решений, ни об их поведении при \х\ — +оо. Важно также отметить, что получаемые при этом критические показатели являются точными. Рассматриваются разнообразные варианты граничных условий. 1.1. Описание метода пробных функций
Сформулируем постановку задачи в общей операторной форме. Пусть в пространстве RN, N 1, выделено измеримое множество Г2, которое может быть как ограниченным, так и неограниченным и, в частности, совпадать со всем R . Введём класс функций W, заданных на множестве О., и-пусть определён оператор А, не обязательно линейный, отображающий каждую функцию и G W в функцию Аи, определённую на fi. При этих условиях имеет смысл неравенство Аи(х) \u{x)\q, хеП, ueW, g 0. (1.1) Требуется решить неравенство (1.1), либо доказать отсутствие решений из класса W. Например, на отрезке [а, Ь] = О, С К. рассмотрим неравенство и (х) \u(x)\q, q 0. (1.2) Будем искать решение из класса W = {и(х) : и(х) G АС[а, Ъ]\ и(а) = и{Ъ)}. (1.3) Напомним, что символом АС[а, Ь] обозначаются функции, абсолютно непрерывные на отрезке [а, Ъ]. Умножим неравенство (1.2) на фиксированную функцию tp е W и результат проинтегрируем по отрезку [а, Ь], что даёт: ь ь ъ I \и(х)\ч р(х) dx / и (х) р(х) dx = шр — / и(х) р (х) dx. = 0, что В силу периодичности краевых условий слагаемое шр приводит к неравенству ь ъ / \u(x)\q(p{x) dx - / и{х) р (х) dx. (1.4) В класс W входит функция ip{x) = 1. Для неё неравенство (1.4) принимает вид Ja \u(x)\qdx 0, откуда очевидно, что допустимо только одно решение и(х) = О, х е [а, Ь]. Полученный результат удобно оформить следующим образом.
Предложение 1.1. Для каждого числа q О не существует функции и(х) из класса W, определённого в (1.3), которая удовлетворяет неравенству (1.2) и отлична от тождественного нуля.
Продолжим рассмотрение общего неравенства (1.1). В наиболее типичных случаях появляется число q , называемое критическим, которое на оси параметров отделяет интервал существования решения неравенства (1.1) от интервала несуществования. Заметим, что постановка задачи (1.1) в форме неравенства несколько обобщает привычные уже постановки в форме уравнения, а главное — даёт возможность относительно легко доказывать существование решения, так как для неравенств это сделать много проще.
Пока ещё рано говорить о результатах для неравенств с существенно нелинейным оператором А. Имеются отдельные достижения для случая квазилинейных дифференциальных операторов. Наибольшее число исследований задачи (1.1) связано с линейными операторами. Для них начало общей схемы доказательства отсутствия решений задачи (1.1) можно представить в следующей форме. Выберем положительную в Q, гладкую функцию р(х), называемую "пробной", и умножим на неё неравенство (1.1). После интегрирования по множеству 1 получаем неравенство / \u(x)\qip(x)dx Au(x)(p(x)dx = (Аи,(р). (1.5) о. п Используя линейность оператора А, с помощью интегрирования по частям перебросим его на второй множитель ip в виде формально сопряженного оператора А , т.е. считаем допустимым тождество (Аи, р) = (u,A tp). Тогда неравенство (1.5) примет вид [ \u{x)\qp{x) dx {и, А ф). (1.6) А теперь допустим, что существует пробная функция ip со свойством A ip = 0. Тогда из (1.6) следует, что /n \u(x)\qip(x)dx 0, откуда в силу условия р(х) 0, р ф 0 получаем только тривиальное решение и(х) = 0, х 6 П. Именно такая схема была применена в примере (1.2)-(1.3). Недостаток её в том, что решения уравнения А ср = 0 в типичных случаях не могут быть приняты в качестве пробных функций, так как интеграл JQAu(x)ip(x)dx может расходиться. Тем не менее именно такая идея лежит в основе метода пробных функций, детально разработанного в книге [11].
Следует также отметить одно направление исследований, которое систематически стало изучаться именно в связи с развитием метода пробных функций: вопрос в том, зависит ли критический показатель q от выбранного класса решений W.
Заметим существенное отличие этого результата от утверждения для неравенства (0.3). Другими словами, если выбрать класс решений VVb = C2{RN), то критическая степень для уравнения (1.7) равна з. В то же время, если класс решений уравнения (1.7) W = I/ 0C(EjV), то с помощью метода пробных функций можно показать, что критическая степень q = jf . Таким образом, имеет место различие критических степеней для одного и того же уравнения.
Эволюционные краевые задачи высокого порядка во внешности шара
Следующий результат вытекает из теоремы 4.1 книги [11, с. 28]: если q -д/34, N 4, то задача (1.8) не имеет решений, определённых для всех х M.N и отличных от тождественного нуля. Если же q - Гд, N 4, то существуют примеры таких решений. В подобных случаях будем говорить, что задача имеет точный критический показатель q, равный q . Таким образом, для задачи (1.8) точный критический показатель д = - ( 4).
Рассмотрим то же неравенство (1.8) в области B R = M.N \ BR, дополнительной к некоторому шару BR = {IG M.N\ \Х\ Rj : A2w \u\q, xeB R, q l. (1.9) Для задачи (1.9) результат может измениться коренным образом, как показывает следующее утверждение. Теорема 1.2. Задача (1.9) не имеет критических степеней в том смысле, что для любого q 1 существует решение этой задачи из класса C4(B R), отличное от тождественного нуля. Соответствующие решения можно, например, искать в виде и = е \х\ а, подбирая параметры е и а 0. Подробное доказательство этого факта будет приведено ниже. Подчеркну, что в теореме 1.2 неравенство (1.9) рассматривается без привлечения граничных условий. Естественно предположить, что граничные условия могут изменить ситуацию, что и доказывается далее. Удобно считать, что краевая задача для неравенства (1.9) состоит в нахождении функции и — и(х), удовлетворяющей в B R неравенству (1.9) и граничному условию на дВц вида . пди . . сд(Аи). . . ч аи[х) + PQ-{X) = go[x), -уАи(х) + д— [х) = gi{x), где а, (3, 7, (5 — заданные числа, а до, д\ — некоторые функции, суммируемые по OBR. Будем особо выделять следующие типы граничных условий: 1) граничные условия первого типа и{х) = до(х), Аи(х) = gi(x), х G dBR; (1.10) 2) граничные условия второго типа ди, . . . д(Аи). . . . „ „ —{х) = g0{x), —Q (X) = 5iИ, z G ЗБД. Далее будут рассматриваться только условия первого типа. Задачи с условиями второго типа изучаются в следующем разделе. Итак, рассмотрим краевую задачу А2и \u\q , х е B R, q 1, (1.11) u(x) = flfoW, Au(:c) = gi(x), x G сШл. Пусть и G CA(B R) удовлетворяет данным соотношениям. Домно-жим обе части неравенства А2и \u\q на неотрицательную финитную на бесконечности функцию /? G C(B R) и, дважды интегрируя по частям, получим неравенство J J J \ on on on on J B R B R DBR Это соотношение положим в основу определения ослабленного решения.
Определение 1.1. Пусть и{х) G Ц0С(В К). Функция и(х) называется ослабленным глобальным решением краевой задачи (1.11), если для любой неотрицательной финитной на бесконечности функции (р(х) G C(BR) такой, что р\дВн — 0 и А р\дВ = » веРно интегральное неравенство [ p\u\qdx fuA2 pdx- Г fgi +g0 l\ds. (1.12) B R B R dBR Замечание 1.1. Как ранее было замечено, если функция и G G С4(Бд) удовлетворяет соотношениям (1.11), то она является ослабленным решением, следовательно для и G CA{B R) также применимы излагаемые далее результаты. Так как задача представлена в форме дифференциального неравенства, то не приходится ожидать улучшения гладкости решения при повышении гладкости краевых условий. Мы также будем исследовать поведение решений, заданных на некоторых ограниченных областях, содержащихся в множестве B R. Определение 1.2. Пусть ограниченная область ft является подмножеством B R и Q D {R \х\ Ro}. Локальным решением краевой задачи (1.11) называется функция и{х) G Lqoc(Q), для которой вы 28 полнено неравенство (1.12) для любой неотрицательной финитной на бесконечности функции р{х) Е С{В В) такой, что р\дв = 0, А р\дв = О и ср = 0 для \х\ RQ. Справедлива следующая теорема. Теорема 1.3. Пусть функция go G Ь1(ЗЛд) произвольна, а функция д\ Е Ь1{дВв) удовлетворяет условию J gx ds О, кроме того, iV 4 и 1 g - . Тогда задача (1.11) не имеет нетривиальных ослабленных глобальных решений. Если же q j zi, то такие решения существуют.
Таким образом, в данном случае мы получаем точный критический показатель q = j Используемый в данной работе метод доказательства отсутствия глобальных решений во внешности шара позволил получить не только условия этого отсутствия, но и указать ту область в B R, где определены возможные локальные решения поставленной задачи. Справедливо следующее утверждение, показывающее, что эта область существенным образом зависит от краевых условий. Свойство 1) вытекает из неотрицательности подынтегральной функции в соотношении, определяющем 2(г) по формуле (1.25), а также из неотрицательности множителя (р(г). Введённая формулой (1.25) функция 2(7") является основным элементом доказательства, поэтому подробно рассмотрим её свойства.
