Содержание к диссертации
Введение
1. Исследование поведения твердых тел при динамических нагрузках 10
1.1. Моделирование процессов динамического деформирования твердых тел 10
1.2. О моделях разрушения твердых тел 16
1.3. Исследование пластичности металлов при высоких давлениях и скоростях деформации 17
1.4. Постановка задачи исследования 19
2. Метод разделения переменных, основанный на вариационной постановке 21
2.1. Постановка краевой задачи теории пластического течения 21
2.2. Применение вариационных принципов для решения краевых задач механики 28
2.2.1. Вариационные принципы для статических задач механики 28
2.2.2. О вариационных принципах динамики 35
2.3. Решение краевых задач механики методом разделения переменных, основанным на вариационной постановке 36
2.4. Задача об ударе упругого стержня о жесткую преграду 39
2.4.1. Решение задачи с помощью разностного представления виртуальных функций 41
2.4.2. Решение с помощью представления виртуальных функций
в виде рядов Фурье 44
2.4.3. Расчет поврежденности стержня 49
2.5. Задача об ударе упругопластического и жесткопластического стержней о жесткую преграду 51
2.6. Выводы 62
3. Моделирование некоторых процессов динамического деформирования и разрушения 63
3.1. Пробивание круговой пластины жестким шариком 63
3.1.1. Математическая модель процесса пробивания пластины 64
3.1.2. Расчет напряженно-деформированного состояния в пластине с учетом поврежденности и разрушения 66
3.1.3 Двумерное решение задачи о пробивании пластины 70
3.2. Внедрение жесткой частицы в пластическую преграду 78
3.2.1. Математическая модель внедрения квадратной пластинки в пластическое полупространство 83
3.3. Высокоскоростной разрыв цилиндрического образца в условиях высокого гидростатического давления 99
3.3.1. Постановка задачи и математическая модель 101
3.3.2. Определение напряженно-деформированного состояния в образце 107
3.3.3. Расчет напряженно-деформированного состояния в образце из материала с деформационным упрочнением. Методика расчета пластичности металла 110
3.4. Выводы 119
Заключение 120
Список использованных источников
- Исследование пластичности металлов при высоких давлениях и скоростях деформации
- Постановка задачи исследования
- Решение краевых задач механики методом разделения переменных, основанным на вариационной постановке
- Математическая модель внедрения квадратной пластинки в пластическое полупространство
Исследование пластичности металлов при высоких давлениях и скоростях деформации
Широкий класс задач удара деформируемых тел о жесткие преграды, проникания жестких тел в полубесконечные преграды и пробивания преград конечной толщины жесткими телами решаются на основе постановки, принятой в работе [14]. Исходная система уравнений включает в себя законы сохранения, уравнения упругопластической модели Прандтля-Рейсса, граничные и начальные условия, а также соотношения, позволяющие отслеживать процесс разрушения металлов. В качестве критериев разрушения принимаются предельные значения следующих величин: максимальное растягивающее напряжение, максимальная растягивающая деформация, максимальное касательное напряжение, максимальная сдвиговая деформация, предельная внутренняя энергия, предельная степень деформации сдвига. Если в некотором элементарном объеме выполнился хотя бы один из этих критериев, полагается, что среда повреждена, т.е. изменились ее прочностные свойства. Задача состоит в определении в произвольный момент времени закона движения частиц деформированного тела, а также значений напряжений, деформаций, плотности и энергии в каждой точке тела, удовлетворяющих исходной системе уравнений, начальным и граничным условиям. Численное решение задачи осуществляется конечно-разностным методом. Конечно-разностные схемы строятся либо на основе дифференциальной постановки задачи, либо на основе вариационных принципов.
Используя описанный подход, были получены численные решения задач об ударе цилиндрического стержня о жесткую преграду [1, 15], задач проникновения ударников в массивные упругопластические преграды [1, 16] и задач пробивания тонких пластин в широком диапазоне скоростей [1].
Аналитические решения задач об ударе упругопластических цилиндрических стержней о жесткую преграду в одномерной постановке получены в работах [11, 17, 18]. Решения гиперболического волнового уравнения для различных моделей материалов строятся методом характеристик.
Аналитическое решение задачи об ударе цилиндром по круговой пластине дано в работах [11, 19]. Решение также получено интегрированием системы дифференциальных уравнений в частных производных. Отмечается, что при больших скоростях удара пластина работает только на сдвиг, т.е. имеют место только касательные напряжения orz.
В работах [20-22] задачи внедрения жестких частиц в деформируемое полупространство решаются методом жесткопластического анализа [20].
В работе [23] решается задача по определению оптимальной формы продольного и поперечного контура тел с заданной длиной, проникающих в упругопластическую среду на максимальную глубину.
Для аналитического исследования процесса проникания жестких тел в пластически деформируемые массивные преграды возможно применение более простых математических моделей. Для описания процессов, относящихся к среднему диапазону скоростей, наиболее простым является метод верхней оценки для идеально пластичного материала в рамках модели Сен-Венана-Мизеса [8]. Метод позволяет получить верхнюю оценку силы Р сопротивления преграды и проинтегрировать уравнение движения жесткого тела в случае удара по нормали:
Использование модели идеальной пластичности допускает возможность разрыва на некоторых поверхностях касательной составляющей вектора скорости в деформируемом теле. Кинематически возможные поля скоростей в задачах внедрения плоских и осесимметричных тел строятся на основе разбиения деформируемой среды на несколько жестких или деформируемых зон, на границах которых имеет место разрыв касательной составляющей вектора скорости. Внутри жестких зон деформация не происходит, поэтому в случае плоского течения, когда все зоны являются жесткими, вся деформация сконцентрирована на границах зон. Используя такое представление деформированного состояния в преграде, в работах [1,9, 24] были получены верхние оценки силы сопротивления для задач внедрения плоского штампа с клиновидной головкой, цилиндрического и конического ударников. Рассчитанная таким методом глубина проникания, очевидно, будет заниженной, поскольку для описания движения тела внутри преграды используется верхняя оценка силы сопротивления. В работах [25, 26] аналогичным методом получено разрывное решение задачи о торцевом ударе пластины о жесткую преграду. Такое решение задач внедрения жестких тел в пластические преграды представляется подходящим для качественного описания процесса в среднем диапазоне скоростей. При этом представляется интересным оценить влияние возможного разрушения материала преграды на глубину проникания частицы.
Напряженно-деформированное состояние в цилиндрических образцах при испытаниях на разрыв обычно определяется по известным формулам [27, 28], исходя из геометрических параметров образцов. Однако для более точного расчета пластичности и проведения вычислительных экспериментов необходимо рассчитать напряжения и деформации в образце на всем промежутке деформирования до момента разрыва. Такие решения получены в работах [29-31]. В работе [29] описаны вычислительные эксперименты по разрыву цилиндрических образцов при различных высоких скоростях деформации. Исследовано влияние инерции, скорости деформации. Отмечается, что даже при скорости растяжения, меньшей, чем скорость распространения пластических волн, деформация протекает неравномерно вследствие влияния массы. При скорости деформации больше 400 с-1 поведение хаотично и сильно зависит от малых изменений свойств и скорости деформации. Место локализации деформации становится невозможно предсказать. В некоторых расчетах отмечено образование двух шеек. В работах [30-31] расчет напряженно-деформированного состояния и разрушения производится на основе феноменологической теории дислокаций и развития макродефектов. Предложена модель континуального разрушения поликристаллических материалов. Дано решение динамических задач о разрушении стержня при мгновенном приложении к его концам постоянных скоростей. Исследована структура полос локализации пластической деформации и процесс разрушения. Показана возможность разрушения в центре и на концах в зависимости от воздействия и материала. Расчеты в работах [29-31] проведены для процесса растяжения цилиндрического образца при атмосферном давлении. Подобных решений задач для случая, когда на боковую поверхность образца действует высокое гидростатическое давление, нами в литературе не найдено. 1.2. О моделях разрушения твердых тел
Большое значение при исследовании поведения деформируемых твердых тел имеет возможность учесть процесс разрушения тела от начала зарождения дефектов до момента фрагментации тела на отдельные части. Простейшим подходом для определения зоны разрушения является дополнение модели среды мгновенным критерием, при выполнении которого материал в зоне считается разрушенным. Обобщением такого подхода является введение в рассмотрение величины, характеризующей поврежденность материала и изменяющейся с течением времени.
В работе [32] рассмотрена проблема деформирования металла без разрушения. Предполагается, что при пластической деформации критерием разрушения металла является степень деформации. Чтобы избежать разрушения, необходимо, чтобы степень деформации не превышала определенного критического значения (названного пластичностью), зависящего от свойств металла, температуры и напряженного состояния. Напряженное состояние характеризуется двумя независимыми безразмерными инвариантами тензора напряжений. Вводится понятие диаграммы пластичности - функции, определяемой из специальных экспериментов. В работе [33] сделано предположение, что диаграмма пластичности может трактоваться как зависимость пластичности от показателя напряженного состояния, являющегося отношением среднего нормального напряжения к интенсивности касательных напряжений. В работе [34] установлено, что момент разрушения соответствует определенной точке на диаграмме пластичности. В работах [35, 36] введена скалярная функция, поврежденность, изменение которой во времени описывается некоторым кинетическим уравнением, которое является обыкновенным дифференциальным уравнением. Значение поврежденности нормировано так, что в начальный момент оно равно нулю, а в момент разрушения равно единице
Постановка задачи исследования
Будем считать, что перемещение материальных точек стержня происходит только в направлении его оси, деформации считаются малыми, массовые силы, кроме инерционных, отсутствуют.
Решение поставленной задачи является определенным тестом. Оно иллюстрирует применение метода, предлагаемого в данной диссертации, к решению задач об ударном деформировании тел, испытывающих необратимые деформации. Тем не менее, автор видит в этих задачах пример, который может быть полезен в инженерных расчетах. Имеется потребность в стержневых деталях машин с утолщенными концами. Их изготовляют в кузнечных цехах путем высадки. Высадка может осуществляться ударным образом. Рассматриваемые в данном параграфе задачи дают подход к расчету напряженно-деформированного состояния в кузнечных операциях высадки.
Краевая задача, описывающая поставленную задачу, будет эквивалентна вариационному уравнению, аналогичному (2.50), для выбранного виртуального поля скоростей vx, удовлетворяющего граничным условиям задачи. Значения Т и сг в (2.80) не варьируется и соответствует действительному состоянию.
Выберем виртуальное поле скоростей в разностном виде (2.51). Для выбранного поля ненулевая компонента тензора скоростей деформации будет иметь вид (2.52). Тогда интенсивность скоростей деформации сдвига можно вычислить следующим образом:
Обозначим как (z j) множество отрезков [л:г_і, г], лежащих в упругой области, соответствующей (2.78), (/2) - множество отрезков, лежащих в пластической области (2.79). Учитывая, что тензор деформации внутри отрезка не зависит от координаты х, в каждый момент времени легко определить, к какому из введенных множеств относится каждый из отрезков, исходя из критериев упругой и пластической областей, отмеченных выше.
Подставив в необходимые условия экстремума функционала (2.83), которые будут иметь вид (2.54), соотношения (2.55), (2.56), а также значения соответствующие определяющим уравнениям, получим для нахождения функций ui систему обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичную системе (2.58): p/z d un d u,
Система (2.86)-(2.87) была решена численно, методом Рунге-Кутта третьего порядка, при следующих значениях параметров: v = -300м/с, xs =200МПа, )u = SOOMIJa, q = 0,5, v = 0,3 . Остальные параметры взяты такими же, как в п. 2.4. Отметим, что, как и в п. 2.4, на этапе взаимодействия стержня с преградой u0(t)= 0, VQ ) = 0, поэтому из системы (2.86) исключается первое уравнение.
Для полученного решения совершенно аналогично п. 2.4. был произведен расчет поврежденности в стержне по формулам (2.16)—(2.17), (2.74). Для выбранного вида виртуальных полей поврежденность подсчитывается для каждого отрезка разбиения, поскольку внутри отрезка она не зависит от координаты. На рис. 2.9 показано распределение поврежденности вдоль стержня в момент с, когда произойдет первое разрушение. Это разрушение произойдет в отрезке, прилегающем к преграде.
Задача об ударе упругопластического стержня была также решена для значения xs = 400МПа, при котором разрушение происходит на этапе разгрузки, когда скорости материальных точек в принятой системе координат положительны. Расчет производился для значений « = 50, v =-200-4--300ти/с. Поскольку для принятых виртуальных полей значение поврежденности в каждый момент времени Распределение поврежденности в упругопластическом стержне к моменту разрушения t = 1,87 10" с
Рис. 2.9. постоянно внутри каждого отрезка [xM,xj], і = 1,...,и, расчеты позволяют лишь предсказать, в каком из отрезков произойдет разрушение. Во всех просчитанных вариантах место разрыва находится в интервале х є [0,06 ; 0,07]. Разрыв имеет место на этапе разгрузки, когда скорости материальных точек имеют положительные значения, однако стержень еще не оторвался от преграды. Дальнейшее решение нужно вести отдельно для каждой из образовавшихся частей стержня. При этом нужно учитывать импульсную разгрузку в точке разрыва. Начальными условиями для решения на новом этапе будут перемещения и скорости, сложившиеся к моменту разрыва. На рис. 2.10 показано распределение поврежденности в стержне в момент возникновения первого разрыва, tp =6,125- 10 5с, при скорости удара 250м1с. Разрушение происходит в отрезке [0,064 ; 0,066]. На рис. 2.11 отражена зависимость момента разрушения от начальной скорости полета стержня.
Предположим теперь, что материал стержня несжимаем и обладает жесткопластическими свойствами, а именно, определяющие уравнения выглядят следующим образом: для выбранного виртуального поля скоростей vx, удовлетворяющего граничным условиям задачи. Значение Т здесь не варьируется и соответствует действительному состоянию.
Выберем виртуальное поле скоростей в разностном виде (2.51). Несмотря на то, что лишь компонента Ъ,хх (2.52) тензора скоростей деформации отлична в этом случае от нуля, будем считать изменение объема пренебрежимо малым. Интенсивность скоростей деформации сдвига можно вычислить следующим образом:
Решение краевых задач механики методом разделения переменных, основанным на вариационной постановке
Таким образом, получена система трех уравнений (3.61)—(3.63) для определения функций а = а( ), Р - P{t), v = v(t). Для ее решения применяется следующая процедура. На первом шаге, от t0 до tl=t0+At, для начальных
значений v , v , or решается дифференциальное уравнение (3.61) и находится значение угла а при tl, а . Из верхней оценки силы Р (3.63), с учетом полученного значения or находится значение Р К Далее, из уравнения движения частицы (3.62), определяется значение v . Наконец, находится значение скорости в конце первого шага, v 1 = v +v x At. Аналогично, на произвольном /-ом шаге по значениям Vі- 1 , v l\ а 1 определяются значения v % v(,), ог \ Таким образом, по шагам осуществляется решение до момента остановки частицы.
Обратимся теперь к назначению начальных условий v , v , or . Рассмотрим задачу деформирования мишени в момент ее соприкосновения с частицей t0 (рис. 3.14). Так же, как и в задаче о движении частицы внутри мишени, предположим, что деформацией охвачен небольшой слой, прилегающий к торцу частицы. Он состоит из нескольких зон, причем вся деформация сосредоточена на границах этих зон, где имеет место разрыв касательной составляющей вектора скорости. Ввиду симметрии задачи вновь будем рассматривать только зоны 2, 3 и половину зоны 1, лежащие в области у 0. Поле скоростей в этих зонах представимо соотношениями, приведенными в таблицах 3.1 и 3.2.
Используя полученные выше соотношения, можно записать необходимое условие экстремума функционала принципа виртуальных скоростей, аналогичное (3.59), для момента t0:
Используя верхнюю оценку силы воздействия частицы на мишень в момент времени t0, можно записать уравнение движения частицы в этот момент. Здесь з =r2ctg2a /8, а величины S]f S2 определены соотношениями (3.58). Полагая, что значением d в момент t0 можно пренебречь, и подставляя в уравнения (3.64), (3.65) значения w =v, w2 =-w3 =vtga, получим систему двух уравнений для определения неизвестных а и v, относящихся к моменту t0. Поскольку начальная скорость движения частицы задана, мы получим начальные условия v , v , a , необходимые для решения задачи о внедрении частицы в мишень.
Начиная с момента времени t0 (рис. 3.14) до полного внедрения в мишень (рис. 3.12), частица пройдет несколько промежуточных этапов, схематично представленных на рис. 3.15.
В некоторый момент времени t = tk возникнет альтернатива течению по схеме, изображенной на рис. 3.15,а. В равной степени будут возможны течения по схеме (а) и по схеме (б). При этом будут одинаковыми силы P\{tk) и P2{tk), соответствующие этим схемам. Это соответствует положению о том, что решение задачи течения идеально пластического материала может быть не единственно. При численной реализации момент tk, соответствующий смене схемы течения, можно определить из условия: Рх (tk - At) Р2 (tk - At), Рх (tk + At) P2 (tk + At). Начиная с момента времени t = tk, течение пойдет по схеме, соответствующей рис. 3.15,в. В этом случае, S{, S2, S2 определяются формулами (3.58), а площадь зоны 4 - следующим уравнением: неварьируемая величина. Нарис. 3.15,6 L2 =0. В произвольный момент времени t tk вариационное уравнение (3.45) имеет вид:
В некоторый момент времени tm произойдет закрытие полости, образовавшейся за частицей. Этот момент определяется из условия
С момента времени tm начинается последняя стадия проникания, соответствующая схеме течения рис. 3.12, уравнения для которой уже получены. Движение по этой схеме будет продолжаться вплоть до остановки частицы.
По приведенному алгоритму был проведен расчет для следующих значений параметров: г = 10-4 м, р- 7800кг/ мл, xs = ЮОМПа, к = 0,1, для двух значений размера а: 5-10" м и 10" м. Начальная скорость полета частицы принималась в интервале 2000 + ЗОООУИ/С. Результаты расчетов приведены на рис. 3.16. На рисунке отражена зависимость относительной глубины проникания частицы, / = //а, от начальной скорости ее движения. Здесь / - расстояние от границы мишени до передней грани частицы в момент ее остановки. Анализ результатов расчетов показал, что относительная глубина проникания частицы зависит не от конкретных ее размеров, а от отношения h-—. Такой вывод соответствует физическому смыслу и постановке задачи. Таким образом, отраженные на рис. 3.16 результаты верны и для частиц с другими размерами, у которых h = 5,10.
Полученное решение не предполагало возможности разрушения материала мишени. Учтем теперь такую возможность следующим образом. Будем считать, что если на каком-то временном шаге при пересечении границы 2+0 материал накопит степень деформации, большую, чем заданное для него значение пластичности Ар, то зона 2 при этом разрушается, и частица смещается на расстояние 0,5rctga, до передней границы этой зоны. Приращение степени деформации будем вычислять следующим образом:
Предположим теперь, в соответствии с качественной моделью проникания, предложенной В.Л.Колмогоровым, что на пути следования частица попала в волну растяжения. Пусть при этом пластичность значительно уменьшилась. В этом случае материал на пути внедрения частицы разрушается, и глубина проникания значительно превосходит глубину проникания без разрушения. Зависимость относительной глубины проникания от начальной скорости движения частицы при Л =0,05 показана на рис. 3.17. Расчеты показали, что при скоростях, близких к 2000л /с, существенного увеличения глубины проникания вследствие разрушения материала мишени не происходит, а с увеличением скорости увеличение глубины проникания возрастает.
Таким образом, уменьшение значения пластичности материала мишени на пути движения частицы приводит к заметному увеличению глубины проникания.
Высокоскоростной разрыв цилиндрического образца в условиях высокого гидростатического давления
Для формулирования определяющих соотношений, связывающих напряженное и деформированное состояния, в механике деформируемого твердого тела применяются хорошо известные методики на основе различных испытаний материалов (см., например, [27, 38, 95-97]). Используемая в данной работе теория разрушения также имеет определяющие соотношения, например, функцию пластичности Л . Эта функция определяется, в том числе, на основе испытаний образцов на разрыв. Для таких испытаний, производимых в условиях сравнительно медленного деформирования, разработана методика проведения опытов и методов расчета механических переменных. Расчет ведется, исходя из известных энергосиловых параметров процесса и геометрических размеров образцов. Так, например, если в опыте фиксируется сила деформирования Р и перемещение захвата испытательной машины, то по размерам образца из условия равновесия можно найти напряжение а = PJF, где F - площадь поперечного сечения образца.
Математическая модель внедрения квадратной пластинки в пластическое полупространство
Физические компоненты виртуального поля скоростей, соответствующие граничным условиям в скоростях и соотношениям (3.83), примем в виде: vr=Siy\vz=S2 (3.90) где Sx = j(ans m\G ny3)J, S2 = [bns m\(i)ny2))+——, точкой обозначена п=\ и=1 полная производная по времени. Очевидно, что виртуальное поле скоростей (3.90) удовлетворяет граничным условиям для скоростей (3.79)-(3.80). Величины ап и Ъп являются варьируемыми параметрами для принципа виртуальных скоростей и напряжений, записанного для фиксированного момента времени. где компоненты девиатора тензора скоростей деформации определяются из (3.93): Уравнение неразрывности для описанного виртуального поля скоростей имеет в лагранжевых координатах следующий вид:
Здесь р0 - начальная плотность материала; в числителе и знаменателе дроби в средней части стоит определитель матрицы (3.86) в начальный и текущий моменты времени соответственно.
Зададим теперь виртуальное поле напряжений, которое должно удовлетворять граничному условию (3.81) и уравнениям движения VV =pwl. Примем, что ненулевые значения принимают только диагональные компоненты тензора напряжений. В этом случае в нашей лагранжевой системе координат уравнения движения будут иметь следующий вид:
Здесь варьируются величины, отмеченные штрихом, а также величина в последнем члене. В (3.104) Н определено формулой (3.98), Т - соотношениями (3.101)—(3.103); в соответствии с (3.96), (3.97), значения v, и w1 определяются соотношениями
Таким образом, все величины, входящие в функционал (3.104), не зависят от параметров ап и их производных.
Подставляя в необходимые условия экстремума функционала, —г- = 0, п = \,...,N, значения компонент вектора ускорения w{ (3.106) и w3 (3.92), получим систему N обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций Зададим начальные условия, необходимые для решения системы (3.107). В начальный момент времени, t0 = 0, по условию задачи, перемещения всех материальных точек равны нулю. Следовательно, для принятого виртуального поля,
Скорость в направлении оси образца в момент t = 0 равна нулю для всех материальных точек, кроме точек, лежащих на подвижном торце, где скорость имеет значение v . Выполним это разрывное начальное условие приближенно, устранив разрыв. Именно, примем, что значения компоненты скорости v3 в начальный момент времени заданы некоторой функцией, аппроксимирующей реальные, разрывные, начальные условия:
Отметим, что в начальный момент ковариантные компоненты вектора скорости совпадают с физическими компонентами, в частности, v3 = vz. Из условия (3.109), используя свойства рядов Фурье, получим:
Решение системы (3.107) при начальных условиях (3.108), (3.110) определит деформированное состояние в образце от момента времени t = 0 до момента разрушения, t = t . Поле напряжений в каждый момент времени будет определяться по найденному полю скоростей системой алгебраических уравнений, полученной из Деформирование в соответствии с полученными уравнениями будет протекать до момента разрушения, t = tp. Этот момент определится из условия для поврежденности, \/ = 1. Поскольку деформация протекает монотонно, кинетическое уравнение, определяющие накопление поврежденности, будет иметь следующий вид:
Из условия задачи следует, что S2j3 0, 1 + 2 з - 0 для каждой материальной точки на всем временном промежутке деформирования. С учетом этого, а также монотонности деформации, степень деформации сдвига можно определить следующим образом:
Отметим, что при равномерной деформации уравнение (3.113) совпадает с известным соотношением, определяющим степень деформации сдвига [47]: Л = л/зіп[і + у (3.115) где Ы - удлинение образца. В уравнении (3.113) это соотношение выполняется для каждого бесконечно малого фрагмента образца, уъ є \yl ,yl + Ay3 J.
Расчет напряженно-деформированного состояния в образце из материала с деформационным упрочнением. Методика расчета пластичности металла
Поведение металлов, подвергаемых динамической нагрузке в холодном состоянии, описывается с помощью модели несжимаемого материала с деформационным упрочнением [38]. Примем определяющие соотношения для такого материла в следующем виде: где д., q - костанты материала. Степень деформации сдвига определяется здесь уравнением (3.113). Функционал принципа виртуальных скоростей и напряжений для несжимаемого материала с определяющими соотношениями (3.116) будет иметь вид:
Здесь T - неварьируемая величина, определяемая соотношением (3.116) для действительного деформированного состояния. Система дифференциальных уравнений, определяющая при начальных условиях (3.108), (3.110) изменение поля скоростей в образце в процессе деформирования, будет иметь следующий вид:
В случае, когда отсутствует функциональная зависимость интенсивности скоростей деформации сдвига от интенсивности касательных напряжений, напряжения в образце, которые не определяются из условия стационарности функционала (3.117), находятся, в соответствии с [25], по найденному деформационному состоянию из уравнений (3.116). Приближенно выполнить эти уравнения для виртуальных полей (3.101)—(3.102), удовлетворяющих граничным условиям и уравнениям равновесия, можно, используя метод наименьших квадратов. В результате получим следующую систему алгебраических уравнений, определяющую в каждый момент времени параметры d, сп, п = 1,...,М :
