Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Состояние исследований упруговязкопластического поведения и процессов повреждения конструкционных материалов 42
1.1. Экспериментальные исследования неупругого поведения материалов 42
1.1.1. Классификация применяемых видов испытаний 42
1.1.2. Опыты на простое нагружение с последующей разгрузкой 43
1.1.3. Исследования циклического деформирования материалов по лучевым траекториям 45
1.1.4. Исследования формы поверхности текучести и закономерностей ее эволюции 46
1.1.5. Эксперименты по непропорциональному деформированию 48
1.1.6. Опыты по циклическому непропорциональному деформированию 50
1.1.7. Исследования неизотермического упругопластического деформирования 55
1.1.8. Экспериментальные исследования закономерностей деформирования материалов при ползучести 55
1.2. Теоретические исследования неупругого поведения металлов 57
1.2.1. Модели упругопластического деформирования материала 57
1.2.2. Соотношения теории ползучести 65
1.3. Исследования физико-механических процессов повреждения и разрушения конструкционных материалов 67
1.3.1. Основные результаты экспериментальных исследований 67
1.3.2. Теоретические критерии оценки долговечности 75
1.3.3. Исследования поврежденности материала и разработка методов ее теоретического описания 79
1.4. Методы решения краевых задач 87
1.4.1. Разновидности применяемых методов 87
1.4.2. Способы учета физической нелинейности 88
1.4.3. Эффективность различных типов конечных элементов 90
1.4.4. Методы решения систем алгебраических уравнений 91
Иллюстрации 94
Глава 2. Уравнения состояния упруговязкопластического повреждаемого материала 104
2.1. Общие положения 104
2.2. Определяющие уравнения термовязкопластичности 110
2.3. Определение скоростей параметров упруговязкопластического напряженно-деформированного состояния 123
2.4. Уравнения накопления повреждений 128
2.5. Критерии прочности материала с учетом его поврежденности 138
Иллюстрации 142
Глава 3. Численная реализация задач термоупруговязкопластического деформирования конструкционных материалов и элементов конструкций 143
3.1. Особенности интегрирования определяющих соотношений 143
3.2. Матричная формулировка определяющих соотношений 147
3.3. Постановка краевой задачи и формулировка уравнений МКЭ 154
3.4. Пакет программ для анализа процессов деформирования материала 158
3.5. Пакет программ для анализа процессов деформирования узлов и элементов конструкций 162
Иллюстрации 167
Глава 4. Методика определения материальных параметров уравнений состояния поврежденной среды 170
4.1. Цели проведения базового эксперимента 170
4.2. Определение материальных параметров уравнений термовязкопластичности 171
4.3. Определение материальных параметров эволюционных уравнений накопления микроповреждений 177
Иллюстрации 187
Глава 5. Оценка адекватности уравнений термоупруговязкопластичности 188
5.1. Цель и методика исследования 188
5.2. Оценка адекватности определяющих соотношений термоупруговязкопластичности для лучевых путей нагружения 190
5.2.1. Моделирование базового эксперимента 190
5.2.2. Моделирование процессов циклического деформирования 192
5.2.3. Моделирование процессов неизотермического деформирования 197
5.2.4. Оценка адекватности уравнений упруговязкопластического состояния для процессов ползучести 201
5.3. Оценка адекватности уравнений состояния для произвольных траекторий деформирования 203
5.3.1. Сложное нагружение по траекториям в виде многозвенных ломаных 203
5.3.2. Оценка адекватности уравнений состояния для циклических непропорциональных траекторий деформирования 218
5.3.3. Обоснование вида параметра непропорциональности упругопластического деформирования 231
5.4 Выводы по главе 237
Иллюстрации 238
Глава 6. Определение ресурса прочности с помощью моделирования процессов повреждения 361
6.1. Цель и методика исследования 361
6.2. Оценка адекватности уравнений механики поврежденной среды для процессов малоцикловой усталости при пропорциональных режимах деформирования 362
6.3. Оценка адекватности уравнений накопления повреждений и методики их интегрирования при непропорциональных режимах деформирования 366
6.4. Оценка возможности прогнозирования разрушения на основе анализа кинетики напряженно-деформированного состояния конструктивного элемента 372
6.5. Расчетный анализ деградации материала трубопровода с учетом влияния ограничения перемещений на опорах 377
6.5.1. Постановка задачи 377
6.5.2. Условно-упругий расчет 380
6.5.3. Расчет кинетики напряженно-деформированного состояния зоны сварного шва с учетом пластических деформаций 383
6.5.4. Оценка усталостной долговечности материала трубопровода 386
6.6 Выводы по главе 397
Иллюстрации 398
Основные результаты и выводы 435
Библиографический список 437
Приложения 481
- Исследования формы поверхности текучести и закономерностей ее эволюции
- Определение скоростей параметров упруговязкопластического напряженно-деформированного состояния
- Пакет программ для анализа процессов деформирования узлов и элементов конструкций
- Оценка адекватности уравнений состояния для произвольных траекторий деформирования
Введение к работе
Для тенденций развития техники в минувшем столетии было характерно постоянное увеличение значений рабочих параметров как строительных, так и машиностроительных конструкций, применение все более прочных материалов, значительный рост удельного веса сложных нестационарных режимов на-гружения. Все более жесткие требования предъявлялись к материалоемкости конструкций, снижение которой привело к повышению общей и местной напряженности конструктивных элементов и к уменьшению запаса прочности. Рост производства и возникновение новых технологических процессов вызвали существенное усложнение условий эксплуатации конструкций. Перечисленные тенденции привели к тому, что на сегодняшний день основным требованием, предъявляемым к инженерным объектам, как в связи с необходимостью обеспечения высокой производительности, эффективности и техногенной безопасности, так и в связи с необходимостью экономии ограниченных природных ресурсов и сохранения природной среды, становится надежность. Значительно возросли требования к длительности безаварийной эксплуатации как конструкций в целом, так и отдельных их элементов. В связи с повышением требований к надежности, в инженерной практике распространились такие понятия как жизненный цикл объекта и его ресурс, а сам инженерный объект все чаще начал рассматриваться как совокупность протекающих во времени процессов. Одной из первостепенных проблем становится увеличение срока службы конструкций, находящихся на стадии проектирования. По причине нарастающего износа основных фондов на передний план выходит также задача продления ресурса конструкций находящихся в процессе эксплуатации. Решение указанных проблем возможно лишь на базе надежных методов обоснования и оценки ресурса конструкций, как на этапе проектирования, так и в процессе эксплуатации. Особенно актуальна эта задача для таких сложных и потенциально опасных
объектов, как магистральные трубопроводы, объекты энергетического и химического машиностроения. В сфере строительства также существуют классы конструкций, находящихся в жестких эксплуатационных условиях, к которым традиционно относят подкрановые балки, работающие под внутренним давлением резервуары и ряд других категорий конструкций. Как правило, эксплуатационные условия работы таких объектов характеризуются многопараметрическими нестационарными воздействиями, приводящими к развитию различных механизмов деградации начальных прочностных свойств конструктивных элементов.
Прочностные свойства конструкционных материалов непосредственно зависят от характера и количества, присутствующих в них дефектов, наличие которых не только в эксплуатируемых, но и в новых конструкциях, сегодня является общепризнанным фактом. В процессе эксплуатации начальные дефекты развиваются, что приводит к общей деградации и, в конечном счете, к возникновению предельного состояния и разрушению конструкции, причем очевидно, что ресурс непосредственно зависит от параметров процесса развития дефектов. Таким образом, определение остаточного или выработанного ресурса инженерного объекта возможно при условии, что состояние поврежденности конструкции в процессе эксплуатации может тем или иным способом оцениваться.
Применяемые по настоящее время при проектировании конструкций и аппаратов новой техники нормативные методы расчета [191, 230, 213] в явной или завуалированной форме построены на концепции условно-упругого расчета |/ с использованием фиксированного или зависящего от ряда параметров коэффициента запаса, который фактически дает оценку степени использования прочностных ресурсов материала. Такого рода неэффективен для расчетной оценки, состояния металла конструктивных элементов в процессе эксплуатации, поскольку вообще исключает возможность рассмотрения развития процессов во времени.
В настоящее время развивается несколько направлений решения проблемы оценки выработанного ресурса инженерных объектов в процессе их эксплуатации:
методы качественной оценки, основанные на диагностике текущего состояния конструкционного материала узлов физическими методами;
методы основанные на статистических зависимостях математической теории надежности;
методы, основанные на контроле изменения некоторых диагностических параметров объекта в процессе эксплуатации;
подходы, основанные на математическом моделировании на базе современных методов механики разрушения и механики поврежденной среды процессов поврежденности наиболее нагруженных зон, определяющих ресурс прочности объекта, с учетом их индивидуальных особенностей.
К методам определения выработанного ресурса путем оценки дефектов конструкций с использованием физических способов контроля относятся рентгеноскопический метод, спектрально-аккустическии метод и ряд других, суть которых заключается в отслеживании косвенных эффектов, связанных с достигнутым уровнем повреждений.
Можно отметить некоторые существенные органические недостатки, присущие данному классу методов контроля:
ряд технологий включает в себя производственные циклы, в течение которых доступ к исследуемому объекту невозможен или крайне затруднен, в результате чего постоянное во времени осуществление контроля становится невозможным;
получаемые результаты позволяют судить о текущем состоянии объекта, однако не дают возможности осуществить экстраполяцию развития процесса, делая возможной лишь качественную оценку перспективы эксплуатации.
На протяжении жизненного цикла конструкции ее остаточная прочность монотонно уменьшается. По уровню остаточной прочности условно можно выделить [27] три стадии жизненного цикла (рисЛ), на первой из которых разрушение невозможно, на второй — вероятно и на третьей — неизбежно. Монотонность уменьшения остаточной прочности конструкции может быть прервана проведением восстановительных и ремонтных работ. Для определения того, на какой стадии своего жизненного цикла находится конструкция, и для назначения сроков проведения ремонтных работ через определенные промежутки времени должны производиться освидетельствования конструкции, основанные на упомянутых выше физических методах контроля. В свою очередь, для назначения оптимальных сроков планового контроля необходим прогноз состояния конструкции на достаточно длительный период времени, позволяющий гарантировать, что на данном отрезке времени предельное состояние еще не будет достигнуто. Экстраполяция же состояния конструкции затрудняется тем фактом, что деградация ее прочностных свойств происходит в результате одновременного протекания ряда взаимодействующих между собой физических процессов, таких как коррозия, усталость, ползучесть и так далее, каждый из которых может привести к отказу в результате достижения предельного состояния. Тем не менее, очевидно, что даже при использовании физического контроля необходимо применение методик, позволяющих осуществлять прогноз состояния конструкции.
Методы, используемые для прогноза в математической теории надежности, в основном, носят статистический характер. Применение статистических методов прогнозирования надежности и ресурса объектов производится в тех случаях, когда по исследуемому объекту нет ретроспективных данных об изменении параметров, определяющих его техническое состояние. Оценка остаточного ресурса и вероятности безотказной работы статистическими методами производится на основе статистической обработки информации об отказах и
ресурсах аналогов исследуемого объекта, эксплуатирующихся в одинаковых условиях.
Существует целый класс ответственных объектов, отказы которых недопустимы. Главным условием безопасности в этом случае является гарантированное прогнозирование технического состояния конструкции на предстоящий период эксплуатации. Уникальность опыта эксплуатации таких конструкций делает невозможным применение статистических методов по причине отсутствия необходимой статистической базы. В этих случаях необходимо применение методов индивидуального прогнозирования долговечности объектов.
Методы индивидуального прогнозирования долговечности применяются также для уникальных объектов, для которых не существует достоверной статистической информации, поскольку накопление такой информации либо невозможно, либо слишком дорого.
Методы индивидуального прогнозирования основаны на наблюдении параметров, определяющих техническое состояние оборудования, установлении закономерностей изменения этих параметров и определении периода возможной эксплуатации, в течении которого эти параметры не выйдут за установленные допусковые границы с заданной точностью.
Индивидуальное прогнозирование может быть выполнено, если имеется модель прогнозируемого процесса. Обычно различают два, в общем взаимосвязанных, подхода к построению моделей.
При первом подходе, который можно назвать параметрическим, действующий объект рассматривается как «черный ящик» и для математического моделирования используется экспериментальная и эксплуатационная информация, получаемая на основе наблюдения за реальным объектом. В процессе эксплуатации объекта контролируется ряд параметров, которые можно разделить на две группы: входные (независимые от объекта), определяемые внешними условиями эксплуатации, и выходные, которые можно интерпретировать как
трансформацию входных в результате воздействия объекта. Основная задача при построении модели — установить связь между выходными параметрами и соответствующей группой входных параметров. В процессе эксплуатации может наблюдаться постепеннре расхождение между измеряемыми и восстанавливаемыми по моделям выходными параметрами. Если модель адекватна объекту, эти расхождения можно считать обусловленными процессами деградации объекта. Контроль над объектом в процессе эксплуатации заключается в наблюдении за поведением (трендом) разностей (диагностических параметров) между наблюдаемыми и расчетными, полученными с использованием эталонных моделей, значениями выходных параметров, когда в качестве аргументов берутся текущие значения входных параметров. Возникновение предельного состояния диагностируется по факту выхода какого-либо диагностического параметра за доверительные интервалы прогноза. Экстраполяция величин диагностических параметров до предельных значений позволяет оценить остаточный ресурс объекта. Основным недостатком такого подхода является тот факт, что для уверенной экстраполяции поведения объекта необходима информация о его поведении в течение достаточно длительного эксплуатационного периода, которая используется для определения нормы вариации (поля допусков) выходных параметров и разработки эталонных моделей, описывающих связи выходных параметров с входными.
Стремление преодолеть перечисленные выше недостатки, подкрепленное бурным развитием вычислительной техники, послужило побудительным мотивом к началу развития методик, основанных на математическом моделировании реальных физических процессов развития поврежденности с использованием современных методов механики разрушения и механики поврежденной среды с учетом индивидуальных свойств объектов.
Исчерпание ресурса конкретного инженерного объекта зависит от условий его эксплуатации и определяется совместным протеканием и взаимодейст-
виєм множества физических и химических [95] процессов. Для инженерных объектов, работающих в условиях нестационарного термического и силового нагружения, основными доминирующими механизмами, определяющими ресурс конструктивных узлов, можно считать следующие:
усталость, которая подразделяется в свою очередь на
многоцикловую усталость (МнЦУ) и малоцикловую усталость (МЦУ);
нестационарная ползучесть.
Накопление повреждений, сопровождающее каждый из перечисленных выше физико-механических процессов, представляет собой последовательность очень сложных с физической точки зрения преобразований начальной структуры материала, включающих зарождение, развитие и взаимодействие различных дефектов кристаллической решетки, и взаимодействие структурных составляющих повреждения различного уровня. Необратимые структурные изменения, происходящие по каждому из указанных механизмов нелинейны, имеют различный характер, и протекают с различной скоростью (рис. 2). Каждый из этих процессов сильно зависит от истории деформирования и температуры и, развиваясь отдельно от других, приводит к возникновению предельного состояния. При совместном или последовательном их протекании имеет место взаимодействие процессов повреждения, что существенно влияет на скорость и характер развития повреждений. Лишь незначительная часть этих процессов вызывает видимые или обнаруживаемые повреждения, — значительная часть процессов деградации объема конструкционного материала происходит скрытно.
Таким образом, для успешного моделирования процессов деградации материала необходимо выявление основных закономерностей процессов накопления повреждений, происходящих вследствие того или иного физико-механического процесса, и закономерностей взаимодействия процессов накоп-
ления повреждений, для чего, в свою очередь, необходимо адекватное моделирование всех существенных с точки зрения развития повреждений эффектов процесса термовязкоупругопластического деформирования материала.
В силу возникающих при таком подходе трудностей существующие инженерные методики оценки ресурса, рассматривающие механизмы МнЦУ, МЦУ и ползучести, как правило [95], базируются на ряде упрощающих положений:
представлении истории нагружения в виде некоторого квазиодномерного нестационарного процесса, задаваемого амплитудными значениями эквивалентных величин (напряжений, деформаций),
использовании в качестве эквивалентных напряжений или деформаций ин-тенсивностей соответствующих тензоров,
использовании различных методик приведения реального нестационарного процесса деформирования к симметричному блочному процессу,
использовании правил линейного суммирования повреждений,
измерении степени поврежденности относительным количеством циклов в случае при усталости, или относительным временем в случае длительной прочности,
Исследования формы поверхности текучести и закономерностей ее эволюции
Анализ экспериментальных исследований закономерностей повторного и циклического деформирования [182, 197, 240, 252, 257, 349, 374] при лучевых путях нагружения (растяжение-сжатие, знакопеременное кручение) позволяет сделать следующие выводы: При повторном нагружении с обратным знаком предел текучести уменьшается (эффект Баушингера) (рис. 1.1.3.1 [93]); Эффект Баушингера зависит от вида напряженного состояния и величины предварительной пластической деформации; Эффект Баушингера присущ как монокристаллам, так и поликристаллам, Для многих металлов и сплавов мера эффекта Баушингера [182, 240] вначале уменьшается до «порога насыщения», а затем остается постоянной, либо несколько возрастает [240]. При рассмотрении циклических гистерезисных кривых выделяются две стадии процесса циклического пластического деформирования [257, 349]: переходная стадия, в течение которой происходит изменение реакции материала и для каждого цикла проходится новая петля гистерезиса, а также установившийся режим, при котором изменения петли отсутствуют или столь малы, что их можно измерить только после большого числа циклов. Установившийся режим может достигаться асимптотически (циклически стабильные материалы), либо вообще не достигаться (циклически нестабильные материалы). Следует отметить, что один и тот же материал в зависимости от режима и характеристик циклического нагружения может проявлять себя как циклически упрочняемый (рис. 1.1.3.2 [194]), циклически раз-упрочняемый или циклически стабильный. Форма кривой циклического деформирования в относительных координатах, начало которых совпадает с точкой начала разгрузки, не зависит от степени исходной деформации и определяется номером полуцикла, что приводит к выводу о существовании единой обобщенной диаграммы циклического деформирования [257]. Изменение амплитуды деформирования, выполненное по достижении стабильного циклического состояния, вновь инициирует переходную стадию циклического деформирования, на которой гистерезисная петля вновь начинает изменяться, стабилизируясь с параметрами, соответствующими новой амплитуде деформаций. При жестком несимметричном циклическом деформировании, наблюдается циклическое уменьшение практически до нуля среднего напряжения цикла. При мягком несимметричном нагружении тот же, по видимому, эффект проявляется как постепенно затухающее «вышагивание» гистерезисной петли по деформациям, известное в литературе как «циклическая ползучесть». На рис. 1.1.3.3 [95] изображена программа нагружения, при которой релаксация среднего напряжения цикла и циклическая ползучесть проявляются совместно. Изучение формы поверхности текучести и ее эволюции Выполнено значительное количество работ, направленных на исследование формы начальной поверхности текучести и ее трансформации в процессе пластического деформирования [120, 127, 245, 265, 267, 271, 275, 313, 372, 394, 415, 420]. Было установлено, в частности, что начальная поверхность текучести смещается в направлении предварительной пластической деформации и достаточно сложным образом изменяет свою форму (рис. 1.1.4.1). Сформулируем основные качественные результаты этих исследований: Условие текучести является функцией только местного НДС и не зависит от распределения напряжений в окрестности рассматриваемой точки; При определении начальной формы поверхности текучести проверялись обычно гипотезы Губера - Мизеса и Треска - Сен-Венана, обе дающие хорошие результаты, однако условие Губера - Мизеса, которое проверялось многократно, обычно обеспечивало несколько лучшее совпадение. Поверхность Мизеса, как известно, в девиаторном пространстве напряжений представляет собой гиперсферу с центром в начале системы координат, радиус которой зависит от температуры [394]; Последующие поверхности текучести, оставаясь выпуклыми, имеют достаточно сложную форму [372, 394, 415]. В районе точки нагружения поверхность текучести имеет закругленную вершину. Часть поверхности текучести, противоположная точке нагружения, сплющивается. Конфигурация мгновенной поверхности текучести является функционалом процесса деформирования материала. Свойства этого функционала изучены слабо. Одновременно с изменением формы поверхности текучести наблюдается ее смещение в направлении деформирования (кинематическое упрочнение) и изменение размеров упругой зоны (изотропное упрочнение) [419]. Исследования закономерностей трансформации поверхности текучести и при простом и при сложном нагружении продемонстрировали, что эффект Баушин-гера носит пространственный характер. Влияние допуска при определении положения поверхности текучести сильнее сказывается на противоположной от точки нагружения стороне поверхности. В окрестности точки нагружения допуск мало влияет на получаемые результаты [415]. Экспериментальные исследования градиентальности вектора приращения пластической деформации Д к поверхности текучести в точке нагружения показывают [120, 267, 313, 372], что для траекторий нагружения малой и средней кривизны наблюдается удовлетворительное соответствие между на 48 правлением нормали к поверхности текучести в точке нагружения и направлением вектора приращения пластической деформации. Для траекторий в виде двухзвенных ломаных наблюдается некоторая общая тенденция: чем больше угол излома траектории деформаций, тем больше отклонение Д от нормали к текущей поверхности текучести. Одновременно отмечается [172], что величина отклонения зависит от величины Д : отклонение вектора от нормали возрастает, когда приращение пластической деформации стремится к нулю.
Определение скоростей параметров упруговязкопластического напряженно-деформированного состояния
Экспериментальные исследования разрушения при усталости и ползучести направлены на исследование циклических свойств материала, влияния многопараметричности нагружения, истории деформирования и температуры, формы цикла, сдвига фаз механического и температурного циклов, взаимного влияния процессов усталости и ползучести, а также на изучение характера суммирования повреждений при изменении режимов нагружения и вида НДС. Основные экспериментальные данные по усталости, как по МнЦУ так и по МЦУ, получены при реализации одноосного напряженного состояния и нормальной температуре и представлены в работах [1,10, 37,45,47, 69, 260, 266]. Описанные в них эксперименты заключались в проведении стандартных и многоступенчатых (при двух, трех и пяти значениях амплитуд деформаций) испытаниях на усталость различных марок сталей. По результатам испытаний можно сделать некоторое обобщение:
При уменьшении амплитуды напряжений увеличивается число циклов, необходимых для разрушения материала, причем зависимость между амплитудой и числом циклов до разрушения носит нелинейный характер. Типичный вид кривой малоцикловой усталости приведен на рис. 1.3.1.1. Аналогичный вид имеет кривая МЦУ при жестком нагружении с заданной амплитудой деформаций.
Для ряда основных конструкционных материалов существует предел усталости - значение амплитуды напряжений, ниже которого не удается достичь числа циклов, необходимого для разрушения материала. Отличное от нуля среднее напряжение цикла существенным образом влияет на циклическую прочность, причем характер этого влияния изменяется в зависимости от амплитуды напряжения (рис. 1.3.1.2). При ступенчатом нагружении наблюдается отклонение от линейного правила суммирования повреждений (рис. 1.3.1.3), если выражать их в виде относительной доли циклов, причем пределы отклонения могут быть весьма существенны: 0.25 Х iM/iVy где п - число блоков с различной амплитудой деформаций, ДГ- число циклов при і-й амплитуде, _/у - критическое число циклов при і-й амплитуде. При ступенчато увеличивающейся амплитуде деформаций XuV//iV J 1- Ри ступенчато уменьшающейся амплитуде соответст вующая сумма меньше единицы. При увеличении числа блоков отклонение от правила линейного суммирования уменьшается. Особым случаем малоцикловой усталости материалов является нагруже-ние, при котором циклическое деформирование и разрушение является следствием совместного изменения нагрузок и температуры - термомеханическая усталость (ТМУ). Эксперименты по ТМУ имеют ряд специфических особенностей: наличие существенной локализации пластических деформаций в наиболее нагретой части образца, интенсивного формоизменения, проявляющегося из-за нестационарности процесса нагрева и процесса неравномерного пластического деформирования разных зон образца в связи с наличием продольного градиента температур. Эти эффекты вызывают значительные трудности при расшифровке действительной картины процесса деформирования и вносят существенные погрешности в оценку сопротивления термомеханической усталости. Экспериментальные исследования по ТМУ представлены в работах [51, 56, 61, 81, 82, 227, 320, 350, 424]. В этих работах отмечается, что долговечность при неизотермической малоцикловой усталости в значительной степени определяется фазой цикла нагружения и нагрева, диапазоном изменения температур, скоростью нагружения. Влияние указанных факторов зависит от вида НДС и является неодинаковым, например, при одноосном растяжении-сжатии и циклическом кручении [350].
Зависимость долговечности материала от длительности цикла на фоне повышенных постоянных или меняющихся температур обусловлена развивающимися деформациями ползучести и вызванными этими деформациями повреждениями. Наиболее распространенным методом исследования длительной прочности является, как указывалось выше, построение экспериментальной кривой Q-U(t) до t = tp, где tp- время до разрушения, при постоянной температуре.
Три стадии ползучести являются проявлением на макроуровне микроструктурных изменений в материале. Начало третьего участка ползучести есть граница влияния накопленных повреждений на деформационные характеристики. Существует связь процессов деформирования и накопленными повреждениями материала, а именно: на всех стадиях ползучести существует линейная связь между объемной долей пор материала и деформацией ползучести, а на третьем участке ползучести наблюдается прямо пропорциональная связь между приростом объемной доли пор и увеличением скорости ползучести. Разделить процессы деформирования и накопления повреждений на ведомый и ведущий не представляется возможным: эти процессы взаимосвязаны и влияют друг на друга. Исследования ползучести при ступенчато изменяющемся уровне напряжений показали отклонения от линейного правила суммирования повреждений, если оценивать их по относительному времени, то есть в общем случае S /yJ 1 аналогично тому, как это имеет место в случае процессов усталости.
Пакет программ для анализа процессов деформирования узлов и элементов конструкций
В настоящее время интенсивно развиваются два широких класса методов решения краевых задач, известных как «метод конечных элементов» (МКЭ) и «метод граничных элементов» (МГЭ). Работы по каждому из этих направлений практически необозримы, однако, в каждом конкретном случае можно оценить рациональность применения той или иной модификации методов, исходя из некоторых присущих им особенностей.
МГЭ [9, 25, 241] базируется на понятии фундаментального решения краевой задачи, которое соответствует дельта-функции Дирака. При этом конечные элементы используются для аппроксимации границ области, а аппарат классических интегральных уравнений применяется для внутренней части области. Матрица системы уравнений, к решению которой сводятся исходные уравнения задачи, обычно является полностью заполненной и несимметричной. Применение метода приводит к значительным сложностям в случае физической нелинейности, а также в случае неоднородности и анизотропии материала.
В силу этих и ряда других причин общепринятым для решения физически нелинейных задач является МКЭ [3, 21, 42, 65, 66, 172, 181, 192, 206, 207, 218, 219, 236, 325, 326, 387, 395, 399, 411, 429], процедура которого в значительной степени индифферентна как в отношении геометрии области, так и характера физических свойств материала. Уравнения МКЭ формулируются обычно на основе классических вариационных принципов [35].
Применение МКЭ к решению нелинейных задач приводит к разрешающей системе уравнений, матрица которой содержит члены нелинейные относительно основных переменных, что не позволяет получить решение в замкнутом виде, подобно тому, как это делается в случае решения линейных систем. Обычно для преодоления трудностей такого рода применяется пошаговая процедура, в ходе которой определяются конечные приращения параметров состояния тела на последовательных конечных интервалах времени, причем с целью учета физической нелинейности на каждом приращении времени (или другого параметра нагружения) применяется какая-либо итерационная процедура. Разработке процедур последовательных приближений для учета физической (и геометрической) нелинейности посвящено множество работ [3, 17, 42, 65, 66, 315,326,387,399,429].
Прямой метод последовательных приближений, предложенный в [17], при котором матрица жесткости на каждой итерации определяется через значения переменных, полученных на предыдущей итерации, очень прост в реализации, однако слабо сходится при сильной нелинейности, а в ряде случаев становится расходящимся.
Предложенный в [70] «метод упругих решений» основан на выделении из матрицы жесткости системы ее упругой составляющей и учете нелинейной составляющей в виде дополнительных, распределенных по объему, фиктивных нагрузок. Он менее трудоемок, чем метод последовательных приближений, однако число необходимых приближений сильно зависит от точности начального приближения. Процедура плохо сходится при большой разнице между линейным и нелинейным решениями, в частности при значительных пластических деформациях, возникающих в конструкциях, например, при наличии проникающих зон пластического деформирования. В ряде специфических случаев [206] итерационный процесс может становиться осциллирующим.
При медленной сходимости других методов может быть использована процедура Ньютона-Рафсона [237], которая резко уменьшает число итераций. Недостатком этого метода является необходимость уточнения и обращения матрицы жесткости на каждой итерации. Хотя процедурно все перечисленные методы различны, их объединяет общее стремление ликвидировать на шаге нагружения невязку, которая служит оценкой отклонения положения системы от ее действительного равновесного состояния.
Другой возможный подход к решению физически нелинейных задач заключается в том, чтобы изначально формулировать краевую задачу в скоростях. При заданных начальных условиях (начальном состоянии тела) получаемые из решения краевой задачи скорости параметров НДС конструкции могут быть проинтегрированы по времени с помощью любого из методов решения задачи Копій [98]: Рунге-Кутта, Адамса и т.п. Привлекательность такого подхода заключается, прежде всего, в отсутствии итераций. В то же время, в процессе интегрирования накапливается ошибка, которая приводит к «дрейфу» расчетного состояния в сторону от точного равновесного решения. Кроме того, все известные правила интегрирования задачи Коши исходят из предположения той или иной степени гладкости интегрируемых функций. При интегрировании упруго пластического состояния, описываемого с использованием поверхности текучести, этот постулат нарушается. Точки рассматриваемой области переходят в пластическое состояние в различные моменты времени, и при таком переходе происходит дополнительная потеря точности. Определение величины накопленной ошибки и ее устранение могут выполняться различными способами, однако все они приводят к необходимости проведения дополнительных вычислений, количество которых сопоставимо с основными вычислительными затратами. В случае эффективного преодоления такого рода трудностей указанный подход может оказаться конкурентоспособным с традиционными методами учета физической нелинейности, в особенности для задач с развитыми зонами пластических деформаций.
Оценка адекватности уравнений состояния для произвольных траекторий деформирования
Крайне важным фактором, влияющим на эффективность МКЭ, является выбор метода решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Основными критериями при этом до сих пор являются: объем вычислительных операций, требования к оперативной памяти, количество обменов с ВЗУ.
Численные методы решения СЛАУ распадаются на два больших класса: прямые и итерационные. Ответ на вопрос о том, какой из этих классов лучше, зависит от параметров конкретной задачи, способа представления данных, качества программирования и многих других факторов. Итерационные методы [242, 249] обычно несколько лучше с точки зрения требований к оперативной памяти, однако число итераций сильно зависит от характеристик матрицы системы. С другой стороны, на объем вычислительной работы при использовании прямых методов в огромной степени влияет топологическая структура сетки и характер упорядочения неизвестных. Авторы [59] утверждают, что «пока вопрос о том, какой класс методов следует использовать, не поставлен в очень узком и хорошо определенном контексте, ответ на него или слишком сложен, или вообще невозможен». Однако, отвлекаясь от частностей, можно сказать, что многие авторы [192, 214, 246] рекомендуют для задач небольших и средних размеров выбирать прямые методы, экономя на режимах хранения данных, а для больших задач рассматривать возможность применения итерационных методов. Выбор в пользу прямых методов также достаточно часто делается при решении задач с регулярной сеткой, которая позволяет эффективно организовать соответствующие алгоритмы.
В настоящее время метод Гаусса, метод LDLT факторизации, разложение Холесского и фронтальный метод являются наиболее разработанными и распространенными среди прямых методов, причем, последние три можно рассматривать [192, 411] как варианты метода исключения Гаусса. Следует отметить, что все эти три метода предпочтительнее метода Гаусса по вычислительным затратам. Интерес представляют также методы блочного исключения [172]. Однако, в силу того, что при разбиении на блоки матриц, имеющих присущую МКЭ ленточную структуру, в процесс вычислений вовлекается большее число нулевых коэффициентов, чем при обычном ленточном представлении, не видно каких-либо особых преимуществ блочных алгоритмов в случае нерегулярных сеток.
Алгоритмы Холесского и LDLT факторизации следует признать примерно равноценными, так как, несмотря на то, что процедура «тройного разложения» содержит несколько меньше операций, чем процедура Холесского [192], этот выигрыш может быть потерян вследствие особенностей представления данных. Например, в [44] отмечено, что метод LDLT факторизации не показал преимуществ по сравнению с методом Холесского при решении ряда тестовых задач.
Для задач МКЭ весомыми представляются преимущества фронтального метода. Алгоритм метода основан на том, что объединение элементных матриц жесткости в глобальную матрицу жесткости может выполняться поэтапно, в процессе решения системы уравнений, с вычислением и объединением по мере надобности лишь тех элементных матриц, которые необходимы для вычисления коэффициентов уравнений исключаемых в текущий момент времени. Формулировка метода, ориентированная на применение в конечноэлементных задачах [330] принадлежит Айронсу. В последующих работах [262, 325, 331, 370, 395] она была всесторонне исследована, доработана и расширена на разнообразные классы задач. При хранении элементных матриц жесткости (или их составляющих) на ВЗУ формирование матрицы жесткости конструкции, совмещенное во времени с процессом исключения неизвестных, позволяет вдвое сократить количество обменов с внешней памятью. Существенным достоинством метода является то, что нули матрицы коэффициентов не участвуют в процессе вычислений. Для задач с регулярной сеткой может быть использована блочная формулировка метода [369].
Исследователями предложено [59, 203] множество методов, использующих сложные схемы хранения и упорядочения неизвестных, с тем, чтобы извлечь максимальную выгоду из сильной разреженности конечноэлементных матриц. В том числе предложены фронтальный метод [337] и разложение Хо-лесского [59] для разреженных матриц. В этих публикациях отмечается, что обычно достигается выигрыш в общей стоимости решения для больших задач. Для небольших систем такие алгоритмы, как правило, не дают преимуществ, поскольку обслуживающие их процедуры требуют значительной памяти и вычислений.
