Введение к работе
Актуальность темы. Дискретные динамические системы играют важную роль в различных разделах прикладной математики. Они описывают системы управления и являются генераторами хаотической динамики.
В диссертации рассматриваются дискретные динамические системы с хаотическим поведением, для которых решаются задачи оценки периодов циклов. Эти оценки применяются к классическим одномерным системам и системам фазовой синхронизации, которые играют важную роль в радиотехнике и компьютерной архитектуре.
Цель работы
Получение оценок периодов колебаний дискретных систем, имеющих хаотическое по Ли и Йорке поведение, и их применение для систем управления и синхронизации.
Применение и развитие методик Е.Д. Гарбера, Ю.Н. Бакаева, А.А. Гужа, ГА. Леонова, В.Б. Смирновой и Л.С. Сперанской для дискретных систем.
Методы исследования. В работе применялись частотные методы исследования нелинейных дискретных систем, использующие специальные свойства передаточных функций. Для конкретных двумерных систем использовались также численные методы локализации аттракторов.
Достоверность полученных результатов базируется на корректном использовании методов математического и функционального анализа и численных методов. Полученные в ходе работы над диссертацией теоремы сравниваются с классическими результатами теории устойчивости.
Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.
Основные результаты.
Развит аппарат оценки существования циклов, являющийся прямым аналогом частотного аппарата в теории устойчивости движения.
Получен полный дискретный аналог критерия Гарбера для систем со стационарной дифференцируемой нелинейностью. Получены аналитические оценки существования циклов в системах с развитой хаотической динамикой.
Получен критерий отсутствия циклов первого и второго рода в системах фазовой синхронизации. Получены аналитические оценки существования циклов в таких системах.
Практическая значимость. Разработанные критерии могут использоваться для анализа дискретных систем фазовой синхронизации.
Апробация результатов исследования. Основные результаты исследований по теме диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры, а также на следующих международных конференциях:
23rd IAR Workshop on Advanced Control and Diagnosis, 2008, Coventry, UK;
6th Vienna International Conference on Mathematical Modeling, 2009, Vienna, Austria;
3rd IEEE Multi-conference on Systems and Control MSC, 2009, Saint-Petersburg, Russia;
XI международная конференция "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(конференция Пятницкого), 2010, Москва, Россия.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 6 публикациях [1-6]. В совместных работах [1, 2, 5] соавтору Г.А. Леонову принадлежит постановка задачи, диссертанту - формулировка и доказательство теорем об отсутствии циклов фиксированного периода, а также численные расчеты. В совместных работах [3, 4] диссертанту целиком принадлежат части о циклах в дискретных системах.
Статьи [1] и [2] опубликованы в издании, входящем в перечень ВАК.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, приложения и списка литературы, содержащего 117 наименований. Текст диссертации изложен на 80 страницах и содержит 20 рисунков.
