Введение к работе
Актуальность проблемы. Дифференциальные системы, или распре-де тения, на гладких многообразиях естественно возникают во многих задачах теории оптимального управления Неголономные вариационные задачи встречаются в термодинамике, в квантовой теории, в механике и в других областях Известная в физике модель электромагнитных и гравитационных взаимодействий также содержит некоторое четырехмерное распределение Основой для описания этих взаимодействий является квантовая механика Однако неквантовые модели электромагнитных и гравитационных взаимодействий также дают много информации об этих взаимодействиях и могут быть использованы для дальнейшего развития квантовой теории В частности, математическая модель, построенная в настоящей работе с помощью методов теории оптимального управления позволяет дать хорошую геометрическую интерпретацию калибровочных преобразований Все математические модели природных и техногенных систем, в том числе и наиболее фундаментальных природных процессов, существенно углубляют наши знания и позволяют создавать новые системы на их основе Выдающиеся специалисты по теории оптимального управления, например, В Г Болтянский, создавали модели теории относительности, имеющие значение в физике Основой теории относительности является отношение причинности Отношение причинности на лорен-цевых многообразиях тщательно изучалось [2, 14] Абстрактное отношение причинности на многообразиях было впервые определено в работах Г Буземана [16] и Р И Пименова [10] Обобщение отношения причинности на неголономные распределения является чрезвычайно интересной и важной задачей В настоящей работе показано, что отношение причинности существует на иеголономных распределениях Однако ограничения в виде полей конусов важны не только в теории относительности, но и в других областях, например, в макроэкономике [4]
Цель диссертации. Настоящая работа посвящена построению геометрической модели гравитационных и электромагнитных взаимодействий При построении этой модели активно используются объекты из теории оптимального управления — векторные распределения алгебры Ли векторных полей Модель затрагивает актуальные проблемы оптимизации, в частности, сингулярное управление [9] и проблему гладкости решений
вариационной задачи Целью работы является также дальнейшее развитие теории многообразий кинематического типа РИ Пименова [10, 11]
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми
Основные результаты работы. Установлено, что уравнения движения заряженной частицы общей теории относительности явчяются уравнениями Эйлера - Лагранжа допустимых геодезических для некоторого четырехмерного распределения с лорспцевым скалярным произведением на пятимерном гладком многообразии Найдено достаточное условие гладкости допустимых геодезических для рассматриваемого распределения. Рассматриваемое распределение допускает построение инвариантной 4-формы объема Тензор кривизны распределения определяется при использовании скалярного произведения во всем касательном расслоении Условием стационарности полученного функционала действия являются классические уравнения Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля и уравнения Максвелла
Продолжено исследование отношения локального порядка (отношения причинности) на гладких многообразиях Установлено, что всякая конечномерная линейная кинематика допускает разложение в прямое произведение линейных пространств с евклидовой, антидискретной и дискретной топологией Предложено определение гладкого многообразия кинематического типа, позволяющее обобщить отношение причинности на торен-цевых многообразиях с ориентацией времени, и отношение причинности на полуримановых многообразиях РИ Пименова [10] В случае, когда конус будущего соответствующей линейной кинематики содержит прямые, необходимо рассматривать многообразие с ограниченной гладкой структурой Эта гладкая структура позволяет интерпретировать калибровочные преобразования как частный вид преобразований координат на многообразии
Научная и практическая ценность работы. Работа в основном имеет теоретический характер, но некоторые результаты могут быть использованы в теории относительности (в частности, в задаче о релятивистском коллапсе заряженной черной дыры), в теоретической физике и в неголономных задачах теории оптимального управления
Апробация работы. Результаты работы докладывались на научном
семинаре кафедры исследования операций СПбГУ (руководитель семинара д ф -м н , профессор Н Н Петров), на научном семинаре кафедры теоретической кибернетики СПбГУ (руководитель семинара член-корреспондент РАН, профессор В А Якубович) и на семинаре лаборатории геометрии ПОМИ РАН (руководитель семинара д ф -м н , профессор Ю Д Бураго)
Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы [5, 6,7 8]
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на 21 параграф, и списка литературы, содержащего 88 ссылок Объем диссертации составляет 138 страниц
