Введение к работе
Актуальность теш. Теория рационального гомотопического типа сформировалась в самостоятельную область алгебраической топологии благодаря основополагающим работам Сулливана и Квиллена [II, [ 2 ]. Теория Сулливана, которой посвящена настояная работа, представляется более простой и геометрически наглядной. Как известно, этот подход заключается в сопоставлении симшшциальному ют.шлексу ( многообразию Hn ) некоторой свободной дифференциальной алгебры над полек рациональных чисел, называемой минимальной моделью Сулливана , которая однозначно ( с точностью до изоморфизма ) определяет рациональный гомотопический тгп стшлициелъного комплекса ( многообразия Кп). Минимальная модель строится индуктивно по алгебре рациональных полиномиальных дифференциальных форм, форм, определенных на .какдом симплексе комплекса . (. триангуляции, многообразия ) таким-образом, что коэффициенты являются рациональными полиномами координат, с соответствующими условиями их "склейки" на пересечениях симплексов. Алгебра когокологпй таких форм изоморфна рациональным ютомологиям сшшпшиального комплекса ( многообразия ). Отметим, что с точки зрения классической алгебраической тополопш алгебра таких форм дает реиение проблемы
[ I ] Sullivan D. Infinitesimal computations in
topology // ІШ. Piibl. Hath. 1977, Y.47, .P. 269-331.
[ 2 ] Quillen. Rational Homotору Theory // Ann. оГ Hath. 90
(1969), P. 05-295 . ' -
- I -
коммутативных рациональных цепей для симплициальных комплексов.
Предложенная Сулливаном конструкция сразу ке привлекла внимание многих, исследователей.. Активно . .изучались вопроси, связанные как с внутренними проблемами этой теории так и с многочисленными приложениями : Делинь, Морган, Гриффите, Суллкван ( [ 3 ] ) доказали формальность кэлеровых многообразий: рациональный гомотопический тип этих многообразий полностью определяется кольцом их когомологий; Сулливан, Вигю-Пурье ([ 4 ]) вычислили минимальную модель пространства свободных петель одаосвязного топологического пространства х, что позволило км усилить теорему Громола-Майера о замкнутых геодезических ; Оказывается, что у многообразий есть лишь "два типа роста размерностей рациональных гомотопических групп: полиномиальный и экспоненциальный ( рационально эллиптические и рационально гиперболические многообразия ), в [ 5 ] используя это, Гроув и .Гальперин получили ряд результатов об инвариантных, относительно некоторой изокзгрии, геодезических на римановом многообразии.
Многочисленные исследования, посвященные, если . так кошта сказать, собственным проблемам. теории Сулливана, ее связям с
[ 3 ] Грийитс Ф., Делинь П., Морган Дк., Сулливан Д. Вещественная гомотопическая теория кэлеровых многообразий // УШ. 1984. Т. 39, ВЫП. 5., С. 97-106.
[ 4 ] Sullivan D., Tigue-Poirrier Ы. The homology theory of
closed, geodesic problem// Din. Geom., 11 v.4 (1976), 633-644 .
[ 5 J K.Grove,Halperin S., Contributions of rational homotopy
theory to global ргоЫепз in geometry, IHES. Publ. Math. 1982,
V-56, P..379-385.
подходом Квиллена, позволяют сегодия смотреть на разные эти подходы как на единую теорию рационального гомотопического типа. Остановимся на такой задаче аналитической теории, гсмотогшй,. как "проблела гомотопических периодов" : для односвязного многообразия ы с конечными числами Бзтти задать конечный v р список интегралов дифференциальных форм на и, задающих базис линейного пространства ( % ( м ) )*. Примером, послужившим для постановки такси задачи, является конечно ке форщш УаОтхеда для :швариавта Хопфа Ж f ) гладкого отображения ( : S3 —> S2:
И( t ) = J f* ( Ш ) л <г, где
J- ш = 1 , d^ = it* ( ш ) S2
Решения этой проблемы могут быть предложены, кук в ршгаах' теории Сулливана, так и при помощи итерированных интегралов Чена. Формулы Сулливана, все ке , представляются более естественными обобщениями формулы Уайтхеда, праЕда в подынтегральных выражениях стоят не обычные гладкие фор?ш, а формы весьма специального вида' - рациональные полиномиальные формы. Такие формулы мокно написать и при помощи гладких форм, по тогда придется , вообще говоря, отказаться от свойства целочисденности значений наших гомотопических интегралов.
С.П.Ноееков, заметав неэффективность конструкции в рациональном случае, предложи строить рациональную минимальную модель непосредственно по алгебре гладких форм многообразия, используя з качестве рациональней структуры лпшь целочисленный Оазис циклов многообразия [ 6 ], [ 7 ]. Процесс ( * ) такого
построения неоднозначен и может встречать, вообще говоря , препятствия. Поэтому возникли ( с 6 ] ) такие естественные задачи, которые и составили.цель работы.
Цель работы состоит в исследовании процесса построения моделей рационального гомотопического типа .по алгебре гладких форм многообразия; в каком случае он не встречает препятствий; описать с точностью до деформации морфизмы вложений минимальных моделей в алгебру гладких форм; доказать рациональность значений гомотопических интегралов типа формулы Уайтхеда для инварианта Хопфа, вычисленных при помощи таких влокений.
Метода исследований. В диссертации использувтся методы гомотопической топологии, теории спектральных последовательностей и гомологической алгебры.
Научная новизна . Все основные результаты диссертации являются новыми, и опубликованы в работах автора. Работа носит теоретический характер и может найти применение в алгебраической топологии,' 'тэЬрии 'гладких многообразий и' некоторых' вопросах "геометрии в целом ". Основные результаты диссертации следующие :
I. Доказано существование ( n + к )-ступенного влокення
минимальной модели рационального гомотопического типа л0
многообразия м". в алгебру вещественных гладких
дифференциальных форм А*( а11 к кк ) .
[ 6 з Новиков СП. Аналитическая теория гомотопий. Жесткость'
гомотопических интегралов // ДАН СССР. 1985. Т. 283, & 5
С.І088-І09І.
{ 7 ] Новиков СП. Аналитический обобщавши инвариант Хопфа.
Многозначные функционалы // УМН. 1984. Т. 39, вып. 5. С. 97-106.
2. Алгебра ла реализована как свободная подалгебра в
Л*( мп х кю ). Доказана рашюнальность гомотопических периодов
такой реализации. .
3. Построена спектральная последовательность для -вычисления
"ітространства модулей" классов гомотопии вложений л^, минимальной
модели вещественного гомотопического типа, в Л*( и" * кт ).
і. фін фзрмадьшх многообразий установлено взаимнооднозначное соответствие газщу классами гомотопии влсхений -^ и - в Л* ( Мп х R00 ), найдено достаточное условие продолжаемости эффективного процесса реализации -лв в алгебре Л*( Кп х к00 )
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической топологии под руководством М.М.Постникова в Московском государственном университете, ка конференции " Александровские чтения" ( г.Москва, 1990 г.), на международной конференции по топологии ( г.Москва, МГУ, 1990 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [ I ], [ 2 ], приведенных в конце автореферата. Все работы Енполнены без соавторов.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых в общей сложности на 10 параграфов, а также из списка цитированной литературы. Формулы, теорема и прочее нумеруются в каждой главе отдельно, при ссылках на утверждения к формулы других глав впереди доОзвляется соответствуащий номер главы. Общий объем диссертации 59 страниц. Библиография содержит 32 наименования.
