Введение к работе
Актуальность темы. К настоящему времени оформились основные подходы к численному решению задач оптимального управления в обыкновенных динамических системах. Существенный прогресс в теории вычислительных методов связан, в первую очередь, с классическими задачами со свободным правым концом, которые являются приемлемой моделью для демонстрации и реализации различных идей и принципов построения итерационных процедур.
Разнообразие методов определяется характером используемых аппроксимаций функционала (игольчатая, фазовая, слабая вариации первого и второго порядков) и типом варьирования управлений (игольчатое, слабое, смешанное, внутреннее).
В задачах оптимального управления вычислительные методы по своему потенциалу позволяют, вообще говоря, находить допустимые управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности (экстремальные процессы в смысле принципа максимума и его следствий). В этой ситуации благоприятно выделяются выпуклые задачи, в которых принцип максимума является достаточным условием оптимальности, и методы вырабатывают минимизирующие последовательности управлений. Проблема поиска экстремальных режимов в невыпуклых задачах имеет вполне удовлетворительное обеспечение. В этой области определились разнообразные подходы и разработаны достаточно эффективные методы, систематичное изложение которых проведено, например, в недавнем обзоре 1.
В последнее время заметно повысилась актуальность исследований, связанных с глобальным решением определенных классов невыпуклых задач, в которых принцип максимума выделяет экстремальные управления, подозрительные на оптимальность. На пути отыскания оптимальных процессов в таких обстоятельствах естественно возникает ключевая проблема улучшения экстремальных управлений (по значению целевого функционала) на основе дополняющих принцип максимума условий оптимальности, которые порождаются спецификой рассматриваемых задач.
Диссертационная работа выполнена в рамках указанной проблематики с ориентацией па следующие задачи оптимального управления:
основная задача с линейной зависимостью от управления, которое ограничено с помощью выпуклого компактного множества;
задача на максимум нормы конечного состояния относительно линейной системы с параллелепинедными ограничениями на управление и связанная с ней задача d.c.-оптимизации.
1Аргуч(«щев А.В., Дыхта В.А., Срочко В.А. Оптимальное управление: нелокальные условия, вычислительные методы и вариационный принцип максимума // Изв. вузов. Математика. 2009. У 1. С. 3-43
Цель диссертационной работы - построение и обоснование методов локального и нелокального улучшения экстремальных процессов в определенных классах невыпуклых задач оптимального управления.
Методика исследования -
конструктивный анализ билинейных аппроксимаций фазовой системы и целевого функционала в плане построения вспомогательных задач улучшения;
реализация условий оптимальности экстремальных управлений в невыпуклых задачах с помощью методов нелокального характера.
Научная новизна полученных результатов определяется следующими факторами:
работа с неклассическими билинейными аппроксимациями в основной задаче оптимального управления в рамках вспомогательных задач с параметром варьирования;
технология улучшения экстремальных управлений с особыми участками;
конструктивное использование дифференциальных свойств функции максимума для построения метода улучшения неособых экстремальных точек;
разработка критерия оптимальности в задаче максимизации нормы на основе операции проецирования;
выделение класса задач относительно билинейных систем специальной структуры со свойством оптимальности экстремальных управлений.
Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанные методы и полученные условия оптимальности вносят определенный вклад в теорию и повышают качество вычислительного обеспечения многоэкстрсмальных задач оптимального управления. Результаты численной реализации открывают возможность использования предлагаемых алгоритмов для решения прикладных задач рассматриваемого типа.
Значительная часть диссертационного исследования проведена в рамках научной работы по грантам РФФИ (проекты 05-01-00187 и 08-01-00709) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 г.г. и включена в соответствующие отчеты.
Некоторые результаты диссертации используются в учебном процессе кафедры вычислительной математики и механики ИГУ (курсовые и дипломные работы, дисциплины специализации).
Основные результаты, выносимые на защиту:
метод фазовой линеаризации с билинейной системой, обладающий свойством улучшения неэкстремальных управлений; метод квадратичной аппроксимации со свойством улучшения особых экстремальных управлений, не удовлетворяющих условию оптимальности второт'О порядка;
процедура улучшения особых экстремальных точек, метод скорейшего подъема для функции максимума на эллипсоиде со свойством сходимости по невязке экстремальности;
критерий оптимальности экстремальных точек на основе квадратичной вспомогательной задачи; достаточное условие глобального максимума в задаче d.c.-оптимизации с полной линеаризацией целевой функции.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных собраниях:
III международной конференции по проблемам управления (Москва, 2006);
III межвузовской зональной конференции, посвященной памяти профессора Б.А. Бельтюкова, «Математика и проблемы ее преподавания в вузе» (Иркутск, 2007);
V Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2008);
XIV Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск-Северобайкальск, 2008);
Международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященной 100-летию со дня рождения Л.С. Понт-рягина (Москва, 2008);
Всероссийской конференции «Устойчивость и процессы управления», посвященной 80-летию со дня рождения В.И. Зубова (Санкт-Петербург, 2010);
V Международном симпозиуме «Обобщенные постановки и решения задач управления» (Улан-Батор, 2010);
XV Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, 2011).
Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 14 работ. Наиболее значимые результаты представлены в работах [1-13]. В число указанных работ входят 6 статей [1-6] из Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ (редакция 2011 г.), 2 статьи [8, 10] в научных журналах, 5 полных текстов докладов [7, 9, 11-13] в материалах международных и всероссийских конференций.
Результаты, представленные в совместных публикациях с научным руководителем, являются неделимыми. Из совместных работ с Антони-ком В.Г. и Ушаковой С.Н. в диссертацию включены результаты, полученные автором лично.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 118 наименований. Общий объем диссертации составляет 108 страниц, включая 12 таблиц.
