Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор литературы и постановка задачи исследования 14
1.1. Характеристики ЗПГТ и ее главные составляющие 14
1.2. Физические факторы, определяющие технологические режимы ЗПГТ 18
1.3. Особенности ЗПГТ при использовании дискретных зон расплава 22
1.4. Компьютерные модели роста кристаллов 28
1.4.1. Классическая и обобщенная постановки задачи Стефана. 29
1.4.2. Моделирование процессов роста кристаллов 31
1.4.3. Модели общеростового характера 32
1.4.4. Модели процесса ЗПГТ 36
1.5. Постановка задачи исследования 40
1.6. Выводы 43
ГЛАВА 2. Разработка физико-математической модели процесса перекристаллизации дискретной жидкой зоной, мигрирующей в поле температурного градиента
2.1. Основные предпосылки построения физико-математической модели процесса ЗПГТ 44
2.2. Физико-математическая модель процесса ЗПГТ 49
2.3. Переход к новым переменным 55
2.4. Учет механизмов роста 57
2.5. Учет кривизны локальных участков границы фаз 60
2.6. Учет анизотропии кристалла 61
2.7. Влияние поверхностной диффузии 65
2.8. Возможности разработанной физико-математической модели ЗПГТ 66
2.9. Выводы 70
ГЛАВА 3. Описание численной модели ЗПГТ 72
3.1. Обоснование метода решения 72
3.2. Общая схема моделирования процесса ЗПГТ 74
3.3. Разностная аппроксимация производных 75
3.4. Построение узлов конечно-разностной сетки 78
3.5. Построение конечно - разностной схемы задачи теплопроводности 84
3.5.1. Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности 85
3.5.2. Разностная аппроксимация граничных условий внешней границы кристалла 90
3.5.3. Построение разностного шаблона тепловой задачи на границе кристалл-включение 91
3.6. Построение конечно - разностной схемы для концентрационной задачи 95
3.7. Решение систем линейных алгебраических уравнений 98
3.8. Применение конечно-разностной схемы для расчета теплового поля 100
3.9. Применение конечно-разностной схемы для расчета концентрационного поля 103
3.10. Программная реализация физико-математической модели ЗПГТ 104
3.11. Выводы 109
ГЛАВА 4. Исследование ЗПГТ с помощью численного эксперимента
4.1. Тестирование и оценка погрешности решения задачи 111
4.2. Исследование зависимости скорости движения линейной зоны от ее диаметра 113
4.3. Исследование характера деформации сечения линейной зоны от соотношения коэффициентов теплопроводности 117
4.4. Эволюция формы жидкого включения при доминирующей роли процессов растворения или кристаллизации 119
4.5. Исследование влияния анизотропии процессов растворения и кристаллизации на форму включения 128
4.6. Влияние поверхностной диффузии на скорость движения линейной зоны 138
4.7. Изучение влияния кривизны межфазной границы на процесс установления равновесной формы жидкого включения 142
4.8. Исследование взаимного влияния линейных зон при их термомиграции в кристалле 144
4.9. Выводы 148
ГЛАВА 5. Прикладные вопросы 150
5.1. Применение разработанной модели для оптимизации процесса ЗПГТ при формировании полупроводниковых структур... 150
5.2. Возможности модели ЗПГТ для физико-химических исследований 153
5.3. Оптимизация технологического оборудования 156
5.4. Применение физико-математической модели в учебном процессе 158
5.5. Пути дальнейшего развития модели ЗПГТ 161
5.6. Выводы 162
Основные результаты и выводы 163
Список использованной литературы 167
Приложения 185
Приложение 1 185
- Особенности ЗПГТ при использовании дискретных зон расплава
- Возможности разработанной физико-математической модели ЗПГТ
- Построение разностного шаблона тепловой задачи на границе кристалл-включение
- Эволюция формы жидкого включения при доминирующей роли процессов растворения или кристаллизации
Особенности ЗПГТ при использовании дискретных зон расплава
Как уже сообщалось (см. п. 1.1), ЗПГТ на основе локальных зон по сравнению с плоскими сопровождается дополнительными процессами. К ним следует отнести: поверхностную диффузию атомов вдоль межфазной границы; эффекты, связанные с влиянием кривизны межфазной поверхности на равновесную концентрацию раствора в расплаве жидкой зоны; изменение соотношения градиентов температуры в жидкой и твердой фазах; изменение траектории движения зоны, а также ее формы за счет проявления анизотропии скоростей растворения или кристаллизации. Проведем анализ результатов по влиянию описанных выше явлений на кинетику и стабильность линейных и точечных зон расплава при ЗПГТ.
Экспериментально стабильность движения дискретных зон при 3111 "Г изучена в работах [1, 3, 28 - 36]. Влияние анизотропии кристалла на форму жидкого включения рассмотрено в работе [25]. Изучены стационарные формы первоначально дисковой (диаметром 0,3 мм) - часто называемой точечной - алюминиевой зоны, мигрирующей в кремнии в различных направлениях. Форма такой зоны изменялась за счет анизотропии скоростей растворения - проявления плоскостей с максимальной ретикулярной плотностью. Точечная зона расплава после прохождения в кристалле расстояния, равного нескольким ее толщинам, огранялась плоскостями (111}, которые в кремнии обладают наименьшей скоростью растворения [37]. На рис. 1.3 приведены шлифы поперечного сечения образцов кремния п — типа проводимости, легированные области которого (р - типа) получены миграцией в кремнии точечных зон, движущихся в различных кристаллографических направлениях.
Из рис. 1.3 следует, что если зона движется в направлении 111 , то легированный след ее в плоскости, перпендикулярной движению, из округлого переходит в треугольное (рис. 1.3,б), а при движении в направлении 100 - в квадрат (рис. 1.3,в), подтверждая участие в огранке зоны труднорастворимых плоскостей {і 11}. Следует заметить, что в промежуточных формах в огранке зоны принимают участие не только плоскости (111}, но и другие с более высокими индексами Миллера. Конфигурационная нестабильность может выразиться не только в пространственном изменении геометрии формы зоны, но и разрывом ее на отдельные части [1, 3]. При определенных условиях этот вид нестабильности может явиться следствием анизотропии скорости растворения, а также несоответствия формы дискретной зоны при погружении с ее стационарной формой в объеме кристалла.
Изменение формы зоны не препятствует экспериментальным исследованиям ЗПГТ и ее практическому применению в технологии полупроводниковых приборов [38, 39]. Напротив, распад зоны на фрагменты не позволяет выявить закономерности кинетики ЗПГТ и, как правило, препятствует требованиям практического использования этого метода. Исключение составляет случай, когда распад зоны на фрагменты обладает заданной закономерностью [40].
Кольцевые зоны расплава позволили установить влияние на огранку зоны радиуса кривизны. Морфология кольцевой зоны расплава Si -Al и форма легированного ею следа в кремнии изучались в работе [41] для направлений движения 111 и 110 . В дополнение к результатам, полученным в работе [25], установлено, что внешний контур кольцевой зоны ограняется сильнее внутреннего; уменьшение радиуса кольцевой зоны ускоряет огранку (рис. 1.4). Сравнивая стартовые и финишные контуры кольцевых зон, можно убедиться, что их огранение сопровождается смещением отдельных частей кольца к его центру - кольцевая зона, деформируясь, стягивается.
В работах [28, 32, 33] приведены результаты исследования ориентаци-онной стабильности линейных зон и определены условия их стабильной миграции: линейные (проволочные) алюминиевые зоны в кремнии сохраняют целостность и устойчивость к движению, если их оси ориентированы вдоль направления 110 на плоскости (111), а направление миграции совпадает с кристаллографическим направлением 111 [25]. Однако при этом наблюдается траєкторная неустойчивость зон, связанная с несимметричным относительно направления градиента температуры расположением в кристалле труднорастворимых плоскостей (111} [35]. Экспериментально обнаружено, что зоны мигрировали в направлении градиента температуры, когда он совпадал с кристаллографическими осями 100 или 110 . При иных ориентациях наблюдалось отклонение направления движения зоны от линий теплового потока. С ростом температуры и градиента температуры установлено уменьшение угла отклонения для ориентации пластин по {і 11} и увеличение этого угла для ориентации пластин по [112) [35]. С увеличением начального объема зоны угол отклонения от направления градиента температуры уменьшался для обеих ориентации. В работе [30] показано, что траєкторная нестабильность инициируется дислокациями в кристалле, вызывающими облегчение процесса растворения на одной из границ переднего фронта зоны. Наиболее частые и значительные случайные искривления траекторий движения точечных зон Si-Al размером 100 - 200 мкм наблюдались при плотности дислокаций в кристалле порядка 5-10 -5-10 см".
Возможности разработанной физико-математической модели ЗПГТ
Как следует из приведенного обзора и литературных источников [1, 3], исследования ЗПГТ проводятся, в основном, экспериментально. Как и любые температурно-временные зависимости, они характеризуются длительностью и трудоемкостью, а сам процесс ЗПГТ - многофакторностью. Кроме того, на ЗПГТ оказывают влияние неконтролируемые факторы, учесть которые в реальном эксперименте сложно. Получаемые в этом случае результаты отличаются неоднозначностью, что осложняет их интерпретацию. Кроме того, многие экспериментальные работы сопряжены с трудностями, а иногда и невозможностью изменения параметров системы в широком диапазоне. Это ограничивает выработку оптимальных условий получения полупроводниковых структур с заданными электрофизическими или оптическими параметрами, а также требований к аппаратурно-методи-ческому обеспечению процесса ЗПГТ.
Имеющиеся к настоящему времени модели относятся только к плоским зонам расплава и описывают одну сторону миграции жидкого включения в поле температурного градиента (см. 1.4.3). Последнее является сдерживающим фактором для эффективного практического использования в полупроводниковой технологии ЗПГТ. Отмеченных недостатков лишен численный эксперимент. Он позволяет получать результаты и анализировать их в условиях адекватных натурному эксперименту, а также изучать действие одного фактора, исключив из рассмотрения множество других, которые практически исключить невозможно. Актуальность численного моделирования объясняется также тем, что оно позволяет увидеть в динамике развитие рассматриваемого процесса, воспроизводить его тонкие детали, которые ускользают при проведении реального эксперимента. Кроме того, численный эксперимент позволяет изменять временной масштаб и варьировать в широких пределах параметры изучаемого явления, моделировать ситуации, недоступные в реальном эксперименте.
Отправным пунктом численного эксперимента является разработка модели, адекватно описывающей изучаемый процесс или явление, составление алгоритма для реализации этой модели на ЭВМ. Компьютерная программа моделирует физические явления, а современные методы математического анализа и уровень развития вычислительной техники позволяют относительно быстро и с соблюдением требуемой погрешности проводить численный эксперимент.
В настоящее время численно решается широкий круг задач по росту кристаллов (см. п. 1.4.2). Ограниченность широкого использования моделирования при ЗПГТ (см. п. 1.4.3) ставит актуальной задачу разработки модели ЗПГТ в плане создания универсального инструмента для изучения процесса миграции жидких включений в поле температурного градиента. Решению этой задачи посвящена настоящая диссертационная работа. 1. Разработать универсальную физико-математическую модель процесса ЗПГТ, учитывающую влияние большинства физических явлений, определяющих закономерности и технологически важные особенности миграции жидких включений в твердых кристаллических телах в поле температурного градиента. 2. Разработать алгоритм решения дифференциальных уравнений, составляющих основу физико-математической модели, включая выбор оптимального метода решения. 3. Создать пакет прикладных программ, позволяющий исследовать кинетику и совершенство кристаллических слоев, полученных методом ЗПГТ в широком диапазоне изменения параметров и применяемых систем. 4. Провести сравнение результатов численного эксперимента с аналогичными результатами натурного эксперимента, позволяющее сделать заключение об адекватности математической модели рассматриваемому реальному физическому процессу перекристаллизации в поле температурного градиента и необходимости корректировки физической (математической) модели. 5. Показать возможности разработанной физико-математической модели. К основным факторам, подтверждающим адекватность построенной физико-математической модели натурному эксперименту, следует отнести влияние толщины зоны на скорость миграции линейного жидкого включения в поле температурного градиента, исследования влияния различия коэффициентов теплопроводности в расплаве жидкой зоны и кристалле, а также действия анизотропии скорости растворения кристалла и процессов растворения или кристаллизации на форму мигрирующего жидкого включения. 1. Из приведенного обзора литературы следует, что технологически важными характеристиками метода ЗПГТ являются скорость и стабильность миграции жидких включений в объеме кристалла, перекристаллизованные слои которых составляют основу большинства полупроводниковых приборов. Свойства эпитаксиальных слоев зависят от контролируемых в процессе ЗПГТ факторов: температуры, ее градиента, состава и толщины зоны, анизотропии скоростей растворения. Указанные факторы действуют одновременно, влияют друг на друга, что затрудняет выбор условий ЗПГТ для получения заданных параметров полупроводниковых приборов. 2. Известные теории ЗПГТ в конечном итоге сводятся к теории Тиллера, которая до настоящего времени считается универсальной. Однако принятые в ней допущения не позволяют учесть влияние большинства факторов на процесс миграции жидких включений в поле температурного градиента, она не пригодна для описания миграции дискретного включения с его множеством особенностей по сравнению с плоской зоной расплава. 3. Известные модели роста кристаллов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями теплопроводности и массопереноса, в том числе и конвективного с подвижной межфазной границей (задачи Стефана). Для решения этих уравнений применяются аналитические и численные методы.
Построение разностного шаблона тепловой задачи на границе кристалл-включение
Следовательно, разработанная модель позволяет изучать все стадии ЗПГТ (моделирование движения включения в объеме кристалла приведены в п. 2.2.-2.7).
Реально в процессе проведения ЗПГТ существует теплообмен боковых граней кристалла с окружающей средой, сопровождаемый как поступлением тепла в кристалл, так и излучением тепла из кристалла. При моделировании считалось, что излучение практически полностью поглощается на внешней границе кристалла, обращенной к нагревателю, а с противоположной поверхности кристалла происходит его частичное излучение. Путем введения дополнительных граничных условий можно учесть излучение и с торцов кристалла.
Кроме механизмов роста при движении жидких включений (нормального, двумерных зародышей, винтовых дислокаций) и режимов ЗПГТ (кинетического, смешанного и диффузионного), модель позволяет изучать смену механизмов роста в процессе движения жидкого включения. Например, на начальном этапе происходит рост слоев по нормальному механизму, а затем - винтовыми дислокациями, т.е. решать вопросы общеростового характера [143].
Моделированию эволюции формы жидкого включения посвящен ряд работ, в которых, как отмечалось (см. п. 1.4.3), рассмотрены только плоские межфазные границы (плоские зоны). В п. 2.6 описано влияние анизотропии кристалла на эволюцию формы дискретного жидкого включения. Результаты численных экспериментов и сравнение их с результатами реальных экспериментов приведены в главе 4. Там же установлено влияние отдельных факторов (теплопроводности кристалла и расплава, атомно-кинетических коэффициентов, анизотропии скоростей растворения) на эволюцию формы жидкого включения. К указанным факторам можно добавить возможности модели по изучению влияния температурно-временных условий ЗПГТ, а также вводимой примеси на эволюцию формы дискретного включения. Эти вопросы частично изучены в работах [42, 43] экспериментально.
На процесс ЗПГТ также оказывает влияние наличие нерастворимых неоднородностей в кристалле, которые приводят к изменению формы линейных зон [1, 3]. Учет неоднородностей кристалла в рассматриваемой модели ЗПГТ достигается путем задания в точках кристалла случайным образом изменения значений атомно-кинетических коэффициентов /луг), определяющих при ЗПГТ процессы растворения и кристаллизации. Это позволяет установить влияние неоднородностей как на переднем, так и заднем фронтах жидкого включения.
О возможностях моделирования межфазных поверхностных эффектов описано в п.п. 2.5, 2.7. К поверхностным эффектам можно отнести учет испарения летучих компонентов линейной зоны на стадии погружения ее в кристалл. Модель позволяет учесть испарение путем добавления начальных условий при рассмотрении стадии погружения зоны в кристалл.
Обычно при использовании ЗПГТ в технологии изготовления полупроводниковых приборов, а также сложных полупроводниковых структур через кристалл мигрирует одновременного ансамбль дискретных зон. Из литературных источников известно (см. п. 1.3) лишь о возможном изменении их траекторий, обусловленных анизотропией скоростей растворения кристалла. Указана возможность взаимного влияния зон за счет искажения температурного поля их расплавом. Модель позволяет изучать эти важные с практической точки зрения вопросы ЗПГТ. В главе 4 анализируется влияние друг на друга двух линейных зон расплава.
Нестационарную ЗПГТ в модели можно учесть наложением на межфазные границы включения симметричных или асимметричных колебаний температуры.
Изменением математических соотношений, характеризующих физические процессы в отдельных компонентах рассматриваемых объектов, можно значительно расширить область применения разработанной физико-математической модели, используя ее как для анализа движения жидких, газообразных пор, так и твердых включений.
Как уже отмечалось, построенная физико-математическая модель процесса ЗПГТ относится к задаче Стефана, которая отличается сложностью решения [57], связанной с наличием подвижных межфазных границ, положение которых определяется в ходе решения задачи. Нет единого алгоритма решения задач Стефана. В каждом конкретном случае используются свои подходы [146 - 150]. В главе 3 предложен один из разработанных автором вариантов численного решения задачи Стефана применительно к процессу ЗПГТ - методом конечных разностей [152, 153]. Решение сопровождается разработкой универсального пакета прикладных программ, позволяющего учесть все выше изложенные возможности модели процесса ЗПГТ с выводом результатов решения на экран монитора компьютера. 1. Построена физико-математическая модель ЗПГТ на основе теплообмена и массопереноса в сплошной среде с учетом физических процессов, проходящих на движущейся межфазной границе. 2. Сформулированы начальные условия, дополняющие уравнения тепло- и массопереноса в композиции кристалл - жидкое включение, определяющие первоначальное распределение температуры, форму включения и концентрацию ростового вещества в нем. Для теплового поля приведены варианты граничных условий теплообмена на внешних границах кристалла и межфазной границе кристалл-включение для различных стадий ЗПГТ. Для концентрационной задачи в качестве граничных условий использованы функциональные зависимости скорости межфазных процессов от степени переохлаждения, обеспечивающей миграцию жидких включений. 3. При анализе дислокационного и зародышевого механизмов роста показаны возможности линеаризации условий на межфазной границе кристалл - включение, позволяющей унифицировать анализ механизмов роста, а также учитывать возможное изменение механизма растворения или кристаллизации в процессе движения дискретной зоны. 4. Введение в модель новых переменных позволило в силу малого изменения температурного и концентрационного полей относительно своих равновесных значений повысить точность компьютерных расчетов за счет уменьшения накопления погрешности при вычитании близких величин с учетом ограниченной разрядности представления действительных чисел в ЭВМ.
Эволюция формы жидкого включения при доминирующей роли процессов растворения или кристаллизации
Поведение границ движущегося жидкого включения является результатом действия множества факторов (см. гл. 1). В общем случае форма жидкого включения изменяется, а характер этих изменений весьма важен для формирования заданных свойств полупроводниковых структур.
Разработанная физико-математическая модель процесса ЗПГТ связана с необходимостью совместного решения уравнений теплопроводности и мас-сопереноса, которые в итоге дают возможность найти распределение концентрации растворенного вещества в зоне и, соответственно, ее положение в следующий момент времени. Как показано экспериментально и теоретически в работе [7], первоначально сферические включения не изменяют свою форму в процессе миграции в кристалле, если выполняется условие u-R«D, которое является необходимым признаком применимости линейных зависимостей в уравнениях массопереноса. Так как обычно и 10- м/с, а D«10 м/с, то приведенное неравенство выполняется для диаметров включения меньше 0,1 см, что значительно превышает типичные значения толщин линейных зон, используемых при ЗПГТ (10 - 100 мкм). Сохранение первоначальной формы круглого сечения линейной зоны при равных значениях скоростей, протекающих на межфазных границах, может быть подтверждением правильности как теоретических предпосылок, так и вычислительных процедур.
Для изучения степени деформации жидкой зоны введем коэффициент относительной деформации — размер зоны вдоль направления движения и в направлении, перпендикулярном ее миграции, соответственно, тах(/) - наибольшая величина из них [168].
На рис. 4.3 приведены изотермы в кристалле и расплаве жидкого включения при ЗПГТ для двух противоположных соотношений коэффициентов теплопроводности. Разрежение изолиний теплового поля внутри сечения жидкого включения является результатом лучшей теплопроводности расплава по сравнению с окружающим его кристаллом (рис. 4.3,6), а сгущение линий изотерм, наоборот, указывает на лучшую теплопроводность кристалла (рис. 4.3,в).
После перемещения цилиндрической зоны в направлении градиента температуры G в кристалле на расстояние S 10 R форма ее поперечного сечения практически не изменялась (см. рис. 4.3,6 и рис. 4.3,в). Небольшое отличие сечения зоны от первоначальной формы - окружности - можно объяснить накоплением погрешности вычислений как вследствие дискретного характера описания распределения концентраций в жидкой зоне (т.е. погрешностью метода), так и погрешностью округления, связанной с конечной разрядностью представления чисел на ЭВМ. Деформация также может являться результатом влияния близких границ кристалла (в работе [7] исследовалось движение включения в бесконечном кристалле). В рассматриваемом случае небольшие изменения поперечных размеров сечения зоны (порядка 3 - 4% по /у и 1Х от первоначального диаметра) привели, в конечном счете, к суммарной погрешности изменения формы контура включения 7%. Для других отношений Лі I Xs (0,2 - 5) форма сечения зоны также мало изменялась. Кроме того, было подтверждено, что деформация зоны не зависит от соотношения коэффициентов теплопроводностей включения и кристалла (см. табл. 4.4). Точность вычислений можно повысить, используя при расчетах более мелкую сетку.
В процессе ЗПГТ с использованием дискретных зон для получения электрически гетерогенных структур стабильность формы зоны определяет качество этих структур и воспроизводимость технологических операций [1,3]. В реальных условиях атомно-кинетические коэффициенты на разных участках межфазной границы кристалл - включение могут сильно отличаться и, тем более, не всегда должны быть равными на границах растворения и кристаллизации.
В настоящей работе с помощью физико-математической модели процесса ЗПГТ (см. главу 2) исследовался вопрос о эволюции формы жидкого включения при различных скоростях растворения и кристаллизации (атомно-кинетических коэффициентах juр // ).
Для оценки изменения формы включения дополнительно к относительному коэффициенту деформации включения S (см. п. 4.3) был введен коэффициент асимметрии сечения включения где z - расстояние от крайней точки фронта растворения до центра массы тела. Этот коэффициент позволил учесть смещение основной части расплава зоны в сторону границы растворения (є 0) или в сторону границы кристаллизации (є О) и тем самым представить дополнительную информацию о характере эволюции формы жидкого включения в процессе ЗПГТ. При одновременно протекающих на границах включения процессах растворения и кристаллизации всякое нарушение равенства энергетических затрат на их осуществление при равных движущих силах приведет к изменению длин контуров сечения поверхности расплава, соответствующих этим процессам. Если доминирующим в расплаве зоны становится процесс растворения, т.е. он идет быстрее (jup iuk), то в мигрирующей зоне для поддержания постоянным потока атомов часть контура сечения, соответствующая границе растворения, уменьшается, а границе кристаллизации - увеличивается.
