Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Для теории векторных решеток характерно выделение и изучение порядковых свойств функционалов и операторов. Одним из основных понятий в теории векторных решеток является понятие линейного оператора, действующего в векторных решетках.
В этом смысле показательно, что уже в ЗОх годах Л.В. Канторович доказывает известную теорему Рисса-Канторовича об условной полноте пространства линейных регулярных операторов, действующих в условно полную векторную решетку, тем самым обобщая результат другого создателя теории векторных решеток Ф. Рисса о порядковых свойствах пространства линейных регулярных функционалов в пространстве непрерывных функций на С([0,1]). Интересно, что этот факт указывает на характерный для теории векторных решеток перенос методов исследования из классических ситуаций функционального анализа (например, пространств типа С(К) на компакте К, if) в более абстрактную ситуацию векторной решетки.
Исследованием линейных регулярных операторов, действующих в векторных решетках, занимались ученики Л.В. Канторовича Б.З. Вулих и А.Г. Пинскер, а также представители японской школы теории векторных решеток, среди которых прежде всего надо отметить X. Накано. Проблемами, близкими к этой тематике, занимались и представители воронежской школы: М.А. Красносельский, П.П. Забрейко и другие. В настоящее время теория линейных операторов - важнейший раздел теории векторных решеток.
С 80х годов в теории линейных операторов, действующих в векторных решетках, большой интерес стал уделяться линейным операторам, сохраняющим дизъюнктность, (или d-гомоморфизмам). Вопросы, связанные с d-гомоморфизмами и их частными случаями (d-изоморфизмами, ортоморфизмами, решеточными гомоморфизмами) ставились, например, в работах следующих авторов: Ю.А. Абрамовича, А.И. Векслера, А.В. Колдунова, А. Викстеда, М. Майера, В. де Пагтера, Д.
Харта и других. В последнее время значительное внимание стало уделяться сохраняющим дюъюнктность операторам, действующим в банаховых решетках; их исследованием занимались такие математики как В. Аренда, А. Викстед, К. Гуйсманз и другие. Типичным примером таких операторов являются операторы подстановки с весом в пространствах С(К) и Lp(jl). Напомним, что если Е есть ИП (идеальное пространство) на (7і,2ьЦі), то есть на пространстве Ті с ст-алгеброй Zi измеримых множеств и ст-конечной мерой ці на Еь F - ИП на (Гг.І^Цг), со: Т2-+Ті -измеримое отображение, geL, то оператор подстановки с весом задается следующим образом:
(/йМе)(Л)=(ф(шОО)(*єГ2). Аналоги операторов подстановки с весом можно рассматривать и в пространствах С(К), тогда g и о должны быть непрерывными.
В связи с этим представляются актуальными постановка и решение классических вопросов теории линейных регулярных операторов для операторов, сохраняющих дизъюнктносгь. Например, как уже было отмечено, пространство L {X,Y) всех линейных регулярных операторов, действующих в архимедовых векторных решетках X и Y, в случае условной полноты Y является векторной решеткой, более того, условно полной. С другой стороны М. Майер, изучая свойства множества Orth(l) всех порядково ограниченных нерасширяющих операторов (ортоморфизмов), действующих в векторной решетке X, то есть множества всех порядково ограниченных операторов, для которых образ элемента хеХ снова лежит в полосе {х}^, доказал, что множество Orth(X) является векторной решеткой и без предположения условной полноты X. Множество dL (X,Y) всех линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность, действующих из архимедовой векторной решетки X в архимедову векторную решетку Y, является промежуточным между пространством L (X,Y) и множеством Orth^X). Поэтому естественным образом при изучении порядковых свойств множества dL (X,Y) возникают следующие вопросы: является ли множество dL (X,Y) всех регулярных d-гомоморфизмов векторной решеткой? Является ли существенным
требование условной полноты векторной решетки Г при ответе на этот вопрос для множества dL (Х,Г)?
Оказывается, что аналоги результатов Л.В. Канторовича и М. Майера не могут быть получены для множества dL (X,Y) всех регулярных d-гомоморфизмов: несмотря на то, что в множестве dL (X,Y) для любого оператора существует его супремум с нулевым оператором, множество всех линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность, не является решеткой. Это связано с тем, что рассматриваемое множество операторов не является линейным, а именно, множество dL (X,Y) не является замкнутым относительно сложения.
Таким образом, при изучении порядковых свойств множества всех регулярных d-гомоморфизмов возникает более сложная ситуация, чем в случае пространства всех линейных регулярных операторов и в случае множества всех ортоморфизмов, так как при решении задач, связанных с порядковыми свойствами множества dL (Х,ї), возникает необходимость в той или иной мере решения задач, связанных с алгебраическими свойствами этого множества.
Надо отметить, что при решении указанных выше проблем в множестве всех линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность, является существенным полученный Ю.А. Абрамовичем, А.И. Векслером и А.В. Колдуновым результат о локальном мультипликативном представлении всякого регулярного d-гомоморфизма, то есть о возможности локального представления данного оператора в виде оператора, устроенного аналогично оператору подстановки с весом. Использование такого представления для операторов из множества dL (X,Y) существенно облегчает решение ряда вопросов в изучаемом множестве операторов, так как дает возможность сведения абстрактной векторно-решеточной ситуации к рассмотрению конкретных свойств непрерывных функций и свойств компакта. Надо отметить, что подобное представление использовалось ранее М. Майером для доказательства решеточной структуры множества Orth(Ji) всех ортоморфизмов в векторной решетке X.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение алгебраических и порядковых свойств множества dL (X,Y) всех линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность, действующих в архимедовых векторных решетках X и У. Описание строения введенного Л.В. Канторовичем оператора, являющегося супремумом двух сохраняющих дизъюнктность операторов в пространстве L (X,Y) всех линейных регулярных операторов, действующих в условно полную векторную решетку Y. Доказательство теорем о существовании суммы, супремума и инфимума для двух операторов в множестве dL (X,Y).
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе применяются методы теории упорядоченных пространств, теории векторных решеток, а также методы теории линейных операторов и линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность, действующих в векторных решетках.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты работы являются новыми. Укажем некоторые из них:
- дано необходимое и достаточное условие для существования
суммы двух операторов в множестве dL (X,Y) всех регулярных d-
гомоморфизмов, действующих в архимедовых векторных решетках А-и Г;
дано описание строения оператора, введенного Л.В. Канторовичем, являющегося супремумом двух сохраняющих дизъюнктность операторов в пространстве L (X,Y), где Y является условно полной векторной решеткой;
доказана теорема о достаточном условии существования супремума двух операторов в множестве dL (X,Y);
доказана теорема о необходимом и достаточном условии одновременного существования супремума и инфимума двух операторов в множестве ей, (X, У);
- дано необходимое и достаточное условие для существования
супремума двух операторов в множестве dL (X,Y), где Y - условно полная
векторная решетка;
- дано необходимое и достаточное условие дизъюнктности двух положительных операторов из множества dL QC,Y), когда Y является условно полной векторной решеткой.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего изучения линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнкгность, а также для других классов операторов, близких к ним, (например, класса операторов подстановки с весом).
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались на городских семинарах по полуупорядоченным пространствам в РГПУ им. А.И. Герцена, а также на Герценовских чтениях в 1995 и 1996 годах.
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 4 работы, которые отражают ее основное содержание.
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, двух частей и списка литературы. Первая часть посвящена изучению алгебраических свойств множества всех линейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность. Во второй части исследуются решеточные свойства рассматриваемого множества операторов.
