Содержание к диссертации
Введение
1. Решение обратной задачи для однородной системы ОЛДУ 17
1. Прямая задача 19
2. Обратная задача 30
2. Решение обратной задачи для неоднородной системы ОЛДУ 38
3. Оператор Прони и его приложения 56
1. Локально выпуклое пространство [1, h(0))n 58
2. Выпуклые функции 64
3. Оператор Прони для однородных систем ОЛДУ 66
4. Приложение оператора Прони 76
Список литературы 85
- Обратная задача
- Оператор Прони и его приложения
- Оператор Прони для однородных систем ОЛДУ
- Приложение оператора Прони
Введение к работе
Актуальность темы. Одной из популярных задач комплексного анализа является проблема аналитического продолжения функций. Отчасти это связано с тем, что на практике динамика показателей многих процессов допускает математическое описание с помощью аналитических функций, причём входная информация задаётся в виде значений показателя в конечном числе узлов временной сетки.
Важным случаем этой проблемы является задача экстраполяции функции или системы функций, являющихся квазиполиномами, по их значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки.
Определение 1. Квазиполиномом называется конечная сумма
/w=E^(*k"
г=1
экспонент с полиномиальными коэффициентами. Здесь показатели экспонент и коэффициенты полиномов - комплексные числа.
Определение 2. Порядком квазиполинома f(t) назовем число
ord(f):=n + Y^deg(Pi(t)).
г=1
Такое название объясняется тем, что квазиполином f(t) является решением обыкновенного линейного дифференциального уравне-
ния (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами конечного порядка т = ord{f).
Первый способ восстановления квазиполинома по его значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки восходит к Прони (Gasparo Riche, baron de Prony, [1] (1795)). Прони указал сам алгоритм восстановления, но вопрос о корректности этого алгоритма остался открытым.
Вкратце опишем основную идею алгоритма Прони. Как известно, функция f(t) = eat является собственной функцией оператора дифференцирования = ^ с собственным значением а. Но она же является собственной функцией и оператора сдвига [Sf](t) = f(t + 1) с собственным значением еа. Поэтому f(i) = eat есть решение некоторого разностного уравнения, которое можно восстановить, зная лишь значения функции в конечном наборе равноотстоящих друг от друга моментах времени. Решая это разностное уравнение, восстанавливаем функцию.
В настоящее время известно несколько модификаций алгоритма Прони - их обзор приведён в [2, гл. 11], [3, гл. 2] и [4, гл. 2]. В частности, вопрос о корректности алгоритма Прони (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных) для решений ОЛДУ конечного порядка с неизвестными постоянными комплексными коэффициентами исследовал Маергойз Л.С. [3, гл. 2] (1991).
Модификацию алгоритма Прони для восстановления вектор-функции из экспоненциально-гармонических сумм с неизвестными постоянными вещественными коэффициентами по её значениям в конечном числе узлов равномерной сетки исследовали Голубков В.В., Щербов С.Я. [5] (1980).
В общем случае, проблеме аналитического продолжения посвящено
много исследований, см., например, Лаврентьев М.М [6] (1962), Анико-нов Ю.Е., Узаков М.М. [7] (1985), Бухгейм А.Л. [8] (1993).
Алгоритм Прони имеет важное прикладное значение, в связи с тем, что математическое описание многих динамических процессов, встречающихся в природе, инженерной практике и т.д., часто осуществляется (хотя бы в первом приближении) с помощью системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с неизвестными постоянными коэффициентами. При этом известными являются значения решения этой системы в конечном числе узлов равномерной временной сетки. С математической точки зрения эта задача эквивалентна задаче экстраполяции системы квазиполиномов, являющихся решением одного ОЛДУ конечного порядка. Например, в биофизике и медицине это исследование релаксационных характеристик гомеостатических процессов, (см. [9], [10]). В инженерной практике он применяется в радиосвязи (см. [2]).
Диссертация посвящена пограничным вопросам комплексного анализа и теории обычных линейных дифференциальных уравнений.
Методика исследований. В диссертации применяются методы математического анализа, комплексного анализа (теория целых функций), функционального анализа, теории матриц, теории дифференциальных уравнений, и др.
Целью диссертации является:
1. Исследование условий, при которых корректно определён (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных) алгоритм Прони восстановления вектор-функции, являющейся решением некоторой однородной или неоднородной системы ОЛДУ первого порядка с неизвестными постоянными комп-
лексными коэффициентами, по её значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки.
2. Построение обобщенного алгоритма Прони для аппроксимации конечной системы вещественных динамических характеристик по их значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки с помощью вектор-функции, являющейся решением некоторой однородной системы ОЛДУ. Исследование корректности этого алгоритма.
Основные результаты диссертации следующие:
Дан алгоритм экстраполяции с конечного множества вектор-функции из квазиполиномов, являющейся решением однородной системы ОЛДУ с неизвестными постоянными коэффициентами, и удовлетворяющей определённым ограничениям. Исследованы условия при которых этот алгоритм корректно поставлен (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных).
Приведено решение (с указанием условий существования и единственности) подобной задачи для неоднородной системы ОЛДУ первого порядка, правая часть которой - вектор-функция из квазиполиномов.
Предложена модификация алгоритма Прони для аппроксимации конечной системы вещественных динамических характеристик по их значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки с помощью вектор-функций, упомянутых в первом пункте.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21]-[26]. По материалам диссертации делались доклады:
на международной конференции Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений " (Минск, 2001);
на международной молодёжной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2001);
на международной конференции "Некорректные и обратные задачи" (Новосибирск, 2002),
на научном семинаре "Обратные задачи" в ИМ СО РАН (Новосибирск, 2003),
на городском научном семинаре по теории функций в Красноярском госуниверситете (Красноярск, 2000-2003).
Краткое содержание диссертации.
В первой главе исследуется вопрос о возможности экстраполяции вектор-функции из квазиполиномов, каждый из которых имеет один и тот же набор (с учётом кратности) входящих в него экспонент, по её значениям на конечном множестве, являющегося равномерной сеткой. Здесь под кратностью экспоненты понимается степень полиномиального коэффициента при ней, увеличенная на единицу, т.е. 1 + deg(Pi(t)) (см. определение 1).
В случае, когда мощность набора экспонент равна размерности вектор-функции, эта задача эквивалентна нахождению решения однородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОЛДУ) с постоянными неизвестными комплексными коэффициентами по его значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки.
Сформулируем точную постановку задачи в эквивалентном варианте. Пусть дана однородная система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОЛДУ) с постоянными комплексными коэф-
фициентами:
dY(t) = AY(t), t e R, (1)
( Ш x
Y(t) =
- неизвестная вектор-функция,
г*
^ Vn{t) J
A = (aij) - неизвестная матрица размерности n x n с постоянными комплексными коэффициентами.
Рассмотрим равномерную сетку на вещественной оси с заданным шагом времени d > 0. Значения решения системы (1) в узлах этой сетки назовём моментами:
Yk = Y(tk)=Ck, tk = t0 + kd, = 0,1,2,...,#, гдеіУ^п. (2)
Начальное значение ^о далее считаем равным 0, что не мешает общности рассуждений.
Ставится задача нахождения решения системы (1) с неизвестной матрицей А при условиях (2).
В 1 исследуется прямая задача для системы (1). В 2 приводится решение обратной задачи для этой системы. В итоге получены следующие условия существования и единственности для решения обратной задачи:
Теорема 1.9. Пусть дана система вида (1) с неизвестной матрицей А, собственные числа которой принадлежат полосе
Tl(d) = {z Є С : |Im z\ < іг/d].
Пусть также известны невырожденные краевые условия вида (2), где невырожденность означает, что у матрицы моментов Удг := (Со, Си... , Сц) ранг равен п.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
существует единственная вектор-функция Y(t), являющаяся решением системы (1) и удовлетворяющая краевым условиям (2),
для моментов Со, Сі,... , Сдг существует единственный вектор р = (Pi>P2>--« >Рп) такой, что
Ck+n +РіСк+п-і + +рпСк = 0, У к = 0,1,... , N - п,
причём корни ассоциированного с вектором р многочлена
Tn(z) = zn+Plzn-1 + ...+Vn
(3)
лежат еС\ (—оо, 0].
В этом случае решение имеет вид
1 Фі(і) N
У if) = G
\
Фп(і)
-і
,аці
VlM = Є*', Mt) = Yjeaii, .-., Фгг W = (ri _ 1)Г ,
«і,... , а/ - различные собственные значения матрицы А. П,... , г/ - кратности соответствующих собственных значений матрицы А, при этом r\ + ... + ri = п, причём
Здесь берётся главное значение логарифма, {qi}[ - корни многочлена Tn(z) (см. (3)), и кратность «,- равна кратности qi.
Матрица G определяется по формуле
G = DP~\
(фі(0) ... фгііп-І^
Р =
\фп(0) ... фп({п-1)й))
D = (Со, Сі, , Cn_i)
- п х п-матрица, столбцами которой являются первые п моментов. Матрица А системы (1) равна
-і
A = GLG-\
/
\
L =
\
)
- матрица пхп, составленная из блоков L\,--- ,Li вида
(
\
Lt:=
1 '-.
1 СИ
причём размер Li равен Г{ х гг- (на незаполненных местах стоят нули).
Во второй главе дано решение обратной задачи для неоднородной системы ОЛДУ, правая часть которой - вектор-функция из квазипо-
линомов, и приводятся условия существования и единственности этого решения. Эта задача эквивалентна задаче экстраполяции вектор-функции из квазиполиномов, каждый из которых имеет один и тот же набор (с учётом кратности) входящих в него экспонент, по её значениям на конечном множестве, являющегося равномерной сеткой, в том случае, когда мощность набора экспонент больше размерности вектор-функции.
Сформулируем точную постановку задачи:
Пусть дана неоднородная система ОЛДУ n-го порядка с постоянными комплексными коэффициентами:
(4)
Y(t) = AY(t) + AF(t), teR,
1 2/iW N
Y(t) =
- неизвестная вектор-функция,
\
Vn(t)
1 AW x
F(t) =
- вектор-функция из квазиполиномов fi(t),
\
fn(t)
Л - диагональная матрица размерности пхп, причём стоящие на главной диагонали коэффиценты {А;}" считаются неизвестными.
Рассмотрим значения решения системы (4) в узлах равномерной временной сетки (моменты):
Ck = Y(tk), tk = t0 + kd, k = 0,l,...,N, iV^n(m+l), (5)
где m - максимальный порядок квазиполиномов fi(t), являющихся координатными функциями в F(t).
Ставится задача нахождения решения Y(t) системы (4) с неизвестными матрицами Л и Л, для которого выполняются заданные краевые условия (5). Считаем, что to = 0.
Идея решения здесь заключается в следующем - преобразовать неоднородную систему так, чтобы получилась однородная система ОЛДУ. Для этого используются дифференциальные операторы специального вида, которые и преобразуют систему (4) однородному виду. Далее для новой системы применяются результаты из главы 1.
Пусть
/«w = 53Яіруч * = і,...,n,
где Pij(t) - полиномы с комплексными коэффициентами, а через щ обозначено количество экспонент в квазиполиноме fi(i). Приведём некоторые обозначения:
^-:= l + deg^-W), гщ := ord(/i(i)),
m := max{mj}. Здесь 1 ^ і ^ п, 1 ^ j ^ щ.
Теорема 2.4. Пусть дана система вида (4) с неизвестными матрицами А и к, и известной вектор-функцией F(t), состоящей из квазиполиномов. Пусть при этом известно, что все собственные числа матрицы А принадлежат полосе
11(d) = {z Є С : |Im z\ < n/d},
и не равны показателям экспонент координатных функций вектор-функции F(t). Также пусть даны невырожденные краевые условия вида (5).
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
существует единственная вектор-функция Y(t), являющаяся решением системы (4), и удовлетворяющая краевым условиям (5),
существует единственный вектор р = (pi,... ,pn(m+i)) такой, что выполняется соотношение
Cn(m+l)+k + P\Cn(m+l)+k-l + +Pn(m+l)Ck = О,
к = 0,1,... ,iV-n(ra + l),
причём уравнение
Tn{m+1)(z) = 2"(m+1) +plZ<m+V~l + ... + pn(m+1) = О
имеет своими корнями числа e^d кратностей kij, і = 1,... ,n, j = 1,... , щ, и число 1 кратности пт — mi —... — тп, а оставшиеся корни лежат в С\(—оо,0].
В этом случае матрицы А и А определяются единственным образом.
Доказаная в 2 первой главы теорема 1.9 о существовании и единственности решения обратной задачи для системы ОЛДУ вида (1) с краевыми условиями (2), позволяет говорить об операторе экстраполяции вектор-функций из квазиполиномов, заданных на конечном множестве, так называемом операторе Прони.
Этот оператор определяется не для всех вектор-функций из квазиполиномов, а лишь для тех, которые являются решением системы ОЛДУ с постоянными комплексными коэффициентами, и удовлетворяющих определённым ограничениям на показатели экспонент квазиполиномов.
Третья глава посвящена описанию зоны устойчивости оператора Прони к малым колебаниям входных данных.
В 1,2 приводятся необходимые сведения из топологии и теории выпуклых функций.
В 3, на основе теоремы 1.9 из главы 1, описывается алгоритм Про-ни восстановления вектор-функции, являющейся решением однородной системы ОЛДУ вида (1) с неизвестными постоянными комплексными коэффициентами, по известным невырожденным значениям вида (2) этой вектор-функции в конечном числе узлов равномерной временной сетки.
Класс однородных систем ОЛДУ предполагается таким, что собственные числа матрицы А принадлежат полосе
n(rf) = {z Є С : |Im z\ < тг/d} .
Алгоритм выглядит так:
1) Строим систему линейных уравнений
Ci,n + PiCi,„_i + ...+p„Ci,o = О
Сп,п + PlCn>n-i + ...+ pnCnfi = О V
где Cij - г'-ая координата момента Су
С её помощью определяем непрерывный оператор:
Б:МП->СП, В(С)=р
где р = (рь... ,рп) - решение (6).
2) Далее, многочлен
Tn(z) = zn+Plzn-l + ...+pn,
определяет непрерывно зависящие от его коэффициентов корни {<7г'}і и их кратности {гі}{.
3) Числа {щ = d~l -lngi}i расположены в П(с?) и являются показате
лями экспонент искомой функции Y{t) из En(d). Кратность щ полагаем
равной г і - кратности корня дг- многочлена Tn(z).
4) По известным {ai}[ строим следующие функции
-і
фг(і) = є*1', ф2(і) = -еа>\ ... ,фгі(і) = _ 5) Дополнительно строим ещё 2 матрицы
^i(O) ... ^i((n-l)d)X
,otit
Р =
\фп(0) ... фп((п-1)с))
D — (Фь Сь , Cn-i).
6) Матрицу G определяем по формуле
G = DP~\
7) Искомая вектор-функция Y(t) будет иметь вид
Y(t) = G
На основе вышеприведённого алгоритма строится оператор Прони
A:Mn->En{d), A(Mn) = En{d), A(C) = Y(t), С є М„,
и даётся описание его области определения Мп и области значения En(d). Затем доказывается непрерывность оператора Прони, что, с учётом теоремы 1.9, эквивалентно корректности алгоритма Прони (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных).
Теорема 3.6. Оператор Прони Л восстановления вектор-функции, являющейся решением системы вида (1) (собственные числа которой принадлежат полосе 11(d)), и удовлетворяющей краевым условиям вида (2), непрерывен в относительной топологии класса En(d).
В 4 приводится модификация алгоритма Прони для аппроксимации конечной системы вещественных динамических характеристик с помощью вектор-функций, являющихся решением некоторой однородной системы ОЛДУ первого порядка, и выделяется зона устойчивости этой модификации алгоритма к малым колебаниям входных данных. Это также эквивалентно корректности данной модификации алгоритма Прони. Там же приводится пример вычислений по алгоритму Прони для однородной системы ОЛДУ специального вида.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для ведущих научных школ НШ-1212.2003.1 и гранта РФФИ Ж 03-01-00460.
Автор благодарен своему научному руководителю Маергойзу Л.С. за постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы.
Обратная задача
Перейдём к обратной задаче для системы (1.1). В этом параграфе будут сформулированы необходимые и достаточные условия существования и единственности решения системы (1.1) с заданными краевыми условиями (1.2), в предположении, что матрица А неизвестна. Будем рассматривать класс систем ОЛДУ, такой, что корни {с }! характеристического уравнения матрицы А лежат в полосе Такой выбор области изменения {СИІ}[ обосновывается во-первых, тем, что эта полоса является областью однолистности для функции q((x) = ead (см. [16, с. 84]), при этом область значений q(a) есть С \ (—со,0]. Это означает, что существует взаимно-однозначное соответствие между корнями характеристического уравнения системы (1.1) ai,... ,а/ и корнями 1,... ,qi уравнения (1.18). Во-вторых, это нужно для единственности решения обратной задачи, т.к. две вектор-функции, имеющие одинаковые матрицы G и одинаковую структуру функций фі,... ,фп (см. (1.6) и (1.7)), но у которых показатели экспонент отличаются на 27rim/d, при t = kd будут иметь одинаковые моменты С&, что сделает их неразличимыми при данной входной информации. В-третьих, 11(d) содержит вещественную ось, что важно для приложений. Заметим, что область также является областью однолистности функции q{a) = ead для любого вещественного ого- Поэтому, если для каких-либо приложений потребуется, то можно взять любую полосу H(d;ao) но при этом, конечно, надо требовать априорную принадлежность корней {аг-}і характеристического уравнения матрицы А этой полосе. Также считаем, что матрица Удг (см. (1.12)) имеет ранг, равный п, что влечёт за собой невырожденность матрицы G (по лемме 1.2). Такие краевые условия называем невырожденными. Если же краевые условия вырождены, то перейдём к матрицам Y и G , о которых говорится в рассуждениях после леммы 1.2, и далее работаем с ними -они уже будут невырожденными. Теорема 1.7. Если у системы вида (1.1) с неизвестной матрицей А такой, что её собственные числа принадлежат полосе 11(d), существует решение Y(t) удовлетворяющее невырожденным краевым условиям (1.2), то оно единственно. Доказательство. Пусть вектор-функции Y(t), Z(t) являются решениями системы (1.1) и удовлетворяют условиям (1.2). Согласно формуле (1.7), они имеют вид где G = (g ij), G" = (g"j) - некоторые n x n-матрицы, элементами которых являются комплексные числа.
Определение функций ф\,... ,фп - см. формулу (1.6). Рассмотрим вспомогательную вектор-функцию: Тогда, в моменты времени tk = kd, к = О,1,... , п силу условий (1.2), следующее равенство: Рассмотрим следующую систему уравнений, составленную из первых строк системы (1.22) при Согласно предложению (1.1), он не равен 0. Поэтому д ц = g"j, j = 1,... ,п. Аналогично, преобразуя другие строки системы уравнений (1.22), получаем, что G — G" = 0. Таким образом, G = G", или, что эквивалентно, Y(t) = Z{t). Теорема доказана. Теорема 1.8. Для системы (1.1) с неизвестной матрицей А существует решение Y(t), удовлетворяющее невырожденным краевым условиям (1.2), в том и только том случае, когда для моментов Со, С\,... , См, из которых и состоят краевые условия, имеется вектор р= (р\,р2:... ,Рп), такой, что Доказательство. Необходимость. Пусть существует решение Y{t) системы ОЛДУ (1.1), удовлетворяющее краевым условиям (1.2). Тогда выполнение условия (1.24) следует из теоремы 1.5. А в силу ограничений на класс рассматриваемых систем ОЛДУ (см. (1.21)), многочлен Tn(z) может иметь корни только в С \ (—со, 0]. Достаточность. Пусть вектор р с требуемыми свойствами существует. Рассмотрим ассоциированный с ним многочлен Tn(z). По условию все его корни не равны нулю, следовательно, и рп ф 0. Поэтому порядок соответствующей системы разностных уравнений (1.20) равен п. Выпишем эту систему в координатной форме: Из этой системы и определяется вектор р при решении обратной задачи. Вернёмся к доказательству теоремы. Построим вектор-функцию У(), такую, что Y(kd) = С&, к = 0,1,... ,N. По известному вектору р строим многочлен Tn(z), и находим его корни {qi}[ и их кратности {ГІ}[. Обозначим aj d Здесь берётся главное значение логарифма (см. (1.21) и последующие рассуждения). Решение Y(t) ищем в виде, определяемом формулой (1.7).
Зная собственные значения щ и их кратности гг-, строим функции {i i{t)}i и матрицу L (см. формулы (1.6), (1.9) и (1.10)). Матрицу G найдём по формуле: Определение матриц D и Р - смотри формулы (1.14) и (1.15). При t = 0, согласно лемме 1.2, получаем Аналогично, при t = Ы, к = 1,... , N получаем Теперь найдём систему вида (1.1) такую, что функция, определяемая формулой (1.7), является её решением. Используя формулу (1.11) и учитывая тот факт, что матрица G предполагается невырожденной, получаем: Так как матрицы G и L определяются единственным образом (с точностью до перестановки строк), то и матрица А определяется однозначно. Таким образом, доказаны теоремы существования и единственности решения обратной задачи для системы (1.1) с краевыми условиями (1.2). Сформулируем окончательный результат в следующем виде: Теорема 1.9. Пусть дана система вида (1.1) с неизвестной матрицей А, собственные числа которой принадлежат полосе Пусть также известны невырожденные краевые условия вида (1.2) (невырожденность краевых условий означает, что у матрицы моментов Улг := (Со,С\,... ,CJV) ранг равен п). Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) существует единственная вектор-функция Y(t), являющаяся решением системы (1.1) и удовлетворяющая краевым условиям (1.2), 2) для моментов Со, С\.
Оператор Прони и его приложения
Доказаная в 2 первой главы теорема 1.9 о существовании и единственности решения обратной задачи для системы ОЛДУ вида (1.1) с краевыми условиями (1.2), позволяет говорить об операторе экстраполяции вектор-функций из квазиполиномов, заданных на конечном множестве - так называемом операторе Прони. Этот оператор определяется не для всех вектор-функций из квазиполиномов, а лишь для тех, которые являются решением системы ОЛДУ с постоянными комплексными коэффициентами, и удовлетворяющих определённым ограничениям на показатели экспонент квазиполиномов. В первом параграфе приводятся необходимые сведения из топологии, и даётся построение топологического пространства [1,Л(0))П, подмножество которого является областью значений оператора Прони. Во втором параграфе приводятся сведения из теории выпуклых функций, необходимые при доказательстве теоремы 3.7. В третьем параграфе описывается сам алгоритм Прони для однородных систем. ОЛДУ. На его основе определяется оператор Прони и даётся описание его области определения и области значения. Затем доказывается непрерывность оператора Прони, что, с учётом теоре- мы 1.9, эквивалентно корректности алгоритма Прони (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных). Во четвёртом параграфе приводится модификация алгоритма Прони для аппроксимации конечной системы вещественных динамических характеристик с помощью вектор-функций, являющихся решением некоторой однородной системы ОЛДУ первого порядка, и выделяется зона устойчивости этой модификации алгоритма к малым колебаниям входных данных. Это также эквивалентно корректности данной модификации алгоритма Прони. Там же приводится пример вычислений по алгоритму Прони для однородной системы ОЛДУ специального вида. Определение 3. [17, с. 22] Топологическое векторное пространство X называется локально выпуклым пространством, если оно хаус-дорфово и существует фундаментальная система окрестностей нуля, состоящая из выпуклых множеств. Нормированное векторное пространство в топологии задаваемой нормой, очевидно является локально выпуклым пространством. Теперь напомним определение индуктивного предела топологических векторных пространств.
Сведения взяты из [18] и [19]. Пусть Ф - множество, фильтрующееся вправо. Под этим понимаем, что для некоторых пар элементов а, (3 из Ф определено отношение а (3, удовлетворяющее следующим условиям : 1. если а (3 и /? 7? то а 7» 2. если а ft и (3 . а, то а = /3, и обратно; 3. каковы бы ни были а, (З Є Ф, всегда существует у Є Ф такое, что а 7, Р 7- Предположим, что каждому а Є Ф отнесено локально выпуклое пространство Ха и каждой паре (а, (3) с а (3 - непрерывное линейное отображение иар пространства Ха в Хр, причём ujai = ирусиар, когда а (3 7- Тогда говорят, что пространства Ха образуют индуктивный спектр относительно отображений шар. При этих условиях обозначим через X совокупность всех пар (х,а) (или просто ха, если записывать а в виде индекса), получающихся путём отнесения каждому а Ф произвольного элемента х = ха из Ха. В X можно ввести отношение эквивалентности следующим образом. Будем говорить, что элементы ха и хр из X эквивалентны (ха хр), если существуют по крайней мере одно 7 Є Ф и одно х1 Є X такие, что х1 = и а1(ха), х7 = шр7(хр) (а j, /3 j). Пусть X - фактор-множество X по этому отношению эквивалентности, и пусть да для каждого а Є Ф - каноническое отображение Ха в X, т.е. отображение ха —у х, переводящее каждый элемент ха из Ха в класс эквивалентности х Є X, имеющий ха своим представителем. В множестве X теперь можно определить (и притом только одну) структуру векторного пространства, в которой все да будут линейными отображениями. С другой стороны, среди локально выпуклых топологий в X, при которых отображения да непрерывны, необходимо существует одна, г, более сильная, чем всякая другая. Пространство X, наделённое топологией т, называется индуктивным пределом пространств Ха относительно отображений шар. Опишем построение одного топологического векторного пространства, обозначаемого как [1, h(0))n, которое потребуется далее. Предварительно напомним, что целой функцией экспоненциального типа называется целая функция /, удовлетворяющая при некоторых постоянных А = А/ О, С = С/ 0 неравенству (см. [3, с. 39]): Пусть D - (необязательно ограниченная) выпуклая область в С, а {Km}f - исчерпывающая D возрастающая последовательность двумерных выпуклых компактов таких, что Введем обозначения: Рассмотрим последовательность {Xm}J банаховых пространств п-мерных вектор-функций вида таких, что каждая компонента fi(z) является целой функцией экспо ненциального типа в С со свойством В дальнейшем, множество всех целых функций экспоненциального типа, удовлетворяющих неравенству (3.3), обозначаем как Zm(h). Норма в Хт берётся следующая: Теперь определяем [1, h(6))n как индуктивный предел последовательности {Хт} относительно отображений шт : Хт — Xm+i, u)m(F) — F (здесь Ф = N, топология в Хт задаётся нормой).
Отметим, что [1, h(6))n - локально выпуклое пространство, с соответствующей топологией индуктивного предела. Из условия (3.1) вытекает, что для любого т Є N справедливо неравенство Поэтому .Fm+i \\F\\m VF Є Хт. Отсюда следует, что отображение ujm является непрерывным. Сфромулируем важное свойство пространства [l,h(9))n. Напомним, что отображение нормированных пространств называется вполне непрерывным, если образом любого ограниченного множества является предкомпакт. Дадим следующее Определение 4. [18, с. 412] Локально-выпуклое пространство, являющееся индуктивным пределом последовательности банаховых пространств, вложенных друг в друга вполне непрерывно, называется LN -пространством. Теорема 3.1. [l,/i(0))n является LN -пространством. Доказательство. 1. Пусть Br = {F Є Хт : Fm г}, где г 0, т Є N - фиксированные числа. Это означает, что для всех F Є ВГ выполняется неравенство \\fi\\ m г, Уг = 1,... ,п (см. (3.4)). Рассмотрим множество ВТ := {/ Є Zm{h) : \\f\\ m г}. Это множество целых функций из Zm(h) локально равномерно ограничено. Согласно принципу компактности Монтеля (см. [20, с. 228]), для любой последовательности {fkjf С Вг найдется подпоследовательность {/i li0 С {/іь}ї и целая функция /0 такие, что причем сходимость является равномерной на любом компакте в С. Легко показать, что fo Є Вг Теперь рассмотрим последовательность {Fjt}f С ВГ1 и выделим из неё подпоследовательность {Fj: Jf такую, что её первая координатная последовательность {/ }i сходится к целой функции /оі Є Zm(h) (см. (3.7)). Потом из {F } выделим ещё одну подпоследовательность {Fj: }5, такую, что уже и вторая координатная последовательность ifhsT сходится к /о2- Продолжая этот процесс, получим последовательность {F% }?, такую, что все её координатные последовательности ifki }f» = І,.-. ,п, сходятся к целым функциям /и,... ,/оп из Zm(h), причём все эти координатные последовательности сходятся равномерно на любом компакте в С.
Оператор Прони для однородных систем ОЛДУ
Опишем алгоритм Прони восстановления вектор-функции, являющейся решением однородной системы ОЛДУ вида (1.1) с неизвестными постоянными комплексными коэффициентами, по известным невырожденным значениям вида (1.2) этой вектор-функции в конечном числе узлов равномерной временной сетки: Класс однородных систем ОЛДУ предполагается таким, что собственные числа матрицы А принадлежат полосе 11(d) (см. (1.21)): 1) Строим систему линейных уравнений вида (1.25): где Qj - г-ая координата момента Су С её помощью определяем непрерывный оператор: где р = {pi,... ,рп) - решение (3.11), причем вектор р определяет моменты Cn+i,... , CN ПО формуле (1.20) при к = 1,... ,N — п. 2) Далее, многочлен (см. (1.18)) определяет непрерывно зависящие от его коэффициентов корни {qi}\ и их кратности {ъ}[. 3) Числа {аг- = d l ln ft}j расположены в 11(d) и являются показа-телями экспонент искомой функции Y(t) из En(d) (см. доказательство теоремы 1.8). Кратность оц полагаем п - кратности корня qi многочлена Tn(z). 4) По известным {(Xi}i строим следующие функции (см. 1.6): Вышеизложенный алгоритм Прони позволяет определить оператор Прони. Для этого нужно описать область определения и область значений оператора. Начнём с области определения. Через С := (Со,Сі,... ,С„) обозначаем последовательность из п + 1 момента (являющихся вектор-столбцами), понимаемую, как вектор длины n х (п + 1) из пространства Пусть Мп - множество в Cnx(n+1) всех таких элементов вида С = (Со, Ci,... , Сп), что вектор р = (pi,... ,рп) определяется из системы линейных уравнений (1.25) единственным образом, причем ассоциированный с вектором р многочлен Tn(z) (см. (1.18)) имеет корни лишь в С\(—оо,0]. Отметим, что множество Мп открыто в Cnx(n+1). Именно оно и является областью определения оператора Прони. Теперь опишем область значений оператора Прони. Зафиксируем d 0. Пусть в обозначениях 1 этой главы: а исчерпывающая эту полосу возрастающая последовательность двумерных выпуклых компактов имеет следующий вид: Построим соответствующее пространство [1, h(9))n (см. 1 этой главы).
Покажем, что вектор-функция Y(t), составленная из квазиполиномов, чьи показатели экспонент принадлежат полосе D = 11(d), является элементом этого пространства. Множество всех показателей экспонент функции Y(t) обозначим через Еу := («і,... ,щ). Очевидно, что существует то Є N, такое, что Еу Є Кто. Не ограничивая общности, рассмотрим квазиполином f(z) = P(z) eQlZ с единственной экспонен-той eaiZ, такой, что о і Є Кто. Здесь P(z) - многочлен произвольной степени. Для f(z) справедливо следующее неравенство: Здесь hmQ{6) - "опорная функция" компакта Kmo (см. (3.2)). Отсюда делаем вывод, что любой квазиполином (с показателями экспонент, принадлежащими некоторому Кт) является элементом множества Zm+i(h). Следовательно, вектор-функция Y(t) принадлежит пространству [1, Л(0))п. Далее, в пространстве [1, h{6))n выделяем En(d) - класс решений однородных систем ОЛДУ п-го порядка вида (1.1), таких, что собственные значения матрицы А лежат в полосе П( і) (см. (3.18)). Как было сказано в 1 первой главы, этот класс состоит из вектор-фунций, координатными функциями которых являются квазиполиномы порядка п, причем показатели экспонент всех квазиполиномов совпадают с собственными значениями матрицы системы ОЛДУ. Введем в En{d) относительную топологию, индуцированную из [l,h(6))n. Отметим, что En(d) не является линейным подпространством [1, h(6))n, так как оно не замкнуто относительно операции сложения. Топологическое пространство En(d) и есть область значений оператора Прони. Таким образом, оператор Прони полностью определён: A:Mn En(d), A(Mn) = En{d), A{C) = Прежде чем доказывать непрерывность А, отметим один тонкий момент - решение системы линейных уравнений (3.11) непрерывно зависит от её коэффициентов, корни многочлена Tn{z) также являются непрерывными функциями от его коэффициентов, операции умножения и обращения матриц являются непрерывными в соответствующих топологиях. Но есть одно исключение - кратности корней многочлена Tn(z) являются дискретными величинами, и поэтому изменяются скачкообразно. Это также вызывает изменения в структуре функций Фи--- ,Фп, и, следовательно, изменения в структуре матрицы Р (см. (3.13) и (3.14)). Но, так как матрица G зависит от Р-1, то она также меняется соответственным образом, что компенсирует скачкообразное изменение кратности корней многочлена Tn{z). Проиллюстрируем вышесказанное следующим примером (для п = 2,d = 1). Пусть даны два вектора С \С Є Л/г, близких в топологии Мг, и таких, что ассоциированный с первым из них многочлен Щ \z) имеет своими корнями числа е1,е 1+\ а второй многочлен Т2 (z) имеет двукратный корень е1 (здесь є - некоторое комплексное число, с достаточно малым модулем, таким, чтобы 1 + є Є П(1)).
Тогда функции фі,ф2 в первом случае будут иметь вид: е ,е(1+є , а во втором: е ,е . Матрица Р будет иметь следующий вид Соответственно Так как С и С считаются близкими, то и матрицы D \ D будут близкими друг к другу в топологии М2, т.е. поэлементно. Учитывая тот факт, что умножение в En(d) на матрицу из Мп является непрерывной операцией, то отождествляем матрицы D и D и далее их обозначаем просто через D (это не внесёт большой погрешности в дальнейшие рассуждения). в топологии і%(1)- Для этого используем сходимость в объемлющем пространстве [1, h(9))2, вернее следствие 3.2, утверждающее, что сходимость в [l,h(6))2 эквивалентна сходимости в некотором Хт (см. 1 данной главы). Пусть т Є N - такой номер, что {1,1 + є] С Кт (см. (3.19)). Рассмотрим вектор-функцию Учитывая вышесказанное про матрицу .D, сократим F() на на неё, и далее её не рассматриваем - это не влияет на сходимость. Из (3.22) получаем (после небольших преобразований), что tec (см. (3.2), (3.4) и (3.5)). Пусть супремум достигается для функции fi(t) в точке ti, а для функции /2(і) в точке (существование супремума обеспечивает множитель е Нт ). Рассмотрим предел Отсюда следует, что (см. (3.24)) Аналогично, рассматривая предел Следовательно, lime_+o ll- WIU = О» ЧТ0 влечёт за собой справедливость утверждения (3.23). Заметим, что, хотя t\ и ti зависят от є, но эта зависимость непрерывна, и при этом є можно взять настолько малым, что t\ и Ї2 практически не меняются при є — 0. Поэтому применения правила Лопиталя правомерно. Проводя аналогичные рассуждения, приходим к выводу, что (3.23) остаётся верным и для п 2 с произвольными кратностями корней многочлена Tn(z). Фактически этим примером показано, какой является топология в En(d) - две вектор-функции из En(d), имеющие вид (3.17), близки друг к другу, если близки поэлементно их матрицы G, и близки показатели экспонент функций грі,... ,фп.
Приложение оператора Прони
в топологии і%(1)- Для этого используем сходимость в объемлющем пространстве [1, h(9))2, вернее следствие 3.2, утверждающее, что сходимость в [l,h(6))2 эквивалентна сходимости в некотором Хт (см. 1 данной главы). Пусть т Є N - такой номер, что {1,1 + є] С Кт (см. (3.19)). Рассмотрим вектор-функцию Учитывая вышесказанное про матрицу .D, сократим F() на на неё, и далее её не рассматриваем - это не влияет на сходимость. Из (3.22) получаем (после небольших преобразований), что tec (см. (3.2), (3.4) и (3.5)). Пусть супремум достигается для функции fi(t) в точке ti, а для функции /2(і) в точке (существование супремума обеспечивает множитель е Нт ). Рассмотрим предел Аналогично, рассматривая предел Следовательно, lime_+o ll- WIU = О» ЧТ0 влечёт за собой справедливость утверждения (3.23). Заметим, что, хотя t\ и ti зависят от є, но эта зависимость непрерывна, и при этом є можно взять настолько малым, что t\ и Ї2 практически не меняются при є — 0. Поэтому применения правила Лопиталя правомерно. Проводя аналогичные рассуждения, приходим к выводу, что (3.23) остаётся верным и для п 2 с произвольными кратностями корней многочлена Tn(z). Фактически этим примером показано, какой является топология в En(d) - две вектор-функции из En(d), имеющие вид (3.17), близки друг к другу, если близки поэлементно их матрицы G, и близки показатели экспонент функций Рассмотрим модификацию алгоритма Прони для аппроксимации конечной системы вещественных динамических характеристик по их значениям в конечном числе узлов равномерной сетки с помощью вектор-функций из квазиполиномов класса En(d). Изложение опирается на соответствующие результаты для случая п = 1 в [3, гл. 2, 3]. Пусть F = (F0,FU... ,FN) Є W lN+1\ N n - набор моментов некоторой вектор-функции F(t), замеряемых через равные промежутки времени, с известным шагом d 0: tk = kd, к = 0,1,... , N. Для приближения её вектор-функцией Y{t) Є En(d), возьмём функционал характеризующий невязку разностной системы (1.20). Для исследования описываемого алгоритма потребуются следующие свойства функционала срр Доказательство. Функционал (рр является непрерывным и выпуклым в W1 - это очевидно.
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что (рр является строго выпуклым вМп тогда и только тогда, когда не существует вектора ff= (771,... , т]п) Gl"\ {0} такого, что С другой стороны, наличие такого вектора означает, что ранг матрицы F меньше п. Это эквивалентно тому, что для F из исключительного множества ГхМп (см. (3.29)) функционал (рр не является строго выпуклым и достигает минимального значения на аффинном многообразии SDt С W1 таком, что dim 3D? 0. Если же F Г х Еп, то (см. (3.30)) Поэтому непрерывный функционал (рр достигает минимума в некоторой точке р Є Rn, т.е. Покажем, что этот минимум - единственный. С учётом того, что (рр - положительный функционал, имеем: Здесь (рр - преобразование Юнга функционала (рр (см. опр. 6, 2). Но условие (3.31) означает, что при \q\ — оо (pF(q) стремится к бесконечности быстрее, чем само \q\. Поэтому последний супремум в (3.33) при любом фиксированном у всегда достигается в конечной точке х EW1, и, являясь супремумом от непрерывной функции, сам конечен. Значит dom ipp — Шп (см. 2, опр. 5). Далее, горизонтальная гиперплоскость является опорной гиперплоскостью к надграфику ер крр в точке (P, PF(P)) Є Mn+1 (см. 2, опр. 7). Так как cpF - строго выпуклый функционал, то (см. 2, предложение 3.3 и следствие 3.4) р = p(F) -единственная точка точка, в которой pF достигает минимума. Первое утверждение теоремы доказано. У гиперплоскости П направляющий вектор равен нулю, поэтому из этого же следствия 3.4 получаем где pn = —grsLd(pF(n)(pn) - точка, в которой достигает минимума функционал pF(n). Этим доказано второе утверждение теоремы. Заметим, что при N = п 4-1 множество М совпадает с множеством Мп из предыдущего параграфа. Пусть где 0(Г) - оболочка радиуса є множества Г (см. (3.29)). Далее считаем, что F Є Тє, где є О - априорно задаваемое число, выбираемое так, чтобы ошибки в измерении координат моментов Fj не выводили F из множества Те, принадлежащего области определения функции p(F) (см. теорему 3.7). Опишем теперь алгоритм аппроксимации Fit) вектор-функциями из En{d). 1) Найдем вектор р = (р1}... ,рп), минимизирующий функционал рр в Еп (см. (3.28)). Согласно теореме 3.7, такой вектор - единственный, т.к. Тє С М. 2) Находим корни ді,...,ф уравнения (3.12) и их кратности И,... ,п. 3) В предположении, что среди этих корней нет отрицательных чи сел, по формуле определяем принадлежащие полосе U(d) (см. (3.18)) показатели экспонент вектор-функции Y(), приближающей исходный вектор F. 4) Зная a?j и их кратности гу, строим функции ф\,... , „по формуле (1.6). 5) Неизвестные коэффициенты матрицы G в формуле (3.17) опреде ляются методом наименьших квадратов при минимизации функциона где символ означает евклидову норму в Е".
Итак, построен обобщённый оператор Прони Л для аппроксимации вектор-функций по конечному набору её значений в узлах равномерной сетки с помощью вектор-функций из класса En(d): Для многих задач практики важен случай аппроксимации вектор-функциями класса En(d), состоящей из квазиполиномов, показатели экспонент которых имеют отрицательную вещественную часть. Модификация алгоритма Прони для этого случая аналогична изложенной. Следует лишь предполагать в пункте 3 алгоритма, что корни gi,...,g; принадлежат 5" = {z Є С : \z\ 1} \ (—1,0]. Соответствующая область допустимых параметров в пространстве ЕП+ЛГ х Е" обозначим через Т Є М (см. теорему 3.6). Устойчивость к малым колебаниям входных данных доказывает следующая Теорема 3.8. Пусть Т 0. Для любого є 0 и любого вектора F Є Тє (F Є Т ) найдется расположенная в Тє (соответственно в Т ) его окрестность V такая, что для всех векторов Н Є V и для любого t на отрезке [0, Т] С Е (соответственно, на [0, со) С Е) справедливо неравенство Доказательство. Заметим, что все операции обобщённого алгоритма Прони непрерывны (см. теоремы 3.6 и 3.7). Состоящая из вещественных вектор-функций окрестность V элемента [Л ]() в [l,h(9))n задается с помощью неравенства где є О, m N - фиксированные числа. Здесь Нт (см. (3.2)) -"опорная функция" компакта Кт, определяемого формулой (3.19), либо во втором случае соотношением (3.25). Далее, берётся сужение этой окрестности на En(d), и получаем требуемое утверждение. Во втором случае Hm(t) = t hm(0) О, где t О, hm(0) О, что и доказывает теорему.
