Периодические аналоги выпуклых функций и их приложения Мохамед Сабри Салем Али

Содержание к диссертации

Введение

1 Опорные линии и экстремальные задачи для тригонометрически выпуклых функций . 19

1.1 Опорные линии 21

1.2 Некоторые свойства тригонометрически выпуклых функций . 27

1.3 Интегральные неравенства типа Адамара для тригонометрически выпуклых функций 36

1.4 Распространение теоремы Б. Дж. Андерсона на случай тригонометрически выпуклых функций 43

2 Новые классы периодических обобщенно выпуклых функций . 52

2.1 Определение периодических суб-М функций и их элементарные характеристики 54

2.2 Дифференциальные свойства суб-М функций 61

2.3 Обобщение теоремы Пфлюгера на случай суб-М функций. 68

2.4 Неравенство Адамара и одна экстремальная задача для суб- М функций 75

3 Некоторые приложения периодических обобщенных выпуклых функций и открытые проблемы . 84

3.1 Индикатриса роста для целых решений уравнения Бельтрами. 84

3.2 Интегральные оценки для кавитационных диаграмм гидропрофилей 88

3.3 Некоторые открытые проблемы 91

Литература 93

• Некоторые свойства тригонометрически выпуклых функций
• Распространение теоремы Б. Дж. Андерсона на случай тригонометрически выпуклых функций
• Неравенство Адамара и одна экстремальная задача для суб- М функций
• Интегральные оценки для кавитационных диаграмм гидропрофилей

Введение к работе

В диссертации изучаются функции, которые являются периодическими и имеют свойства, аналогичные свойствам выпуклых функций.

Начало систематического изучения выпуклых множеств и выпуклых функций связано с работами Гельдера, Иенсена, Минковского и ряда других математиков. Благодаря трудам Фенхеля, Моро, Рокафеллера и других, выпуклый анализ стал одной из самых красивых и наиболее развитых ветвей математики. Выпуклому анализу посвящено много книг. При работе над диссертацией мы пользовались монографиями [15],[17],[26],[55], учебными пособиями [7], [12],[68] и обзором [29].

Выпуклый анализ имеет обширные приложения. Между тем, многие практические модели приводят к функциям, которые не являются в точности выпуклыми, но обладают рядом свойств выпуклых функций. Эти функции можно рассматривать как модифицированные или обобщенные выпуклые функции. Обобщения выпуклых функций использовались в таких областях математики, как оптимизация, теория операторов, исследование экономических вопросов, численная математика, статистика и ряд прикладных областей.

Выпуклые функции обобщались в двух следующих направлениях. I. Субгармонические функции (Ф. Рисе и другие) двух или более независимых переменных получаются заменой мажорирующего семейства {F(x)} линейных функций, т. е. решений дифференциального уравнения семейством гармонических функций {F(x,y)}, т. е. решениями уравнения

Лапласа d^F d²F _ дх² ду² Тотз (см., например, [38]) рассмотрел более общую ситуацию. Но он ограничивается мажорирующим семейством в виде линейных функций, не имеющим положительного максимума и отрицательного минимума во внутренней точке области определения. Бонсалл [41] рассмотрел некоторые свойства субфункций двух переменных по отношению к решениям более общего дифференциального уравнения в частных производных второго порядка dF 8F AF + а(х,у)— + b{x,y)— + c(x,y)F = 0.

В 1953 году Беккенбах и Джексон [38] определили субфункции для двух или более независимых переменных относительно более общего семейства функций для двух (или более) независимых переменных. II. Обобщенные или модифицированные выпуклые функции одной независимой переменной. (і) Сначала кратко опишем направление, связанное с обобщенными выпуклыми функциями.

Систематически естественный путь обобщения выпуклой функции был указан Беккенбахом в [35] в 1937 году. Эта работа развивалась затем Беккенбахом и Бингом [36], Пайксото [64], Бонсаллом [40], Грином [53], Райдом [67] и другими (см., например, Л. Турним (L. Tornheim [70]), Слеминт (Р.А. Clement [44]), Хартман (P. Hartman [54]), Кимперман (J.H.B. Kemperman [58]), Вейл (СЕ. Weil [72]), Янг (D.F. Young [73]). Они изучали дифференциальные и геометрические характеристики обобщенно выпуклых функций. Кратко, эти функции можно описать так. Пусть Т = {F(x)} - множество непрерывных функций, определенных в интервале (а, Ь) со свойством: если а < х\ < ₂ < Ь, то существует единственный элемент F Є Т, принимающий произвольно заданные значения у\ и у2 в точках х\ и 2- Введенные Беккенбахом cy6-F(x) функции есть такие функции /(ж), что если а < xi < Х2 < b и Fi₂(x) - элемент множества Т, совпадающий с f(x) в точках х\ и Х2, то f{x)n{x) внутри (х_их₂).

Исторически, некоторые обобщенно выпуклые функции появлялись в математике и ранее. Так, Беккенбах отмечает в своей работе [35], что одним из примеров служат тригонометрически выпуклые функции. А именно, в 1908 году Фрагмен и Линделёф показали, что если f(z) является целой функцией конечного порядка р, то функция

МО) = lhn"^l0g|/(ret:>l (0! < 9 < 0₂), г—>оо гР называемая индикаторной функцией для /(z), имеет следующее свойство: если 0 < #2 ^— #1 < к/р и Н(в) является функцией вида A cos рв + В sin рв, совпадающей с h(9) в точках 9\ и 02, то для 9\ < 9 < #₂ имеет место неравенство

ОД < Я(0).

Это свойство ими было названо тригонометрической выпуклостью.

В 1929 году Пойа показал, что субтригонометрические функции обладают некоторыми дифференциальными свойствами, аналогичными свойствам выпуклых функций.

В 1932 году Валирон [71] попутно отметил, что этот анализ можно распространить на функции f{x), мажорируемые функциями вида

АФ(х) + ВУ(х), если функции Ф[х) и \(х) обладают некоторыми желательными свойствами.

Кратко требования Валирона можно описать следующим образом.

Функции Ф(х) и Я>(х) считаются непрерывно дифференцируемыми, причем Ф'(х) и Ф'(ж) являются функциями ограниченной вариации. Кроме того, нули Ф(х) и Ф(х) разделяют друг друга. (ii) Теперь рассмотрим направление, связанное с модификациями.

По-видимому, одна из первых модификаций принадлежит Финет-ти (1949), который ввел понятие квазивыпуклости. В дальнейшем было предложено множество типов модификаций согласно возникшим потребностям и, в частности, исходя из приложений. Такого типа модификации (обобщения) развивались в работах Тью (Тиу), Хансона (Hanson), Мангасариана (Mangasarian), Понстейна (Ponstein), Карамар-диана (Karamardian), Ортега и Райнволда (Ortega-Rheinbold), Авриела, Дайверта, Шейбла, Зангда (Avriel-Diewert-Schaible-Zang) и других.

Вкратце некоторые типы этих обобщений можно описать следующим образом.

Пусть f(x) является отображением из вещественного топологического векторного пространства X в расширенную вещественную ось Ш U {+оо}. Для любых х,у Є dom/, для любого вещественного числа Л обозначим d(x, у, А) := тах{/(х), /(у)} - /(Ах + (1 - Х)у).

Функция / называется і) квазивыпуклой, если (0.1) d(x,;y,A)>0 для любых x,yGdomf, А Є (0,1); ii) строго квазивыпуклой, если в (0.1) для х ф у выполняется строгое неравенство; iii) полустрого квазивыпуклой, если строгое неравенство в (0.1) выполняется, когда /(х) ф f{y)', iv) -псевдовыпуклой, если для любых ж,у Є dom/ с условием f(y) > /(ж), существуют /3(х,у) > 0 и 5(х,у) Є (0,1] такие, что (0.2) d(x,?/,A) > Щх,у) для любого Л Є (0, <5(ж, у)); v) строго псевдовыпуклой, если (0.2) выполняется как только /Ы >/W, хфу-

Эти и некоторые другие обобщения выпуклых функций исследовались в большом числе работ (см. [42], [45], [57], [59] [60] и библиографию в этих работах).

Настоящая диссертация посвящена изучению первой ветви из второго направления в описанных выше обобщениях выпуклых функций.

Основная цель данной работы - распространение ряда результатов, известных для обычных выпуклых функций, на случай тригонометрически выпуклых функций, а также распространение этих исследований на более общие классы периодических аналогов выпуклых функций.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Нумерация теорем, лемм, предложений, определений и формул ведется по главам.

Первая глава состоит из четырех параграфов, в которых исследуются некоторые свойства тригонометрически выпуклых функций. Ряд результатов, известных для обычных выпуклых функций, распространен на случай тригонометрически выпуклых функций. Вторая глава также состоит из четырех параграфов, мы распространяем выпуклость в смысле Вали-рона и Беккенбаха на случай периодических функций и получаем решения некоторых экстремальных задач в более общих классах периодических аналогов выпуклых функций. В третьей главе, которая состоит из трех параграфов, изучаются некоторые приложения периодических обобщенных выпуклых функций и указываются некоторые открытые проблемы.

Опишем теперь содержание диссертации поподробнее.

В первой главе изучаются некоторые экстремальные задачи для тригонометрически выпуклых функций. Основным результатом первого параграфа является следующий аналог одной из базовых теорем теории выпуклых функций для тригонометрически выпуклых функций.

Теорема 1.1. Необходимым и достаточным условием тригонометрической выпуклости вещественнозначной, п-периодической функции f(x) является существование опорной функции для f(x) в любой точке s из Ш.

Во втором параграфе рассматриваются некоторые свойства тригонометрически выпуклых функций. Основной результат параграфа представляем в виде следующих двух теорем.

Теорема 1.2. Предположим,что f(x) является тригонометрически выпуклой функцией на (а, Ь), причем 0 < Ь—а < тг, T_s(x) является опорной функцией для f(x) в точке s Є (а, b). Тогда функция ь

Теорема 1.3. Пусть f(x) является неотрицательной, п-периоди-ческой, тригонометрически выпуклой функцией, имеющей непрерывные производные до второго порядка в Ш. Пусть, далее, F(x) является п-пе-риодической функцией, которая на [0, ж] определена следующей формулой F{x)=^l-Jf(t)dt, яє[0,7г]. о Если /^;(0)>0, f(0) = ±Jf(x)dx, о то F(x) является тригонометрически выпуклой функцией.

В теореме 1.2 мы распространяем одно экстремальное свойство выпуклых функций (см. М.Дж. Майлс [61]) на случай тригонометрически выпуклых функций. В теореме 1.3 показываем, что среднее от тригонометрически выпуклой функции также является тригонометрически выпуклой.

В параграфе 1.3 получены некоторые интегральные неравенства для тригонометрически выпуклых функций, тесно связанные с классическим неравенством, хорошо известным в литературе под названием неравенства Адамара (см., например, [47]). Приведем некоторые из утверждений этого параграфа.

Теорема 1.4. Пусть f(x) (ос < х < (3) - тригонометрически выпуклая функция. Для любых а, Ь, таких, что а < а <Ъ < (3, 0 < 6 — а < п, имеем

2 sin (^) f(^)

Теорема 1.5. Пусть f(x) является неотрицательной, 2тх- периодической, тригонометрически выпуклой функцией, определенной на Ш. Для любых а, Ъ Є К., таких, что 0 < b — а < л, имеем b J /»(*) dx < sm~ⁿ(b -а)" fy [/(a)]— [f(b)Y x a ^r~" x / sin^r(:c — a)sin^n-r(6 — x) dx її для любого n Є N.

Теорема 1.6. Пусть f{x) является дифференцируемой, 2тт-периоди-ческой, тригонометрически выпуклой функцией, определенной на IR. Для любых п Є N и а, 6 Є R (0 < 6 — а < тг) справедливо неравенство} ,, „ s , /Л\²""'^ (-І)"-¹"-¹ /2п-1\ х sin(2n - 2г - 1) ( —^ ) sin(2n - 2г - 1)а,

А* = _ґ(ї+ї) ₊ f (^) , 4a = f ^а-Р) Г'^{а + Ь}

2 J ^J \ 2 J ^J \ 2 J / ^J \ 2 J

В параграфе 1.4 рассматривается распространение одной теоремы Б.Дж. Андерсона (см. [33])на случай тригонометрически выпуклых функций. Основным результатом являются следующие теоремы.

Теорема 1.8. Пусть gi(x), g2(x),..., g_n(x) являются непрерывными выпуклыми функциями, определенными при 0 < х < 7г/2. Предположим, что #(0)=0, g_k(x)>0, k = l, 2,..., п.

Пусть f(x) является неотрицательной, 2тх-периодической, дифференцируемой, тригонометрически выпуклой функцией, определенной на R.

Если /'(0) = 0 ^и J gi_i(x)cosxdx = а^., то f mf[g_k(x)dx>-^f(0)f[a_k. fc=l /:=1

Теорема 1.9. Пусть ; и пусть выполняются условия #ь(0)=0, $*(*)>(), fc = l, 2,..., п.

Пусть, далее, /(ж) является неотрицательной, дифференцируемой, 2п-периодической, тригонометрически выпуклой функцией, определенной на R.

Если f (f) = 0, и J д_к(х) dx = a_kl о то справедливо следующее точное неравенство _{/л,)Пы.)^>^/п(Ях} ^J₀ k=i fc=i ^{ч 7} ^/ П 3 „ П 7Г².

Равенство достигается тогда и только тогда, когда /0^е) =/(7r)sinx, 0*0*0 = 7Т2"' A; = 1,2,..., п. ^Z (2)

Во второй главе рассматривается возможность построения новых классов обобщенно выпуклых функций с дополнительным условием периодичности. Ранее в литературе был известен лишь один класс такого типа -класс тригонометрически выпуклых функций. Ответ на этот вопрос является основным результатом параграфа 2.1.

Пусть gi(x),g₂(x) Є C²[(a,b)] и являются линейно независимыми решениями уравнения (0.3) у" + Р(х)у' + Q(x)y = 0, M(x) = cigi(x) + c₂g₂(x) является общим решением уравнения (0.3) на (а, Ь). Положим (0.5) l(s,t) = _gi(s)g₂{t) - _gi(t)g₂(s) для любых s, t Є (а, 6) таких, что а < 5 < t < Ь.

Определение 2.1. Вещественнозначная функция /(ж), определенная на а < х < Ь, называется суб-М функцией в (а, 6), если для произвольных 5,i, таких, что а < s < t < b, элемент М(х), график которого проходит через точки (5,/(5)), (,/()), обладает свойством f(x) < М(х) = cigi{x) + с₂д₂(х), х Є [s, *],

ММ = /(*), M(t) = f(t). / ч ,/ ч f(s)l(x,t) + f(t)l(s,x) . . (0.6) Дх) < ^{П М} '^ ^^М ', X Є [5,і].

Когда вместо (а, Ь) рассматриваются R и периодические функции с периодом Т > 0, в определение 2.1 нужно внести некоторые изменения. А именно, необходимо предположить, что существует число 5ц Є (0,Г) и неравенство (0.6) выполняется лишь в том случае, если 0 < t — s < 5ц.

Величина Sq определяется условием, гарантирующим неравенство l(s,t) >0. Например, для обычных выпуклых функций Z(s, t) = t — s, 5q = 00; для тригонометрически выпуклых функций /(s, t) = sm(t — 5), (5() = тт.

Итак, рассмотрим теперь новый класс выпуклых функций, обобщающих тригонометрически выпуклые функции, как один из классов периодических суб-М функций.

Возьмем gi(x) и д₂(х) в следующей форме gi(x) = Ф(х) cosa:, д₂(х) = ty(х) sin х, где Ф(ж), Ф(х) Є С²(К) и являются неотрицательными, 27г-периодическими функциями.

Вычисления показывают, что

5_{) = 2.02876 ... есть решение трансцендентного уравнения |tgx|=x, ЖЄ[0,7Г].

При этих требованиях на Ф(х),Ф(ж) и на выбор s,t (0 < t — s < 8ц) функция f(x) в определении 2.1 называется (Ф, Ф)-тригонометрически выпуклой.

В параграфе 2.2 изучаются некоторые дифференциальные свойства суб-М функций. Утверждения этого параграфа сформулированы в виде лемм и используются в следующем параграфе при доказательстве теоремы 2.1. Приведем формулировку одной из трех лемм этого параграфа.

Лемма 2.3. Пусть f(x) - суб-М функция на (а, Ь), тогда справедливо неравенство ь(0.7) f'{b - 0) - /'(а + 0) + [ (Pf + Qf) (х) dx > 0, причем равенство в (0.7) имеет место, если только f(x) = cigi(x) + c₂g₂(x), где Р(х) и Q(x) - функции, упомянутые ранее в (0.4) , С\ и с₂ - произвольные постоянные.

Основная цель параграфа 2.3 - найти критерий обобщенной выпуклости в терминах f'(x). Такие критерии известны для обычных выпуклых функций и тригонометрически выпуклых функций (теорема Пфлюгера). А именно, мы получаем обобщение теоремы Пфлюгера на случай суб-М функций. Основным результатом является следующая

Теорема 2.1. Пусть /(ж) является дифференцируемой функцией на (а,(3). Для того, чтобы f(x) была суб-М функцией, необходимо и достаточно, чтобы функция S(x) = f'(x) + f (Pf + Qf) (t) dt (x₀ Є (a, (3) была неубывающей на (a,(3), где P(x) и Q(x) — функции, упомянутые ранее в (0.4).

Параграф 2.4 является непосредственным обобщением некоторых результатов первой главы на случай суб-М функций. Приведем основные результаты этого параграфа.

Теорема 2.2. Пусть /(ж), а < х < (3, является суб-М функцией. Для любых а, Ъ, таких, что а < а < b < (3 и

9i(o) = 9i{b) = 2g_{ I -^- J = f y~-^ J / gi(x) dx, г = 1,2, имеют место следующие неравенства

Теорема 2.3. Пусть /(ж), а < х < (3, является суб-М функцией. Для любых а, Ь, таких, что а < а < b < (3, через Т_ч(ж) обозначим опорную функцию для /(ж) б точке s Є {a,b). / g_{(x)dx = (b - a) g_{ f- 'a + b^s г = 1,2, то минимальное значение функции

Ф)= /[/(*) -T,(x)\dx _Л a + b достигается в точке s = .

В третьей главе рассматриваются некоторые приложения периодических обобщенных выпуклых функций и открытые проблемы.

В параграфе 3.1 показываем, что в некоторых случаях суб-М функции реализуются как индикатрисы роста целых решений уравнения Бельтра-ми. Основной результат параграфа - следующее утверждение.

Теорема 3.1. Индикатриса роста для целых решений уравнения Бельтрами, имеющего частное решение q{re^l()) = ге¹⁷^' является (Ф, Ф) - тригонометрически выпуклой функцией, где _т/„. cos 7(0) _Т/Лч sin 7(0)

Ф(в) = —^, ф(0) = ,'у. ^{к J} cos0 ' ^w sinfl

В параграфе 3.2 рассматриваются некоторые интегральные оценки для кавитационных диаграмм гидропрофилей. Основным результатом является следующая

Теорема 3.2. Пусть /(се) - огибающая скоростей некоторого профиля. Тогда для любых а,Ь Ш, таких, что 0 < b — а < тг, справедливы следующие оценки (0.8) 2sin (^)/(^) < /f_{a)da < tg(b) [/(») +/(b)], J Г(а) da < sm~ⁿ(b - a) jh Q [/(а)]— [/(b)]' x a ^r=" (0.9) x /" sin^r(a - a) sinⁿ-^r(6 - a) da для любого n Є N, /* _г <(Г' SS Г:') - (0.10) х sin(2n - 2г - 1) (^b-j^) sin(2n - 2r - 1) для любого п Є N, где *-<*№)+<*№)' ^'ШЛШ-

В параграфе 3.3 даются некоторые открытые проблемы, возникшие в ходе выполнения диссертационной работы.

Из описанного материала выделим следующие результаты, выносимые на защиту: - доказательство утверждения о том, что существование опорной линии является достаточным условием тригонометрической выпуклости; - обобщения теоремы М.Дж. Майлса о точке экстремума одного интег- рала на случай тригонометрически выпуклых функций и на случай су 6-М функций; - получение нескольких интегральных неравенств типа Адамара для три- гонометрически выпуклых функций и для суб-М функций; - распространение теоремы Б.Дж. Андерсона на случай тригонометри- чески выпуклых функций; - обобщение теоремы Пфлюгера на случай суб-М функций.

Основные результаты диссертации изложены в работах [19], [20], [21], [22], [23], [62]. Результаты диссертационной работы были представлены в докладах на следующих конференциях:

1. Всероссийская школа-конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", посвященная 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова, 13-18 сентября, 1999, Казань.

Итоговая научная конференция Казанского университета за 1999 год. Summer school and б— international symposium on generalized convexity

I Monotonicity. Samos, Greece. 1999. Department of Mathematics, University of the Aegean. 1999.

Результаты диссертации по мере их получения, а также в целом докладывались на семинаре отдела математического анализа НИИММ под руководством д.ф.-м.н. Ф.Г. Авхадиева.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. Ф.Г. Авхадиеву за вдохновляющие беседы, стимулирующие плодотворные дискуссии и постоянное внимание к работе. Автор благодарит также сотрудников Отделения математики НИИММ, способствовавших улучшению работы многочисленными вопросами и плодотворными обсуждениями на семинарах.

Некоторые свойства тригонометрически выпуклых функций

В 1929 году Пойа показал, что субтригонометрические функции обладают некоторыми дифференциальными свойствами, аналогичными свойствам выпуклых функций.

В 1932 году Валирон [71] попутно отметил, что этот анализ можно распространить на функции f{x), мажорируемые функциями вида если функции Ф[х) и \(х) обладают некоторыми желательными свойствами.

Кратко требования Валирона можно описать следующим образом. Функции Ф(х) и Я (х) считаются непрерывно дифференцируемыми, причем Ф (х) и Ф (ж) являются функциями ограниченной вариации. Кроме того, нули Ф(х) и Ф(х) разделяют друг друга. (ii) Теперь рассмотрим направление, связанное с модификациями. По-видимому, одна из первых модификаций принадлежит Финет-ти (1949), который ввел понятие квазивыпуклости. В дальнейшем было предложено множество типов модификаций согласно возникшим потребностям и, в частности, исходя из приложений. Такого типа модификации (обобщения) развивались в работах Тью (Тиу), Хансона (Hanson), Мангасариана (Mangasarian), Понстейна (Ponstein), Карамар-диана (Karamardian), Ортега и Райнволда (Ortega-Rheinbold), Авриела, Дайверта, Шейбла, Зангда (Avriel-Diewert-Schaible-Zang) и других. Вкратце некоторые типы этих обобщений можно описать следующим образом. Пусть f(x) является отображением из вещественного топологического векторного пространства X в расширенную вещественную ось Ш U {+оо}. Для любых х,у Є dom/, для любого вещественного числа Л обозначим Функция / называется і) квазивыпуклой, если (0.1) d(x,;y,A) 0 для любых x,yGdomf, А Є (0,1); ii) строго квазивыпуклой, если в (0.1) для х ф у выполняется строгое неравенство; iii) полустрого квазивыпуклой, если строгое неравенство в (0.1) выполняется, когда /(х) ф f{y) , iv) -псевдовыпуклой, если для любых ж,у Є dom/ с условием f(y) /(ж), существуют /3(х,у) 0 и 5(х,у) Є (0,1] такие, что (0.2) d(x,?/,A) Щх,у) для любого Л Є (0, 5(ж, у)); v) строго псевдовыпуклой, если (0.2) выполняется как только /Ы /W, хфу Эти и некоторые другие обобщения выпуклых функций исследовались в большом числе работ (см. [42], [45], [57], [59] [60] и библиографию в этих работах). Настоящая диссертация посвящена изучению первой ветви из второго направления в описанных выше обобщениях выпуклых функций. Основная цель данной работы - распространение ряда результатов, известных для обычных выпуклых функций, на случай тригонометрически выпуклых функций, а также распространение этих исследований на более общие классы периодических аналогов выпуклых функций. Диссертация состоит из введения и трех глав. Нумерация теорем, лемм, предложений, определений и формул ведется по главам. Первая глава состоит из четырех параграфов, в которых исследуются некоторые свойства тригонометрически выпуклых функций. Ряд результатов, известных для обычных выпуклых функций, распространен на случай тригонометрически выпуклых функций. Вторая глава также состоит из четырех параграфов, мы распространяем выпуклость в смысле Вали-рона и Беккенбаха на случай периодических функций и получаем решения некоторых экстремальных задач в более общих классах периодических аналогов выпуклых функций. В третьей главе, которая состоит из трех параграфов, изучаются некоторые приложения периодических обобщенных выпуклых функций и указываются некоторые открытые проблемы. Опишем теперь содержание диссертации поподробнее. В первой главе изучаются некоторые экстремальные задачи для тригонометрически выпуклых функций. Основным результатом первого параграфа является следующий аналог одной из базовых теорем теории выпуклых функций для тригонометрически выпуклых функций. Теорема 1.1. Необходимым и достаточным условием тригонометрической выпуклости вещественнозначной, п-периодической функции f(x) является существование опорной функции для f(x) в любой точке s из Ш. Во втором параграфе рассматриваются некоторые свойства тригонометрически выпуклых функций. Основной результат параграфа представляем в виде следующих двух теорем.

Распространение теоремы Б. Дж. Андерсона на случай тригонометрически выпуклых функций

Различные обобщения понятия выпуклой функции одной переменной можно найти в работах [35] и [71].

В 1908 году Фрагмен и Линделеф показали, что если f(z) является целой функцией конечного порядка, то индикаторная функция f(z) имеет свойство тригонометрической выпуклости.

В 1929 году Пойа показал, что субтригонометрические функции обладают некоторыми дифференциальными свойствами, аналогичными свойствам выпуклых функций. В 1932 году Валирон [71] попутно отметил, что этот анализ можно распространить на функции /(ж), мажорируемые функциями вида если функции Ф(ж) и Ф(ж) обладают некоторыми желательными свойствами.

Кратко требования Валирона можно описать следующим образом. Функции Ф(х) и Ф(ж) считаются непрерывно дифференцируемыми, причем Ф (ж) и Ф [х) являются функциями ограниченной вариации. Кроме того, нули Ф(х) и Ф(х) разделяют друг друга. Для дважды непрерывно дифференцируемых функций это условие означает, что Ф(х) и Ф(а:) должны удовлетворять условиям теоремы Штурма. Теорема Штурма (см. [28], стр. 252). Если х( и х\ суть два последовательных нуля решения у\(х) дифференциального уравнения второго порядка, то всякое другое линейно независимое решение У2{х) того же уравнения имеет в точности один нуль между Жо и х\. Более общий подход принадлежит Беккенбаху [35]. Пусть {F(x)} - се мейство непрерывных функций F(x), определенных в интервале а х 6, таких, что для произвольно заданных точек Рі (яі,уі), Р2 ( 2,2/2) с условием а х\ X2 Ь, существует единственный элемент из {F(x)}, график которого проходит через Pi и Рг- Функция f(x), мажорируемая семейством {F(x)}, называется в [35] выпуклой относительно семейства {F(x)} или cy6-F(x) функцией (в смысле Беккенбаха). Как утверждает хорошо известная теорема, необходимое и достаточное условие выпуклости для дважды дифференцируемой функции у(х), а х 6, имеет вид у" 0. Геометрически график выпуклой функции может быть определен как кривая, соединяющая две своих точки вдоль прямолинейной хорды или ниже ее. Дифференциальную характеристику этого факта можно выразить так: выпуклая функция мажорируется решениями дифференциального уравнения у" — 0. Ряд математиков, например, Бонсалл [40], Грин [51, 52, 53], Пайксо-то [64], Фонтен и Джексон [50], Джексон и Шредер [56] и Шредер [69] изучили субфункции по отношению к решениям обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Эти субфункции являются специальными подклассами обобщенных выпуклых функций в смысле Беккенбаха. В данной главе выпуклые функции обобщаются рассмотрением функ ций, мажорируемых решениями более общих дифференциальных уравнений. Мы распространяем также выпуклость в смысле Валирона и Беккенба-ха на случай периодических функций. 2.1 Определение периодических су 6-М функций и их элементарные характеристики. Пусть ?і(ж), д2{х) Є C2[(a,b)] и являются линейно независимыми решениями однородного дифференциального уравнения второго порядка Мы можем утверждать, что {М(х) = с\д\(х) + с2д2(х), а а: 6} - двух-параметрическое семейство функций, образованное решениями уравнения (2.1) с непрерывными коэффициентами на (а, Ь). Пусть для любых s, t Є (a, b) таких, что а s t b. Пусть, далее, функция f(x) мажорируется семейством {М(х)}. Очевидно, что (і) любой элемент М(х) является непрерывной функцией от ж в (а, 6); (ii) для любых s, t Є (а, 6) таких, что а s t b, существует единственный элемент М(х) нашего семейства, график которого проходит через точки (s,/(s)), ( ,/()) Действительно, поскольку элемент М(х) удовлетворяет равенствам то система cm{t) + c2g2{t) = f(t) имеет единственное решение сі и С2, так как /(s, t) ф 0 в силу (2.5). Поэтому М(х) для выбранных точек s, t имеет следующую форму Следовательно, мы можем написать следующее определение. Определение 2.1. Вещественнозначная функция /(ж), определенная на а х Ь, называется суб-М функцией на (а, Ь), если для произвольных s,, таких, что а s t Ь, элемент М(х), график которого проходит через точки (5,/(5)), (, /()) обладает свойством /(ж) M(s) = cigi{x)

Неравенство Адамара и одна экстремальная задача для суб- М функций

В этом параграфе кратко перечислены некоторые задачи, которые автор намеревается рассмотреть в будущем. Сюда входят как вопросы, поставленные мне научным руководителем, так и вопросы, которые возникли у меня в ходе чтения литературы по теме диссертации. 1. Ф.Г. Авхадиев и Д.В. Маклаков (см. [2], [3]) показали, что если функ ция /(ж) - непрерывная, неотрицательная, 7Г-периодическая на числовой прямой, то f(x) является тригонометрически выпуклой тогда и только тогда, когда функция ... . тт является неубывающей и \q(x) — х\ — Найти аналог этой теоремы в случае суб-М функций. 2. Ф.Г. Авхадиев и Д.В. Маклаков (см. [4])показали, что если функция д( у) - непрерывная, неотрицательная, 7Г-периодическая, тригонометричес ки выпуклая, то функция /(а) = max {#(7) cos(7 - a)\j является сопряженной функцией для g(j). Найти формулы для /(а), когда (7(7) является знакопеременной. 3. Найти точку минимума для функции где /(ж) - тригонометрически выпуклая функция. Известно, что если п=1, а + Ъ . то минимум достигается в точке 5 = —-— (см. главу I, параграф 2, теоре му 1.2, а также главу II, параграф 4, теорему 2.3 диссертации). А также получить обобщения на случай суб-М функций. 4. Найти нижние оценки для интеграла где /(ж) - тригонометрически выпуклая функция в любом фиксированном интервале (а, 6). Таким образом, речь идет об обобщении и усилении теорем 1.6 и 1.7 параграфа 3 главы I о нижних оценках. 5. Найти полный аналог теоремы Андерсона на случай тригонометрически выпуклых функций, т. е. когда все функции, входящие в произведение, являются тригонометрически выпуклыми. 6. В параграфе 1 главы III мы рассмотрели индикатор целых решений уравнения Бельтрами специального вида. Нужно найти связь между индикатрисой роста и обобщенно выпуклыми функциями для общего уравнения Бельтрами. 7. Найти аналог теоремы Пойа (см. главу I, параграф 2 диссер тации) на случай функций, обобщающих субгармонические функции (см. [6],[25],[30],[32],[66]) двух независимых переменных. А именно, для ка ких функций /(ж,т/) справедливо следующее дифференциальное неравен ство где А(х,у) - непрерывная функция в плоскости (ж,у). 8. Многие процессы в биологии и физике являются периодически ми [9],[10],[31]. Найти конкретное явление, описание которого существен но связано с периодическими обобщенно выпуклыми функциями одной или нескольких переменных. К настоящему времени известно только од но приложение такого типа: кавитационные диаграммы гидропрофилей связаны с 7г-периодическими тригонометрически выпуклыми функциями (см. [2],[3],[34] и параграф 2 главы III диссертации).

Интегральные оценки для кавитационных диаграмм гидропрофилей

В параграфе 2.2 изучаются некоторые дифференциальные свойства суб-М функций. Утверждения этого параграфа сформулированы в виде лемм и используются в следующем параграфе при доказательстве теоремы 2.1. Приведем формулировку одной из трех лемм этого параграфа.

Лемма 2.3. Пусть f(x) - суб-М функция на (а, Ь), тогда справедливо неравенство причем равенство в (0.7) имеет место, если только где Р(х) и Q(x) - функции, упомянутые ранее в (0.4) , С\ и с2 - произвольные постоянные. Основная цель параграфа 2.3 - найти критерий обобщенной выпуклости в терминах f (x). Такие критерии известны для обычных выпуклых функций и тригонометрически выпуклых функций (теорема Пфлюгера). А именно, мы получаем обобщение теоремы Пфлюгера на случай суб-М функций. Основным результатом является следующая Теорема 2.1. Пусть /(ж) является дифференцируемой функцией на (а,(3). Для того, чтобы f(x) была суб-М функцией, необходимо и достаточно, чтобы функция была неубывающей на (a,(3), где P(x) и Q(x) — функции, упомянутые ранее в (0.4). Параграф 2.4 является непосредственным обобщением некоторых результатов первой главы на случай суб-М функций. Приведем основные результаты этого параграфа. В третьей главе рассматриваются некоторые приложения периодических обобщенных выпуклых функций и открытые проблемы. В параграфе 3.1 показываем, что в некоторых случаях суб-М функции реализуются как индикатрисы роста целых решений уравнения Бельтра-ми. Основной результат параграфа - следующее утверждение. Теорема 3.1. Индикатриса роста для целых решений уравнения Бельтрами, имеющего частное решение q{rel()) = ге17 является (Ф, Ф) - тригонометрически выпуклой функцией, где В параграфе 3.2 рассматриваются некоторые интегральные оценки для кавитационных диаграмм гидропрофилей. Основным результатом является следующая Теорема 3.2. Пусть /(се) - огибающая скоростей некоторого профиля. Тогда для любых а,Ь Ш, таких, что 0 b — а ТГ, справедливы следующие оценки для любого п Є N, где В параграфе 3.3 даются некоторые открытые проблемы, возникшие в ходе выполнения диссертационной работы. Из описанного материала выделим следующие результаты, выносимые на защиту: - доказательство утверждения о том, что существование опорной линии является достаточным условием тригонометрической выпуклости; - обобщения теоремы М.Дж. Майлса о точке экстремума одного интег рала на случай тригонометрически выпуклых функций и на случай су 6-М функций; - получение нескольких интегральных неравенств типа Адамара для три гонометрически выпуклых функций и для суб-М функций; - распространение теоремы Б.Дж. Андерсона на случай тригонометри чески выпуклых функций; - обобщение теоремы Пфлюгера на случай суб-М функций. Основные результаты диссертации изложены в работах [19], [20], [21], [22], [23], [62]. Результаты диссертационной работы были представлены в докладах на следующих конференциях: 1. Всероссийская школа-конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", посвященная 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова, 13-18 сентября, 1999, Казань. 2. Итоговая научная конференция Казанского университета за 1999 год. 3. Summer school and б— international symposium on generalized convexity I Monotonicity. Samos, Greece. 1999. Department of Mathematics, University of the Aegean. 1999. Результаты диссертации по мере их получения, а также в целом докладывались на семинаре отдела математического анализа НИИММ под руководством д.ф.-м.н. Ф.Г. Авхадиева. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. Ф.Г. Авхадиеву за вдохновляющие беседы, стимулирующие плодотворные дискуссии и постоянное внимание к работе. Автор благодарит также сотрудников Отделения математики НИИММ, способствовавших улучшению работы многочисленными вопросами и плодотворными обсуждениями на семинарах.

Похожие диссертации на Периодические аналоги выпуклых функций и их приложения

Аналоги пространств Соболева в теории новых обобщенных функций и их приложенияФурсенко, Наталья Владимировна

Равномерно-касательные приближения аналитическими функциями, приложенияСаакян, Рубен Швайцикович

Некоторые вопросы аппроксимации и интерполяции рациональными функциями : Приложения к уровням эллиптического типаДанченко Дания Яхиевна

Некоторые вопросы теории и приложений функций гипергеометрического типа Ву Ким Туан 0

Линейные функциональные уравнения для аналитических в бикруге функций и приложенияКрушевский, Евгений Александрович

Приближенное решение краевых задач теории аналитических функций и их приложенийТихоненко, Николай Яковлевич

Характеристики роста аналитических функций и их приложения Гайдай наталия Николаевна

Асимптотические характеристики целых функций и их приложенияМаергойз, Лев Сергеевич

Интегральные представления бикватернионных гиперголоморфных функций и их приложенияКравченко, Владислав Викторович

Исследование линейных функциональных уравнений для аналитических в бикруге функций методом униформизации и приложенияГортайре Хатива Данило Алваро