Характеристики роста аналитических функций и их приложения Гайдай наталия Николаевна

Порядок и тип по совокупности переменных функций, аналитических в ограниченных областях банахова пространства

Для функций $ Я ( 4д ) распределение нулей связано с ее порядком, верно и обратное: по некоторой последовательности точек {# 1 из Лк можно построить бесконечное произведение типа произведения Вейерштрасса, представляющее в Д R аналитическую функцию, которая имеет нули в точках последовательности { а$\ и порядок, зависящий от распределения точек Qg в круге Д R [26], [36], [41], [42] .

Перечисленные задачи одномерного комплексного анализа вполне естественно переносятся на многомерный случай. Их решение и сравнение полученных результатов с фактами из теории целых функций и составляет содержание диссертационной работы.

Заметим, что общая теория банаховых пространств [8]ДіЗІ, [іб],[l7], позволила изучать рост аналитических в ограниченных областю: функций в произвольном конечномерном банаховом пространстве (см. 1-4 гл.1) а затем уже, как следствия, получить результаты для ограниченных круговых & и кратно-круговых областей многомерного комплексного пространства (см. 5 гл.П).

В 1-4 гл.1 определены различные характеристики роста функций, аналитических в ограниченных областях банахова пространства X : порядок и тип аналитической функции в единичном шаре & (1), порядок и тип по совокупности переменных аналитической функции в полных кратно-круговых областях (2), сопряженные порядки и типы аналитической функции в кратно-круговых областях ( 3). В каждом из параграфов получены формулы, связывающие введенные характеристики роста функции с компонентами ее тейлоровского разложения; приведены примеры, иллюстрирующие изложение.

Вторая глава посвящена росту аналитических функций в ограниченных круговых и кратно-круговых областях пространства С"" . (D( Г) - непрерывная на ГОД] функция, при этом соответственно были получены порядок и тип по совокупности переменных, сопряженные порядки и типы, уточненный порядок, логарифмические порядок и тип, ? - порядок и q- тип. Результаты о связи введенных характеристик роста функции с коэффициентами ее тейлоровского разложения следовали непосредственно из теорем 1-ой главы. Применением методов 1-ой главы оказалось возможным распространить часть результатов на ограниченные круговые области. В этом же параграфе получен результат об экстремальных скоростях роста: существуют аналитические в полицилиндре функции, имеющие как угодно различающиеся нижний и верхний порядки. В 6 изучался рост по каждой из переменных функции $- , аналитической в области $ , при этом обнаружено существенное отличие от случая целых функций: порядок функции f по переменной Зі для аналитических в области Ъ функций, вообще говоря, зависит от способа фиксирования оставшихся переменных. Исследованию связей между введенными в 5,6 характеристиками роста посвящен 7. В третьей главе даны некоторые приложения характеристик роста, рассмотренных в 1-ой и П-ой главах. В 8 разработан метод Вимана-Валирона для функций, аналитических в ограниченной кратно-круговой области,и применен к исследованию свойств решений алгебраических дифференциальных уравнений вида где Ф - полином от указанных переменных, - функция, аналитическая в области Я , LxC3 - 2Л г, + + 2п \2п +$0 " - оператор, введенный И.И.Бавриным в С2І . В 9 получены результаты о свойствах функций иррегулярного роста, доказаны формулы для вычисления нижнего порядка и нижнего типа некоторого класса функций. Б 10 построено бесконечное произведение, которое определяет в области аналитическую функцию с заданными нулевыми поверхностями. Порядок этой функции зависит от свойств семейства нулевых поверхностей. Данная работа примыкает к исследованиям по изучению роста целых функций многих комплексных переменных, а также тесно связана с теорией роста функций, аналитических в круге. Используемые методы доказательства - это, в основном, модификация методов названных выше теорий, а полученные результаты либо аналогичны соответствующим результатам из теории целых функций и функций, аналитических в круге, либо проявляют специфику рассматриваемого многомерного случая (см., например, 6, п.1; 8, п. 4,5). Укажем основные результаты работы: 1. Введены характеристики роста для абстрактных аналитических функций в ограниченных областях банахова пространства. Б качестве примера рассмотрен рост голоморфных отображений (пример 2.2.1). 2. Изучены характеристики роста функций в ограниченных круговых областях пространства С (теорема 5.2.1). 3. Получено утверждение: рост функции, аналитической в ограниченной кратно-круговой области, по одной из переменных зависит, вообще говоря, от фиксирования оставшихся переменных (6, п.1). 4. Установлены соотношения между различными характеристиками роста функции, аналитической в ограниченной кратно-круговой области ( 7 ).

Медленно и быстро растущие аналитические функции в ограниченных областях банахова пространства

Определение 5.I.I. функция э(г), непрерывная на СО, I], называется уточненным порядком функции L порядка p(f,5u) oo для интервала [О, I] , если При таком определении уточненного порядка функция (,1 - П монотонно растет для всех Г , достаточно близких к I. Теорема 5 Л»2. Пусть б Л (9) ), - неограничена в # и имеет конечный ненулевой порядок (Э ( L , % ). Тогда можно так подобрать уточненный порядок р( Г ), что для всех г-е Го, I] и для некоторой последовательности {fKlM Доказательство спустим, т.к. оно повторяет доказательство теремы 16 из Г 7] , стр.52-54. В этом пункте рост аналитической функции t характеризовался ростом ее мажорант « (f ) или М ( (\ , ..., ). Следуя Маергойзу JLC. Г24] , можно ввести шкалу роста функций класса л ( 9 ): Для любой функции є А ( # ) конечного ненулевого порядка в этой шкале существует единственная функция ехр (і-г) в некотором смысле асимптотически эквивалентная М(г). Здесь -порядок функции Z в области # (5.1.2). В качестве шкалы роста функций класса J (# ) выбирались такхже функции вида ( еэар О - г) J . Порядок аналитической функции относительно любой из этих шкал есть либо число из Я + , либо элемент из R+ , либо функция р ( г), непрерывная на ГО, i] . 2. Рост Функций, аналитических в ограниченных круговых областях. В п.1 5 речь шла о характеристиках роста функций, аналитических в ограниченных кратно-круговых областях. Введенные понятия характеристик роста функции по совокупности переменных можно распространить на случай функций, аналитических в ограниченной полной круговой области ? с С1" , при этом полученные формулы для порядка и типа, а также неравенства для нижнего порядка и нижнего типа незначительно изменяются. Если А ( (у ), то функцию -1 в области G- можно разложить в ряд по однородным полиномам С 16 , ч.П, стр. 52],: равномерно сходящийся на компактных подмножествах G- . Определения порядка р ( , С-) и типа б" ( , ) а также нижнего порядка А ( $ , G ) и нижнего типа функции 6 Л ( ) остаются прежними (см.(5.1.2), (5.1.3)). Следуя И.И.Баврину, будем обозначать fl , стр.34]: По неравенствам Коши для функции Ф ( 3 ) и вследствие (5.2.5) Точка 20 - фиксировалась произвольно в области - , поэтому, переходя к точной верхней грани по г0 є 6- в последнем неравенстве, будем иметь: Далее повторяя доказательство теоремы I.2.I, получим: При доказательстве обратного неравенства следует учесть, что и рассуждать так же, как во второй части доказательства теоремы I.2.I. Для второго соотношения теоремы доказательство аналогичное. Замечание 5.2.2. Если область - будет выпуклой, то формулы (5.2.3) и (5.2.4) следуют из соотношений (1.2.2) и (1.2.3) теоремы I.2.I, т.к. в этом случае область G- является единичным шаром по некоторой норме (( II L22] и M(.r) maot\{\ = max f 3. Об экстремальных скоростях роста функций. аналитических в полицилиндре. В данном пункте будут доказаны теоремы, описывающие поведение максимума модуля функции, аналитической в полицилиндре, Іп(і) = \}Є :\і,і\ А, і =1,..., nj а именно, будет показано, что существует аналитическая функция, модуля максимум которой имеет произвольную скорость роста на двух раз - 59 личных последовательностях. Вначале приведем теоремы для целых функций, а затем перейдем к интересующему нас случаю аналитических функций. Одномерный случай был ранее рассмотрен в работе С34] . Теорема А. Пусть & ( г) и $ ( r) положительные функ ции от Г , С-є (О, « ) такие, что Тогда существует целая функция ( 2 ), 2 є С с неотрицательными коэффициентами такая, что для двух последовательностей і ері , / Гр] , ре// положительных чисел, монотонно стремящихся к оо , выполнено:

Соотношения между характеристиками роста функции, аналитической в кратно-круговой области

В этом пункте будет построена аналитическая в ограниченной области функция в виде бесконечного произведения, которая обращается в ноль в одномерном случае в точках некоторой заданной последовательности { СкЛ , Ск Є С К = 1,2,..., а в случае мнргихкогшлексных переменных на последовательности аналитических поверхностей {/1к (?кО)= Ск,Ивл/] . Идея такого построения принадлежит Б.И.Одвирко-Зудко Г27J , а метод доказательства - комбинация методов работ Г27J и [26J . Для функций, аналитических в единичном круге, произведения более общего вида рассматривались Джрбашяном М.М. в книге ГІ5 , с. 622.].

Пусть -11 - область в С , ограниченная простым спрямляемым контуром jf , и последовательность функций удовлетворяет условиям: 1) 2К при любом К Є Л/ осуществляет одно листное конформное отображение облас ти на крут Д ; 2) последовательность { lK (і)\ равномерно сходится в области Л Заметим, что при этом последовательность { fK (Ї)] при К к0 равностепенно ограничена в области Jl» . Пусть далее {Ск\ f dfteSL - последовательность точек из J/L , сходящаяся к точке С на f Положим d = Д (ск) ; dK= d(dt,T) Ъ = 1 - ick I ; et - расстояние между точкой и контуром. Лемма I0.I.I. Если при некотором натуральном (J Справедливо и обратное, т.е. из условий (10.1.3) следует (10.1.2). Доказательство леммы опустим, т.к. оно совпадает с доказательством теоремы-I из [27] . Теорема І0.І.І. Если в области Sic с , ограниченной простым спрямляемым контуром f и содержащей внутри точку =0, дана последовательность точек / ек \ , сходящаяся к точке С Є If » и при некотором натуральном то бесконечное произведение в котором последовательность к 1 удовлетворяет условиям (I0.I.I) и Ск = к ( & ). определяет в -П. аналитическую функцию, имеющую нули лишь в точках последовательности { Ск} . Доказательство. Рассмотрим частичный множитель Пк ( 2- ) произведения (10.1.5): Пусть компакт п G JJL и при -, Ко К Постоянная существует в силу равностепенной ограниченности последовательности ( 2 ) для К. К0 , заметим, что О R I. Если Г такое, что I - R = 4 (I - ), то при I Ск / г , где К к0 будем иметь для точек г из компакта " : Отсюда следует с учетом условия (10.1.4) и леммы І0.І.І, что бесконечное произведение (10.1.5) сходится в произвольной точке і s 1С и определяет аналитическую в области S1 функцию, причем, поскольку к ( і )- однолистны, то произведение (10.1.5) имеет нули лишь в точках к . Формула (10.1.5) является обобщением на случай произволь-ной области SL с бесконечных произведений, которые рассматривались для единичного крута в работах L261 , С 391 , [41] , С42] . Теорема I0.I.I. допускает обобщение на многомерный случай. Пусть & - ограниченная полная кратно-круговая область из С" и пусть {ч цС )\ равномерно сходящаяся последова тельность аналитических в $ и непрерывных в # функций, которая имеет пределом ограниченную функцию (/ ( 2г )Ф соплЬ # Обозначим через области изменения функций Фк ( ) и (f ( 2 ), через Гк и )f будем обозначать их контуры. Предположим, что р« и jf простые спрямляемые кривые. Пусть последовательность { 6tc ] , Ск є SI к сходится к точке с е у . Теорема 10.1.2. Если в области %) с С1, дана последовательность аналитических поверхностей (Пк : PKte)=cJ (Ю.І.6) и при некотором натуральном 9 то существует аналитическая в %) функция ( 2 ), нулевые поверхности которой совпадают с семейством поверхностей (10.1.6). Доказательство, функция @ ( В ) с нужными свойствами будет построена в виде бесконечного произведения. Вначале рассмотрим случай, когда все области AL к совпадают с единичным кругом Д =/if єС . и 1}. В справедливости формулХЮ.1.8) убеждаемся, проводя рассуждения, аналогичные доказательству теоремы І0.І.І. Пусть геТ , . Тогда при К Ко и гг є % и в силу условия (10.1.7) бесконечное произведение (10.1.8) сходится равномерно на любом компакте і? из л) , поэтому функция ( ) аналитична в области %)

О связи максимального члена и центрального индекса при некотором условии регулярности

Формула (10.1.5) является обобщением на случай произволь-ной области SL с бесконечных произведений, которые рассматривались для единичного крута в работах L261 , С 391 , [41] , С42] .

Теорема I0.I.I. допускает обобщение на многомерный случай. Пусть & - ограниченная полная кратно-круговая область из С" и пусть {ч цС )\ равномерно сходящаяся последова тельность аналитических в $ и непрерывных в # функций, которая имеет пределом ограниченную функцию (/ ( 2г )Ф соплЬ # Обозначим через области изменения функций Фк ( ) и (f ( 2 ), через Гк и )f будем обозначать их контуры. Предположим, что р« и jf простые спрямляемые кривые. Пусть последовательность { 6tc ] , Ск є SI к сходится к точке с е у . Теорема 10.1.2. Если в области %) с С1, дана последовательность аналитических поверхностей и при некотором натуральном 9 то существует аналитическая в %) функция ( 2 ), нулевые поверхности которой совпадают с семейством поверхностей (10.1.6). Доказательство, функция @ ( В ) с нужными свойствами будет построена в виде бесконечного произведения. Вначале рассмотрим случай, когда все области AL к совпадают с единичным кругом Д =/if єС . и 1}. Тогда __ 0 В справедливости формулХЮ.1.8) убеждаемся, проводя рассуждения, аналогичные доказательству теоремы І0.І.І. Пусть геТ , . Тогда при К Ко и гг є % Выберем г так, что I - d = 4(1 - Г) и для точек Ck , (Ск I будем иметь: и в силу условия (10.1.7) бесконечное произведение (10.1.8) сходится равномерно на любом компакте і? из л) , поэтому функция ( ) аналитична в области %) Снимем ограничение, наложенное на области АІ к . Последова тельность [Sl ] сходится к области АІ вследствие сходимости последовательности [ фк (±)} к функции Ц ( 2 ). Пусть fK(U,) однолистное конформное отображение области SL к на круг & . Положим Фк ( 2 ) = к( ( )); Последовательность I K J равномерно сходится в # (см. С27] ) и областью значений Фк( ) является круг А . По лемме ЮЛ.I последовательность точек { С« } удовлетворяет условию: Таким образом, формулу (10.1.8) можно записать для последовательности поверхностей { Пк - Фк (г) = (?к j 5удем иметь: - 104 -2. Оценки порядка роста бесконечного произведения. В некоторых случаях можно оценивать порядок бесконечного произведения типа (10.1.8). Теорема 10.2.1. Если последовательность іЛк . 4 ) = 0 удовлетворяет условиям теоремы 10.1.2 и то порядок /э ( , # ) функции і (2 ) в области Ь не превосходит 9 + 1: Доказательство. Из обобщения леммы Шварца LI , стр.50] получаем: Отсюда и из оценки (10.1.9) следует утверждение теоремы. Оказывается возможным получить более точную оценку на рост бесконечного произведения типа (10.1.8) при иных предположениях относительно распределения точек С . , при этом используется модификация метода из работы Г38] . ІЗудем считать, что Lf K a ip для всех к , причем У- Я) - й ; С/ Го)=0 Тогда последовательность нулевых поверхностей (10.1.6) будет иметь вид: Для данного значения G через &&,т- обозначим область (I0.2.I), где я и /п - целые, такие, что fin Ои-л к$.г -1. Справедлива следующая Теорема 10.2.2. Пусть т0 - положительное целое, /2 0 и для некоторого 9 из Го,2 J ) найдется не более, чем С- 2 9 -у"точек С/ в каждой из областей o rru для tn т0 . Тогда если ? - целое и q , то функция (2 ), определенная в (10.1.8), аналитична.

Похожие диссертации на Характеристики роста аналитических функций и их приложения

Асимптотические характеристики целых функций и их приложенияМаергойз, Лев Сергеевич

Факторизация и параметрическое представление классов мероморфных функций с ограничениями на рост характеристики НеванлинныШубабко Елена Николаевна

Описание следов, характеризация главных частей в разложении Лорана классов мероморфных функций с ограничениями на рост характеристики Р. НеванлинныБеднаж Вера Аркадьевна

Некоторые вопросы теории и приложений функций гипергеометрического типа Ву Ким Туан 0

Равномерно-касательные приближения аналитическими функциями, приложенияСаакян, Рубен Швайцикович

Некоторые вопросы аппроксимации и интерполяции рациональными функциями : Приложения к уровням эллиптического типаДанченко Дания Яхиевна

Линейные функциональные уравнения для аналитических в бикруге функций и приложенияКрушевский, Евгений Александрович

Интегральные представления бикватернионных гиперголоморфных функций и их приложенияКравченко, Владислав Викторович

Периодические аналоги выпуклых функций и их приложенияМохамед Сабри Салем Али

Аналоги пространств Соболева в теории новых обобщенных функций и их приложенияФурсенко, Наталья Владимировна