Введение к работе
Актуальность темы. Работа посещена некоторым вопросам ап-роксимации шаров в банаховых пространствах и её приложению, свя-анному с решением некоторых вариантов проблемы Хоффмана-Лорген-ена о совпадении двух вероятностных борелевских мер на сепара-ельном банаховом пространстве, принимающих одинаковые значения а семействе 3 всех шаров.
При решении проблемы Хоффмана-Лоргенсена для семейства ша->ов единичного радиуса в конкретных банаховых пространствах 1.А.Рисе было установлено наличие в некоторых бесконечномерных іространствах свойства аппроксимации малых шаров шарами фиксиро-анного ладиуса (пространства, обладающие этим свойством, назы-агатся К - пространствами). При этом под аппроксимацией множеств ообще понимаем следующее:
А =» йлклА.. 4Фг7^«(х) = hv*X д(х) для любого х е X ч"& А .
Наличие в банаховом пространстве свойства аппроксимации :алых шаров шарами фиксированного радиуса позволяет сводить доказательство свойства Хоффмана-Люргенсена для семейства шаров еди-:ичного радиуса'К'доказательству этого свойства для семейства ма-ых шаров, а именно: если в банаховом . - пространстве X вы-юлняется свойство Хоффмана-Лоргенсена для семейства малых шаров, 'о это свойство выполняется и для семейства шаров единичного ра-,иуса.
Отметим один вариант, тесне связанный с аппроксимацией ша-юв шарами: совпадают ли две вероятностные борелевские меры, оп-еделенные на сепарабельном банаховом пространстве, если извест-:о, что они принимают равные значения на всех шарах с центрами некот ;,ом наперед заданном множестве А ? Из теоремы Прайсса Тишера следует, что если А всюду плотно, то ответ на этот во-рос положителен. В случае же, когда А не является всюду плот-ым множеством, естественно возникает вопрос: можно ли для произ-ольного шара В в'рассматриваемом пространстве найти аппрокси-ирующую В последовательность шаров, центры которых прі'чадлежат ножеству А ? Положительный ответ на этот вопрос и непрерыв-ость конечной меры относительно введенного предельного перехода
позволяют заключить, ч^о меры в этой случав совпадают.
Цель исследования состояла в изучении круга вопросов, связанных с аппроксимацией шаров шарами. Все вопросы аппроксима ции предлагаемой работы сводятся к изучению двух основных.
Первый вопрос заключается в следующем. Цусть о - некото^ рое семейство выпуклых открытых множеств. Какие множества содержатся в & ?
Второй вопрос заключается в исследовании возможности для произвольного шара В (^ - пространства найти аппроксимирующую В последовательность шаров, центры которых принадлежат некоторому наперед заданному множеству А . В случае когда А полупространство встает вопрос о возможности "отделения" центра аппроксимируемого шара от центров шаров аппроксимирующей последователі пости некоторой гиперплоскостью. В этом случае гиперплоскость называется проницаемой. Если же полупространство Р содержит лишь конечное число центров любой последовательности, аппроксимирующей шар с центром из X \ Р , то граница полупространства Р - гиперплоскость "ЭР- называется жесткой.
Научная новизна. В работе получены следующие результаты:
-
Для любого шара В банахова ft, - пространств ожно найти аппроксимирующую В последовательность шаров, це.._ры которых принадлежат некоторому наперед заданному нормальному конусу.
-
Для любого шара банахова (^- пространства можно найти аппроксимирующую этот шар последовательность шаров, центры которых принадлежат любому наперед заданному полупространству, сс-дер жащему центр аппроксимируемого шара.
-
В пространстве С\0;П всякий шар можно аппроксимироваї шарами, центры которых принадлежат любоі* наперед заданной гиперплоскости. !
Из этого утверждения, очевидно, следует, что всякая гиперплоскость в пространстве C\0;lj является проницаемой.
Таким образом, для совпадения двух вероятностных борелев-ских мер на пространстве СЮ;П достаточно, чтобы они принимали одинаковые значения на всех шарах с центрами из некото, о полупространства.
-
Замыкание семейства шаров единичного радиуса и ирост-:тве С[0;1] содержит множества, являющиеся шарами и некото-эквивалентных нормах.
-
В пространстве С [0;1] доказано существование проница-с гиперплоскостей.
-
Доказано существование как жестких, так и проницаемых ірплоскостей в'пространстве ti .
-
В пространстве lp , p>i , всякая гиперплоскость явля-i жесткой.
Общие методы исследования. Основной идеей большинства дока-ільств является применение различных модификаций основных кон-гкций аппроксимации малых шаров г конкретных банаховых прост-:гвах. Кроме того; используются некоторые факты из геометрии особых пространств. -' .
Теоретическое и практическое значение исследования.
-
І'::; іенн некоторые сзойства аппроксимации шаров как в кон-ных банаховых пространствах, так и в общем случае.
-
По^"чены результаты по аппроксимации шаров, '"'зиоляющне іть ноко...рые варианты проблемы Хсффмана-ііоргенсеиа.
Апробация работы. Получетшо п работе результата докладына-. на городском семинаре по геометрии банаховых пространств (г. :т-Петербург), на городском семинаре по математическому анали-г. Таганрог), на Герценовских чтениях (РГПУ им. Л.И.Герцена).
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, пяти .графов и списка'литературы. Общий объем работы - 82 страницы, иография насчитывает126 наименований.
