Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Работа посвящена некоторым вопросам аппроксимации функций нескольких переменных линейными полиномиальными операторами. В первой главе рассматриваются частичные суммы кратного ряда Фурье периодической суммируемой на периоде функции, а во второй главе - многочлены Бершптейна разрывной функции нескольких переменных.
В одномерном случае подобные вопросы изучались в работах многих математиков. В большинстве случаев найдены исчерпывающие ответы, которые можно найти в известных монографиях Бари, Зигмунда, Алиезера, Тимааа. В последние годы значительно возрос интерес к приближению функций нескольких переменых. При этом оказалось, что некоторые фундаментальные утверждения не переносятся на многомерный случай (например, принцип локализации Рима-на), некоторые проблемы остаются открытыми до «и пор (в частности, сходимость сферических сумм Фурье почти везде). Кроме того, возникают новые, естественные в кратном случае вопросы, не имеющие аналогов в классическом, одномерном анализе, но играющие решающую роль при приближении функций нескольких переменных. К таким вопросам относится, например, проблема выбора определения суммы кратного ряда (не сходящегося абсолютно).
ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ. Основная цель исследований в первой главе - изучить влияние геометрических свойств множества, определяющего частичные суммы кратного ряда Фурье, на порядок роста соответствующих констант Лебега. Во второй главе - изучить асимптотическое поведение многочленов Бершптейна функции многих пере-
иевных в точке разрыва (типа скачка) этой функции.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В первой главе используются асимптотические свойства преобразования Фурье меры, сосредоточенной на выпуклой кривой, с их помощью изучается поведение на бесконечности многомерных констант Лебега.
Во второй главе с помощью асимптотических представлений слагаемых выделлется их иалая группа, определяющая предельное поведение многочленов Бернштейпа.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты работы являются новыми, они приведены с полными доказательствами.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в математической физике, теории вероятностей и теории чисел.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинаре проф. Г.И. Натансона но конструктивной теории функций, на конференции по теории функщш в г. Днепропетровске (1993г) и на копферснлии по конструктивной теории функций в С.-Петербурге (1992г).
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1], [2],
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и двух глав. Обший объем работы - 82 стр. Список литературы содержит 43 названия.
