Введение к работе
Актуальность темы
В теории функций хорошо известны задачи об изучении свойств операторов классического и гармонического анализа, действующих в вещественных или комплексных нормированных пространствах. Из всего многообразия мы рассматриваем, в основном, три задачи. Первая из них связана со свойством перестановочности операторов с преобразованиями Фурье, вторая посвящена получению теорем о представлении элементов классических пространств Харди Нр в верхней полуплоскости и, наконец, третья задача посвящена проблеме ограниченности интегральных операторов в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции. Все три задачи объединены тем, что в них проявляются новые свойства операторов дробного интегрирования Римана-Лиувилля.
В классической монографии Е. Титчмаршах (Теорема 69) для функций / Є L2(0, со) доказаны равенства
t ОО ( 00 "\
- I fc(x)dx = I } f —dy 1 cos txdx
О « її )
00 „ оо ( х "\
/ ——dx =1—1 f(y)dy > costxdx
t 0 I 0 J
В работе Б. И. Голубова 2 эти формулы обобщаются для функций / 1/(0, оо) при 1<р<2и1<р<2, соответственно.
Первая из рассматриваемых нами задач состоит в обобщении результатов Б. И. Голубова для более общих операторов Римана-Лиувилля На
'Титчмарш Е. Введении и теорию интегралов Фурье. М.-Л: Гостехиздат, 1948. 2Голу(юи Б. И. Об одной теореме Беллмана о коэффициентах Фурье. // Матем. сб., 1994. Т. 185, .Y» П. С. 31-40.
и Ва таких, что
Htt{f){x)~ j{t~^ f(t)dt, х>0, а>0,
Ba(f)(x)--=^f(x-t)a-lf(t)dt, x>Q, a>Q. о
Вторая задача имеет корни в теории рядов Фурье. В 1928 г. Г. Г. Харди доказал, что класс V (1 < р < оо) инвариантен относительно (С, ^-преобразований коэффициентов Фурье. В 1944 г. Р. Беллман доказал двойственный результат для класса № (1 < р < оо), опираясь на работу Г. Г. Харди и некоторые общие теоремы о рядах Фурье. Отметим, что развитию тематики, начатой в работах Г. Г. Харди и Р. Беллмана посвящены работы Н. К. Бари, О. Я. Берчияна, Р. Р. Гольдберга, Ф. Юнга и других авторов.
Рассматриваемая нами задача связана с внутренней характеристикой банаховых пространств Харди Нр всех аналитических функций в верхней полуплоскости с помощью CS-nap преобразований.
Третья задача посвящена нахождению условий ограниченности весового оператора Харди-Литтлвуда
X X
Tf(x) = щ^ J f(t)w(t)dt, где W(x) = J w(t)dt.
о о
в весовых пространствах BMO(w, Щ функций ограниченной средней осцилляции.
За последние двадцать лет критерии весовой ограниченности интегральных операторов в функциональных пространствах разрабатывались В. И. Буренковым, М. Л. Гольдманом, В. Д. Степановым, Р. Ойнаровым и многими другими авторами. Для пространств ограничен-
ной средней осцилляции эти вопросы изучались в работах Б. И. Голу-бова, В. Мукенхоупта и Р. Видена, К. Лая, Л. Пика и других авторов.
Цель работы
Целью работы является решение сформулированных выше задач, а именно
Доказать свойство перестановочности операторов Римана-Лиу-вилля с преобразованиями Фурье.
Установить представление элементов классических пространств Харди Нр в верхней полуплоскости и ограниченность операторов дробного интегрирования Римана-Лиувилля в пространстве .
Получить критерии ограниченности интегральных операторов в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции.
Методика исследования
В работе используются методы теории функций, гармонического и функционального анализа.
Научная новизна
Основные результаты диссертации является новыми и обобщают или дополняют ранее известные.
Теоретическая значимость.
Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в теории интегральных уравнений и неравенств.
Аппробация работы.
Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научном семинаре РУДН по функциональному анализу под
руководством чл-корр. РАН В. Д. Степанова, на Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложения, " посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садоничего, 2009, а также на Всероссийских конференциях РУДН в 2008 и 2009 гг.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, в том числе в 3 статьях и 1 тезисах докладов на научных конференциях.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, и списка литературы (49 наименований). Объем диссертации составляет 71 страницу.
